趙 龍 ， 郭艷玲

（1.農(nóng)業(yè)部漁業(yè)裝備與工程重點開放實驗室，上海 200092； 2. 中國水產(chǎn)科學(xué)研究院漁業(yè)機(jī)械儀器研究所，上海 200092； 3. 東北林業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150040）

在建筑、機(jī)械、石油、化工等領(lǐng)域經(jīng)常會遇到大量管類零件之間相互拼接的情況，如壓力容器的生產(chǎn)、建筑用桁架以及海洋平臺加工制造過程中經(jīng)常遇到的肘管等[1]。在這種情況下，相貫線切割機(jī)成為了科技人員研究的主要對象，而在相貫線切割機(jī)的研究過程中，對于相貫線軌跡的研究則成為其研究的前提和重點。

目前在相貫孔加工過程中仍然有許多工廠采用先放樣制作樣板，再繪制相貫線進(jìn)行手工切割，最后用人工打磨的工藝方法對鋼管實施加 工[2]。這種方法的缺點是工作強(qiáng)度大，效率低，難以保證切割后焊接的性能與質(zhì)量。針對這一問題，通過可視化編程來實現(xiàn)具有變角度坡口切割軌跡的仿真顯得十分必要。

1 相貫線數(shù)學(xué)模型的建立

為了展開對相貫線軌跡的研究，建立一個行之有效的數(shù)學(xué)模型至關(guān)重要。如圖1 所示，已知兩圓管偏心傾斜相交，傾斜角為θ，偏心距為e，R 和r 分別表示主管和支管的半徑，其中R＞r。

圖1 相貫線數(shù)學(xué)模型

由于圓管本身存在一定的對稱性，因此從這一思路出發(fā)，可以通過極坐標(biāo)來描述相貫線方 程[3]。于是，從x 或x1正方向看，相貫線在空間中的方程（即相貫線上任意一點M 的方程）可以表示為

其中 φ為支管上節(jié)點M 的圓周角，范圍為0°～360°。

根據(jù)空間解析幾何學(xué)可知[4]，Oxyz 坐標(biāo)系與Ox1y1z1坐標(biāo)系之間存在以下變換關(guān)系

于是聯(lián)立方程（1）、（2），可以得出兩圓柱相貫線上各個節(jié)點的參數(shù)方程為

2 接頭類型及坡口角度的研究

2.1 相貫接頭的類型

鋼管在各種工程領(lǐng)域中的應(yīng)用十分廣泛，由于不同領(lǐng)域?qū)︿摴艿囊笥兴煌?，因此存在著多種形式和規(guī)格的相貫接頭。一般來說，鋼管在使用過程中主要承受載荷和內(nèi)壓。對于前者而言，主管不需要開孔，支管采用騎座式的相貫接頭，俗稱馬鞍形相貫接頭，其中支管內(nèi)壁和主管外壁相貫；而對于后者而言，通常采用插入式相貫接頭，需要在主管上切割出焊接坡口，如圖2所示。

圖2 接頭類型示意圖

2.2 坡口角度的比較和分析

管子在切割時，為了保證焊接的質(zhì)量和可靠性，需要預(yù)留出一定角度的坡口，有定角度坡口和變角度坡口之分。所謂定角度坡口指的就是在切割過程中，支管上各個相貫節(jié)點處的素線與支管軸線始終保持一定數(shù)值的角度。然而實踐證明，定角度坡口僅僅適用于兩管垂直對心相交或者是各個節(jié)點處的二面角都比較大的情況。因為，二面角比較大，切割出來的坡口則可能過??；而二面角比較小，切割出來的坡口則可能過大。這樣就會大大影響切割后焊接的質(zhì)量和可靠性，同時對于壁厚不大的鋼管來說，在切割時甚至?xí)蹟嗖糠制驴?，?dǎo)致焊接無法正常進(jìn)行。所謂變角度坡口指的是在整個切割過程中，各個節(jié)點處的切割角（當(dāng)相貫接頭為插入式時，切割角等于坡口角）始終隨著二面角的變化而變化，這樣切割出的坡口既均勻又可靠。當(dāng)然，無論是定角度坡口還是變角度坡口，都應(yīng)該盡量避免極限切割，因為在這一切割過程中，局部節(jié)點處的坡口角變化劇烈，切割后會大大降低焊接的質(zhì)量和穩(wěn)定性。

2.3 坡口角度的計算

在研究完相貫線以后，為了進(jìn)一步研究切割時的運(yùn)動規(guī)律，還需要對切割過程中的坡口進(jìn)行相應(yīng)的研究。由于在研究坡口時，必須先確定鋼管相貫接頭的空間幾何關(guān)系，因此需要對有關(guān)參考平面和空間幾何角度加以定義。以騎座式相貫接頭為例，針對管端切割給出了相關(guān)參數(shù)的具體定義，如圖3 所示。

（1） 主管軸剖面Pm

相貫線上任選點的主管軸剖面，是通過該點并包含主管軸線的平面。

（2） 支管軸剖面Pb

相貫線上任選點的支管軸剖面，是通過該點并包含支管軸線的平面。

（3） 主切面Qm

相貫線上任選點的主切面是過該點并切于主管表面的平面。

（4） 支切面Qb

相貫線上任選點的支切面是過該點并切于支管內(nèi)表面的平面(注：考慮到繪圖效果，在表達(dá)Qb時可能會引起誤解，望請讀者見諒)。

（5） 法剖面Pf及其方向向量nf

相貫線上任選點的法剖面是過該點并垂直于兩軸剖面的平面，方向向量nf通過點M 且垂直于法剖面Pf。

（6） 法向量nm、nb和坡口向量np

法向量nm、nb分別為過點M 且垂直于切平面Qm、Qb的向量，坡口向量np指定了切割時割炬所在的位置方向。

（7） 二面角Ф

二面角Ф 是主切面Qm和支切面Qb在法剖面內(nèi)且位于支管外部的夾角。

（8） 坡口角? 以及理論切割角ω

對于管端切割來說，坡口角? 指的是坡口向量np與主切面Qm之間的夾角，而理論切割角ω則是坡口向量np與支切面Qb之間的夾角；對于主管開孔來說，坡口角? 指的是坡口向量np與支切面Qb之間的夾角，而理論切割角ω 則是坡口向量np與主切面Qm之間的夾角。二者的大小取決于二面角Ф 的大小。

根據(jù)美國石油協(xié)會標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，當(dāng)二面角Ф≥90°時，坡口角?=45°；當(dāng)二面角Ф＜90°時，坡口角?=Ф/2。

為求解坡口角? ，必須首先計算出向量nm(am, bm, cm)和nb(ab, bb, cb)之間的夾角θ。由線性代數(shù)學(xué)[5]可知，θ 滿足如下方程

根據(jù)互補(bǔ)原理，通過夾角θ 可以求出二面角Ф 的大小，進(jìn)而可以求出點M 處的坡口角? 和理論切割角ω。如圖3 所示，二者滿足

圖3 相貫體空間幾何關(guān)系

其次，還需要計算割炬在運(yùn)動過程中的實際切割角ρ，即割炬在旋轉(zhuǎn)平面內(nèi)的傾斜角。如圖4，它在數(shù)值上滿足

圖4 二面角、實際切割角和坡口角之間的關(guān)系

再次，為了進(jìn)行計算機(jī)仿真，還需要確定坡口向量np的大小。由于坡口向量的計算有賴于向量nm、np之間的夾角α 和向量nb、np之間的夾角β 的大小，因此需要對二者展開計算。

圖5 給出了坡口向量求解過程中各個夾角之間的關(guān)系，該關(guān)系滿足

圖5 向量夾角示意圖

這樣，在求出向量nm、nb的向量積nf(af,bf,cf)以后就可以通過夾角α 和β 以及向量np、nf相互垂直等條件推導(dǎo)出如下方程

通過上述方程求出坡口向量np(ap, bp, cp)后，就可以通過點M 處的坐標(biāo)計算出過點M 且方向向量為np的直線方程從而求出主管外表面上對應(yīng)的坡口節(jié)點，為坡口軌跡的仿真創(chuàng)造了重要前提。

3 軌跡的仿真

在仿真過程中，需要在VC++所提供的開發(fā)環(huán)境下借助于開放式圖形語言O(shè)penGL 和相應(yīng)數(shù)學(xué)模型來完成仿真程序的編寫。

3.1 OpenGL 渲染機(jī)制

了解OpenGL 渲染機(jī)制是利用OpenGL 實現(xiàn)具體仿真的重要前提。大多數(shù)OpenGL 實現(xiàn)都使用相似的操作順序，這些處理步驟被稱為OpenGL 渲染流水線[6]。當(dāng)應(yīng)用程序?qū)penGL所提供的API 函數(shù)進(jìn)行調(diào)用時，這些命令被放置在一個命令緩沖區(qū)中，為了避免只有當(dāng)緩沖區(qū)滿時才去對所有的繪圖命令、頂點數(shù)據(jù)和紋理數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，需要調(diào)用glFinish()來強(qiáng)制完成對相應(yīng)場景的渲染。

3.2 仿真算法的研究以及坡口軌跡的仿真

兩管之間的位置關(guān)系確定以后，需要在主管上體現(xiàn)出具有真實感的坡口。與CSG 造型方法不同的是，OpenGL 并不是通過基本體素以及施加在其上的幾何變換、布爾運(yùn)算和局部修改等方法來構(gòu)造空間實體的，而是通過自身所提供的點、線、面等一些基本圖元按照一定的方式和順序進(jìn)行排列和組合從而完成三維實體的構(gòu)造。雖然CSG 在構(gòu)造三維實體時簡單易用，靈活多變，但是由于這種構(gòu)造方式建立在充分利用圖形硬件的深度緩存和模板緩存的機(jī)理之上，在整個渲染過程中，并沒有對CSG 模型的幾何邊界進(jìn)行有效的計算，因此無法通過CSG 造型的方式來獲取相貫線坡口上的每一個節(jié)點的數(shù)據(jù)。而OpenGL 恰恰相反，它是利用預(yù)先生成的一系列數(shù)據(jù)點通過不同方式的組合來構(gòu)造所需的實體。這樣不僅保證了所需模型的準(zhǔn)確構(gòu)造，而且還可以通過這些數(shù)據(jù)點實現(xiàn)相貫線軌跡的仿真加工。

為了進(jìn)行相貫線仿真算法的研究，這里以支管外壁與主管內(nèi)壁之間的相貫線為研究對象，如圖6 所示。

圖6 內(nèi)相貫線邊界劃分圖

其中左邊界、左內(nèi)邊界、右邊界和右內(nèi)邊界全部分布在主管內(nèi)壁所在的圓周上。從左邊界和左內(nèi)邊界開始，順次在兩條邊界上對應(yīng)取點，每隔兩對節(jié)點就可以形成一個四邊形，于是在這兩條邊界上就充滿了一組空間四邊形，通過向glBegin()函數(shù)傳遞參數(shù)QL_QUAD_STRIP 的方式來指定特定的填充圖元完成對這些四邊形的渲染，從而形成一個均勻的四邊形空間曲面片。該曲面只是位于主管內(nèi)壁圓周上的一部分，為了繪制一個完整的圓周還需要對主管上余下的柱面進(jìn)行繪制。如圖6 所示，設(shè)最前點M1的坐標(biāo)為(x1, y1, z1)，最后點M2的坐標(biāo)為(x2, y2, z2)，于是生成的曲面在主管內(nèi)壁上跨越的圓周角θ 滿足下列關(guān)系式

因此，剩余邊界上的任意一點M(x,y,z)滿足方程

其中 R 為主管內(nèi)壁圓周半徑，任意一點M 上的z 坐標(biāo)分別與左右邊界上的z 值相同，圓周角r的范圍為β～(360－α)。

為了構(gòu)造相應(yīng)的坡口曲面，需要從分別位于主管內(nèi)外壁上的內(nèi)邊界開始順次取點，然后進(jìn)行相應(yīng)的渲染從而完成坡口曲面的繪制。

3.3 坡口軌跡的仿真

基于以上對仿真算法的研究，編程實現(xiàn)其功能后生成的坡口模型如圖7 所示。

圖7 多管相貫孔線框模型

如上節(jié)所述，此時看到的還是一個不完整的模型，它由線框和空間曲面組成。為了表達(dá)一個完整的三維模型，還需要增加一些輔助的表面，如位于主管兩端的環(huán)形表面、主管的內(nèi)外圓柱面、以及陣列孔之間的柱面等。同時，由于在OpenGL 中為了生成具有真實感的三維模型，還需要對建立的模型進(jìn)行特殊的光照處理。因此，在通過數(shù)學(xué)模型創(chuàng)建一系列數(shù)據(jù)點并依靠這些數(shù)據(jù)點去構(gòu)造某種圖元時，需要為每一個頂點數(shù)據(jù)指定法向并為相應(yīng)圖元指定具體的明暗處理。相關(guān)代碼如下：

運(yùn)行程序，分別選擇菜單 View 下的Intersection Show 和Groove Show 以顯示沒有坡口的相貫線孔和帶有坡口的相貫線孔，如圖8 所示。

圖8 仿真效果圖

4 結(jié) 束 語

本文從鋼管切割過程中的實際問題出發(fā)，緊緊圍繞切割時如何預(yù)留出一定角度的坡口這一問題，比較和分析了定角度坡口和變角度坡口的適用條件及特點，建立了相貫線的一般數(shù)學(xué)模型，并參照美國石油協(xié)會標(biāo)準(zhǔn)給出了任意節(jié)點處的坡口角度的計算方法，最后利用 VC++和OpenGL 等語言完成了程序的編寫，實現(xiàn)了具有變角度坡口軌跡的仿真。結(jié)果證明：仿真算法切實可行，仿真出來的坡口完全符合美國石油協(xié)會規(guī)范中的要求。

[1] 肖會軍, 黃 健. 一種復(fù)雜圓柱相貫線的數(shù)控切割原理[J]. 機(jī)床與液壓, 2003, (4)： 254.

[2] 王國棟, 閻祥安, 等. 管端相貫線坡口切割割炬位姿控制[J]. 天津大學(xué)學(xué)報, 2005, 38(8)： 684.

[3] John M Stockie. The geometry of intersecting tubes applied to controlling a robotic welding torch [J]. Mapel Tech, 1998, 19(2)： 2.

[4] 朱鼎勛. 空間解析幾何學(xué)[M]. 武漢： 武漢大學(xué)出版社, 2006. 195.

[5] 鄭寶東. 線性代數(shù)與空間解析幾何[M]. 北京： 高等教育出版社, 2001. 74.

[6] [美]Richard S Wright, Jr Micheal Sweet. OpenGL 超級寶典[M]. 徐波譯. 北京： 人民郵電出版社, 2005. 24.