張新成

“函數(shù)的概念”是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1》(北師大版)第二章的教學(xué)內(nèi)容,全國高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎(jiǎng)獲得者羅文靜老師在教學(xué)這節(jié)課時(shí),并沒有照本宣科,而是以問題為基礎(chǔ)構(gòu)建了學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的教學(xué)過程,引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般進(jìn)行歸納總結(jié),既讓學(xué)生經(jīng)歷了概念的形成過程,又達(dá)到促進(jìn)學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式的目的,充分體現(xiàn)了新課改的教學(xué)理念。

一、創(chuàng)設(shè)問題——激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)興趣

〔問題1〕(多媒體展示)北京時(shí)間2007年10月24日18時(shí)05分,萬眾矚目的“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星成功發(fā)射,在“嫦娥一號(hào)”飛行期間,我們時(shí)刻關(guān)注著“嫦娥一號(hào)”離月球表面的距離y隨時(shí)間t是如何變化的,在數(shù)學(xué)上我們用函數(shù)來描述這種運(yùn)動(dòng)變化中的數(shù)量關(guān)系。

“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星大約在發(fā)射后216小時(shí)運(yùn)行在距月球表面200 km的圓形軌道上,即有y=200 t (t≥216),根據(jù)初中函數(shù)定義,此時(shí),距離y是時(shí)間t的函數(shù)嗎?要解決這個(gè)問題,就必須再進(jìn)一步研究函數(shù)的本質(zhì)。

〔賞析〕羅老師以學(xué)生感興趣的事件——“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星成功發(fā)射,來引入新課,不僅能提高學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的興趣,而且滲透了數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)觀念,達(dá)到激活學(xué)生原有知識(shí)的目的;更為巧妙的是羅老師從中創(chuàng)設(shè)的問題1,引發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突,為下一步用集合語言來描述函數(shù)作好了鋪墊,起著承上啟下的作用。

二、確定問題——引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)觀察思考

〔問題2〕(多媒體展示)一枚炮彈發(fā)射后,經(jīng)過26 s落到地面擊中目標(biāo)。 炮彈的射高為845 m,且炮彈距地面的高度h(單位:m)隨時(shí)間t(單位:s)變化的規(guī)律是:

h=130t-5t2。(*)

師:你能得出炮彈飛行5秒、10秒、20秒時(shí)距地面多高嗎?其中,時(shí)間t的變化范圍是什么?炮彈距離地面高度h的變化范圍是什么?

生:炮彈飛行時(shí)間t的變化范圍是數(shù)集A={t|0≤t≤26},炮彈距地面的高度h的變化范圍是數(shù)集B={h|0≤h≤845}。

師:A與B之間有關(guān)系嗎?

生:我覺得應(yīng)該有一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。

師:對(duì)。從問題的實(shí)際意義可知,對(duì)于數(shù)集A中的任意一個(gè)時(shí)間t,按照對(duì)應(yīng)關(guān)系(﹡),在數(shù)集B中是否都有唯一確定的高度h和它對(duì)應(yīng)?

生:是。

〔問題3〕(多媒體展示)近幾十年來,大氣層中的臭氧迅速減少,因而出現(xiàn)了臭氧層空洞問題。圖1中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積從1979年到2001年的變化情況。

師:圖中曲線中時(shí)間t的變化范圍是多少?臭氧層空洞面積s的變化范圍是多少?

……

〔問題4〕 (多媒體展示)國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個(gè)國家人民生活質(zhì)量的高低,恩格爾系數(shù)越低,生活質(zhì)量越高。 表1中恩格爾系數(shù)隨時(shí)間(年)變化的情況表明,“八五”計(jì)劃以來,我國城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著變化。

師:恩格爾系數(shù)與時(shí)間之間的關(guān)系是否和前兩個(gè)實(shí)例中的兩個(gè)變量之間的關(guān)系相似?如何用集合與對(duì)應(yīng)的語言來描述這種關(guān)系?

……

〔賞析〕羅老師在這里沒有按照教材的安排,從集合的觀點(diǎn)出發(fā)直接引出函數(shù)的定義,而是精選了與本節(jié)課主題密切相關(guān)的三個(gè)實(shí)際問題,這就給學(xué)生創(chuàng)造了主動(dòng)觀察思考的條件和空間,充分體現(xiàn)了羅老師創(chuàng)造性運(yùn)用教材的新課程理念。對(duì)于這三個(gè)問題,教師主要引導(dǎo)和組織學(xué)生觀察和思考,不僅讓學(xué)生分別體會(huì)到了用解析式刻畫變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系、用圖像刻畫變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系、用表格刻畫變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和初步感知了函數(shù)中蘊(yùn)涵著集合與對(duì)應(yīng)關(guān)系的屬性,而且激活了學(xué)生的思維,調(diào)動(dòng)了學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。

三、提煉問題——引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)合作交流

師:以上三個(gè)實(shí)例有什么不同點(diǎn)和共同點(diǎn)?

(學(xué)生活動(dòng):先讓學(xué)生自主探究,再分小組討論交流)

生1: 歸納以上三個(gè)實(shí)例,可看出其不同點(diǎn)是:問題2是用解析式刻畫變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,問題3是用圖像刻畫變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,問題4是用表格刻畫變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

生2:其共同點(diǎn)是:(1)兩個(gè)集合之間都有一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系;(2)對(duì)于A中的每一個(gè)x,按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f,在數(shù)集B中都有確定的y值和它對(duì)應(yīng)。

師:這個(gè)同學(xué)歸納得準(zhǔn)確不準(zhǔn)確呢?我們先來思考下面這個(gè)問題:

[問題5] (多媒體展示)下面四個(gè)圖像表示的對(duì)應(yīng)關(guān)系有沒有和上述三個(gè)問題不同的?

生3:應(yīng)該是A吧,因?yàn)槲野l(fā)現(xiàn)兩個(gè)不同的x對(duì)應(yīng)了相同的y。

生4:不對(duì),問題3中就有兩個(gè)不同的x對(duì)應(yīng)了相同的y,我覺得應(yīng)該是B,一個(gè)x只能對(duì)應(yīng)一個(gè)y,上述三個(gè)實(shí)例都有這個(gè)特點(diǎn)。

……

[賞析]能否歸納出三個(gè)實(shí)例的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)是學(xué)生能否從集合的觀點(diǎn)理解函數(shù)的關(guān)鍵,在這里,羅老師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了先自主探究,再分小組討論、交流的學(xué)習(xí)情境,既有效地化解了學(xué)習(xí)的難點(diǎn),又調(diào)動(dòng)了全體學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性;特別是當(dāng)學(xué)生出錯(cuò)時(shí),教師并沒有直接予以糾正,而是巧妙地出示問題5,讓學(xué)生從圖像中自己發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤,這樣的處理,不但使學(xué)生深化了對(duì)函數(shù)概念中的集合與對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解,真正成為了知識(shí)的意義建構(gòu)者,而且進(jìn)一步體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的方法,從而豐富了解決數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn)和方法。

四、延伸問題——引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)嘗試歸納

師:在三個(gè)實(shí)例中,大家用集合與對(duì)應(yīng)的語言分別描述了兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系,其中一個(gè)變量都是另一個(gè)變量的函數(shù), 你能否用集合與對(duì)應(yīng)的語言來刻畫函數(shù),抽象概括出函數(shù)的概念呢?

(首先讓學(xué)生嘗試歸納,然后師生共同概括)

生:一般地,設(shè)A,B是非空的數(shù)集,如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就把對(duì)應(yīng)關(guān)系f叫作定義在集合A上的函數(shù),記作f ∶A→B或y=f(x),x∈A。此時(shí),x叫做自變量, 集合A叫做函數(shù)的定義域;集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。

師: 在函數(shù)的定義中有哪幾個(gè)要點(diǎn)?

生:在函數(shù)的定義中有下面三個(gè)要點(diǎn):

(1)函數(shù)是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B上的一種對(duì)應(yīng);

(2)集合A中數(shù)的任意性,集合B中數(shù)的唯一性;

(3)值域由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系唯一確定。

〔賞析〕從三個(gè)問題中引伸、抽象出用集合與對(duì)應(yīng)的語言描述函數(shù)的定義,對(duì)大部分學(xué)生而言會(huì)比較困難,這時(shí),羅老師沒有自己包辦,而是先鼓勵(lì)學(xué)生嘗試,再由師生共同完成,這個(gè)活動(dòng)過程看似平淡,實(shí)際上體現(xiàn)了教者注重讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)概念的概括過程,重視學(xué)生歸納、概括能力的培養(yǎng)的現(xiàn)代教學(xué)理念。

綜觀整堂課,第一個(gè)顯著的特點(diǎn)是教師扮演著組織、引導(dǎo)和與學(xué)生合作的角色,注重為學(xué)生搭建自主探究、討論、交流的平臺(tái),通過這個(gè)平臺(tái),不但激發(fā)了學(xué)習(xí)主體的探索精神和創(chuàng)造力,而且有效地促進(jìn)了學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變,改變了原來單一的、被動(dòng)的學(xué)習(xí)行為,構(gòu)建了旨在發(fā)揮學(xué)生主體性的多樣化學(xué)習(xí)方式,充分體現(xiàn)了教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、促進(jìn)者和合作者,學(xué)生是活動(dòng)的主體的現(xiàn)代教學(xué)理念。第二個(gè)顯著的特點(diǎn)是整個(gè)教學(xué)過程以問題為載體,緊緊圍繞函數(shù)概念的本質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生分析、探究、歸納,概括出用集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)描述函數(shù)的定義和深化對(duì)函數(shù)概念的理解,讓學(xué)生經(jīng)歷了函數(shù)概念形成的四個(gè)階段:感知認(rèn)識(shí)階段、分析本質(zhì)屬性階段、概括形成定義階段、應(yīng)用與強(qiáng)化階段,有效地實(shí)現(xiàn)了學(xué)生對(duì)函數(shù)概念和本質(zhì)的意義建構(gòu)。(作者單位:江西省高安市教育局教研室) ■

□責(zé)任編輯周瑜芽

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