曹建福， 張恒超

（西安交通大學(xué)自動(dòng)控制研究所，陜西 西安 710049）

隨著各種建筑工程中鋼網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的普遍應(yīng)用，大量的鋼管需要在數(shù)控管切割設(shè)備上進(jìn)行相貫線切割作業(yè)。多管相貫線切割需解決相貫線軌跡計(jì)算以及割矩位姿的控制問題，關(guān)于這個(gè)問題已經(jīng)有不少文章作過討論[1-2]。本文在普遍采用的多管相貫數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，采用一種新的處理方法對(duì)坡口切割運(yùn)動(dòng)進(jìn)行控制，計(jì)算量相對(duì)現(xiàn)有的坡口控制方法大大降低，還可以明顯改進(jìn)管切割數(shù)控設(shè)備的性能。

1 多管相貫線數(shù)學(xué)描述

一般情況下相貫于一處的多管管件可以分為三類：主管、切管和交管，為了保證鋼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，總是采取切細(xì)管的原則進(jìn)行。以圖1 中只有一根交管的三端頭相貫為例，設(shè)定主管的外 壁半徑為zR ，交管的外壁半徑為jR ，切管的內(nèi)外半徑為nR 、wR ，切管軸線正向與主管軸線正向的夾角為qα ，交管軸線正向與主管軸線正向的夾角為 jα ，切管與交管軸線正向交角在主管橫截面平面上的投影（稱之為扭角）為β（如圖2 所示），O-XYZ 坐標(biāo)系原點(diǎn)O 與O′-X′Y′Z′坐標(biāo)系的原點(diǎn)O′在Z′′軸方向上的距離（即管心交叉距離）為D。描述切管的坐標(biāo)系O-XYZ 繞其Y 軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)qα 角度，就可以得到描述主管的坐標(biāo)系O′′-X′′Y′′Z′′，而O′′-X′′Y′′Z′′坐標(biāo)系先沿Z′′軸平移距離D，再繞其Z′′軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β 角，最后繞新的Y′′軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) jα 角度，就得到用于描述交管的坐標(biāo)系O′-X′Y′Z′。

圖1 三管相貫?zāi)Ｐ停ㄑ豗′′向觀察）

圖2 三管相貫?zāi)Ｐ停ㄑ豘′′向觀察）

實(shí)際多管相貫線由切管與主管的相交線、切管與交管的相交線綜合而成，采用“Z 最大值原則”，即在切管坐標(biāo)系內(nèi)根據(jù)切管的XY 坐標(biāo)，求得切管圓周內(nèi)各點(diǎn)處與主管的相交線和與所有交管的相交線，然后取相同XY 值在相貫線上Z 值最大的那個(gè)點(diǎn)，由所有這些最大Z 值點(diǎn)擬合出封閉曲線就是實(shí)際的相貫線。若交管大于一根，則其余交管可做相同計(jì)算處理。描述切管與交管的空間位置關(guān)系均以主管為參考，這樣可以用統(tǒng)一的數(shù)據(jù)格式表示各個(gè)管件與切管的相對(duì)位置，既避免了對(duì)任意兩個(gè)空間管件進(jìn)行角度變換計(jì)算，又方便在實(shí)際控制系統(tǒng)應(yīng)用中進(jìn)行參數(shù)輸入操作。

經(jīng)過推導(dǎo)，切管與主管以及切管與各個(gè)交管相貫線的參數(shù)方程為

其中 Rji和 Rz分別為交管和主管的外半徑，zji為切管與第I 根交管的交線。

公式（1）iD 為第i 根交管與切管在主管軸心上交點(diǎn)的偏心距，αji(i ≥ 1)為第i 根交管軸線與主管軸線的交角，βi為第i 根交管軸線相對(duì)于切管和主管軸線構(gòu)成平面的扭角。其中

實(shí)際割矩軌跡的方程為

這里max( zji)是對(duì)同一(x, y)點(diǎn)由各個(gè)交管求得zji的最大值。

切割時(shí)需將圓周進(jìn)行離散化，將計(jì)算得到的離散點(diǎn)坐標(biāo)賦予控制系統(tǒng)，就可以得到離散的切割相貫線。假設(shè)對(duì)切管圓周按N 份均勻離散，則 離散步長(zhǎng)為(360/ )N °，此時(shí)離散化的x 和y 為

將式(3)的離散kx 和ky 代入式(2)并結(jié)合式(1)，就 可以得到各個(gè)離散點(diǎn)處的z 值kz 。

2 多管相貫線切割運(yùn)動(dòng)軌跡與割矩姿態(tài)控制算法

2.1 割矩姿態(tài)角的一般數(shù)學(xué)模型

由相貫線方程可求得切割點(diǎn)處法剖面垂直 于相貫線平面的兩面角Ψ 。根據(jù)兩面角Ψ ，按照API 標(biāo)準(zhǔn)，求出坡口角φ

根據(jù)兩面角Ψ 和坡口角φ，求理論切割角ρ

兩面角、坡口角和理論切割角均定義在法剖面內(nèi)，而實(shí)際切割時(shí)割矩只能在切管上某一切割點(diǎn)處的支軸剖面內(nèi)擺動(dòng)（見圖3）。而實(shí)際位于支軸剖面內(nèi)的割矩姿態(tài)角ω 很難精確獲得，一般由以下經(jīng)驗(yàn)公式得到

式(6)中γ 為法剖面與支軸剖面之間的夾角。

圖3 管相貫坡口示意圖

這種割矩姿態(tài)角的計(jì)算方法，有兩點(diǎn)缺點(diǎn)：① 要處理的空間幾何關(guān)系很多，而且最終的割矩姿態(tài)角是由經(jīng)驗(yàn)公式得到的；② 僅適用于相貫線具有統(tǒng)一數(shù)學(xué)表達(dá)式的情況，對(duì)于多管相貫的情況，由于相貫線是若干表達(dá)式的組合，并沒有統(tǒng)一的表達(dá)式，所以采用這種方法編制程序的工作量會(huì)相應(yīng)增大很多。

2.2 割矩姿態(tài)角的簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型

由上面的討論可以知道，實(shí)際切割系統(tǒng)的割矩只能在支軸剖面內(nèi)擺動(dòng)，如果可以直接近似得到支軸剖面內(nèi)的切割角，而不是借助其它間接的空間角度計(jì)算得到，計(jì)算量將會(huì)大大降低。

對(duì)于式(2)中的每一個(gè)參數(shù)角度θ，切管與主管的相貫形狀如圖4 所示。

圖4 切管內(nèi)外壁相貫端面示意圖

一般切管壁厚較之切管橫截面直徑小很多，故可以用空間直線近似取代切管內(nèi)外壁與主管外壁相貫之弧線進(jìn)行支軸剖面內(nèi)坡口角度的計(jì)算，如圖5 所示。

圖5 切管內(nèi)外壁相貫端面近似示意圖

在相貫線的計(jì)算公式中，分別代入切管的內(nèi)半徑qnR 和外半徑qwR ，從而可以求得多管相貫的兩條相貫線，分別為切管內(nèi)壁相貫線qnz 和切管外壁相貫線qwz 。假定用戶設(shè)定的焊接坡口角度為η，則實(shí)際割矩姿態(tài)角度大小為

實(shí)際切割時(shí)，割矩是在切管表面切割的，由于坡口角的存在，割矩實(shí)際切割點(diǎn)會(huì)偏離理論值，所以在切管表面沿軸線方向要進(jìn)行縱向補(bǔ)償，補(bǔ)償量Δ 為

在式(7)和式(8)中，利用離散化qnz 和qwz 數(shù)據(jù)，結(jié)合式(2)和式(3)可求得在離散角度k處的kω 和kΔ 。

2.3 多軸聯(lián)動(dòng)運(yùn)動(dòng)控制代碼生成算法

根據(jù)以上公式，可求得離散位置值kz 、kω 。對(duì)于相貫線端頭切割，W 軸每次旋轉(zhuǎn)度，X軸運(yùn)行kz +kΔ ，同時(shí)B 軸擺動(dòng)kω 。多軸聯(lián)動(dòng)控制代碼生成算法如下：

（1） 設(shè)離散步長(zhǎng) 1θΔ = °，利用公式(2)對(duì)z 進(jìn)行離散化處理，即得[ ]z i (i=0，1，…，359)表示離散參考角度θ =處的z 值；

（2） 根據(jù)式(7)，計(jì)算各個(gè)離散[ ]z i 處的坡口角度 [ ]iω (i=0，1，…，359)；

（3） 根據(jù)式(8)，計(jì)算 [ ]z i 的補(bǔ)償量Δ[ i ](i=0，1，…，359)。

在所獲得的各離散處W 軸、X 軸和B 軸坐標(biāo)值基礎(chǔ)上，相鄰離散點(diǎn)之間相貫線軌跡采用小線段逼近方法，即生成多軸聯(lián)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的控制代碼。多軸聯(lián)動(dòng)直線插補(bǔ)可采用粗精兩級(jí)DDA 算法。

3 實(shí)際切割實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

利用本文提出的方法開發(fā)的6 軸管切割控制系統(tǒng)，已用在某企業(yè)的數(shù)控管切割機(jī)上。在該數(shù)控管切割機(jī)上對(duì)管件材料實(shí)際進(jìn)行切割，進(jìn)行了兩部分的數(shù)據(jù)測(cè)試，即無(wú)坡口的管件切割和有坡口的管件切割，下面分別對(duì)這兩種情況的各類端頭進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。

3.1 無(wú)坡口管件的加工數(shù)據(jù)分析

實(shí)際加工時(shí)，選取了直交端頭、斜交端頭、斜截?cái)喽祟^、偏心斜交端頭、雙重相交端頭、雙斜截?cái)喽祟^以及支管兩端頭的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。在給出各種端頭相關(guān)參數(shù)的情況下，通過對(duì)理論值和測(cè)量值進(jìn)行比較，計(jì)算出了各種端頭誤差的絕對(duì)值。

（1） 直交端頭

切管外直徑為 110mm，交管外直徑為160mm，切管壁厚為2.5mm，表1 為相應(yīng)坐標(biāo)處的理論值和實(shí)際切割后測(cè)量值，同時(shí)計(jì)算出了絕對(duì)誤差。

通過表1 可以看到，各測(cè)量點(diǎn)處平均誤差絕對(duì)值為0.6mm，最大誤差絕對(duì)值為0.9mm，符合設(shè)計(jì)技術(shù)指標(biāo)。

（2） 斜交端頭

切管外直徑為 110mm，交管外直徑為160mm，切管壁厚為2.5mm，相貫斜交角度為60°。表2 為相應(yīng)參考坐標(biāo)處的理論值和實(shí)際測(cè)量值，同時(shí)計(jì)算出了絕對(duì)誤差。

表1 直交端頭數(shù)據(jù)

表2 斜交端頭數(shù)據(jù)

通過表2 可以看到，各測(cè)量點(diǎn)處最大誤差為0.9mm，平均誤差絕對(duì)值為0.5mm，符合設(shè)計(jì)技術(shù)指標(biāo)。

3.2 有坡口管件的加工數(shù)據(jù)分析

共有3 種坡口形式，即定角坡口、定點(diǎn)坡口和固定坡口。有代表性地選取了斜交端頭、偏心斜交端頭和雙重相交端頭的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。通過對(duì)理論值和測(cè)量值進(jìn)行比較，計(jì)算出了各種端頭的絕對(duì)誤差。

（1） 斜交端頭

實(shí)際切割時(shí)，切管外直徑為110mm，交管外直徑為160mm，切管壁厚為2.5mm，相貫斜交角度為60°，坡口為30°定角坡口。表3 為相應(yīng)參考坐標(biāo)處的理論值和實(shí)際測(cè)量值，同時(shí)計(jì)算出了絕對(duì)誤差。

通過表3 可以看到，各測(cè)量點(diǎn)處最大誤差為0.8mm，平均誤差絕對(duì)值為0.4mm，滿足技術(shù)設(shè)計(jì)指標(biāo)。

（2） 偏心斜交端頭

實(shí)際切割時(shí)，切管外直徑為110mm，交管外直徑為160mm，切管壁厚為2.5mm，相貫斜交角度為60°，相貫偏心距離為20mm，坡口為30°固定坡口。表4 為相應(yīng)參考坐標(biāo)處的理論值和實(shí)際測(cè)量值，同時(shí)計(jì)算出了絕對(duì)誤差。

表3 斜交端頭（定角坡口）

表4 偏心斜交端頭（固定坡口）

通過表4 可以看到，各測(cè)量點(diǎn)處最大誤差為0.8mm，平均誤差絕對(duì)值為0.4mm，滿足設(shè)計(jì)技術(shù)指標(biāo)。

4 結(jié) 論

對(duì)具有復(fù)雜坡口的多管相貫線切割問題，現(xiàn)有的運(yùn)動(dòng)軌跡與姿態(tài)控制方法計(jì)算量較大，嚴(yán)重地影響管切割控制系統(tǒng)的性能。不同于現(xiàn)有坡口切割方法，本文根據(jù)內(nèi)外相貫線在切管軸剖面內(nèi)近似實(shí)際切割坡口角的思想，提出了一種新的割矩位姿控制算法。利用本文的方法開發(fā)了6 軸管切割機(jī)控制系統(tǒng)，通過實(shí)際切割表明該控制系統(tǒng)對(duì)坡口控制精度較高，可明顯提高多管相貫線的切割效率。

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