劉 冰,徐興平,李繼志,石 強(qiáng)

(1.中國(guó)石油大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,山東東營(yíng) 257061;2.中國(guó)石油大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,山東東營(yíng) 257061)

基于序列二次規(guī)劃算法的射孔水平井孔眼分布優(yōu)化

劉 冰1,2,徐興平2,李繼志2,石 強(qiáng)1

(1.中國(guó)石油大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,山東東營(yíng) 257061;2.中國(guó)石油大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,山東東營(yíng) 257061)

基于Landman穩(wěn)態(tài)滲流模型和 Su井筒壓降模型,考慮射孔密度對(duì)水平井產(chǎn)能的影響,建立以水平井產(chǎn)能為目標(biāo)函數(shù)、孔眼位置分布為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量的兩類產(chǎn)能優(yōu)化模型。采用序列二次規(guī)劃算法求解優(yōu)化模型,并對(duì)無(wú)限導(dǎo)流和有限導(dǎo)流水平井的射孔密度分布進(jìn)行優(yōu)化。結(jié)果表明:優(yōu)化射孔能有效地改善沿井筒入流剖面;射孔水平井存在最佳的射孔密度分布;為得到最大產(chǎn)量,無(wú)限導(dǎo)流井的射孔密度呈“U”型分布,有限導(dǎo)流水平井的射孔密度沿跟部到趾部方向逐漸降低,約在井筒長(zhǎng)度的 3/4位置處取得最小值;若要使沿井筒入流剖面盡可能均勻,則無(wú)限導(dǎo)流井的射孔密度呈“∩”型分布,有限導(dǎo)流井的射孔密度沿跟部到趾部方向逐漸升高,約在井筒長(zhǎng)度的 3/4位置處取得最大值,但最大產(chǎn)量略有降低。

水平井;孔眼分布;優(yōu)化模型;序列二次規(guī)劃算法

水平井射孔完井是開發(fā)油氣田提高采收率的一項(xiàng)重要技術(shù)。在水平井生產(chǎn)過程中,由于井筒趾部與跟部之間存在壓差,導(dǎo)致井筒入流剖面不均勻,使得水平井段各部分對(duì)整個(gè)生產(chǎn)的貢獻(xiàn)差別較大,這種現(xiàn)象在底水油藏中極易造成跟部的錐進(jìn),嚴(yán)重影響水平井開發(fā)效果。因此,合理地進(jìn)行射孔完井水平井布孔,控制沿水平井井筒流入剖面,對(duì)射孔完井水平井控水穩(wěn)油尤為重要。國(guó)內(nèi)外研究者對(duì)水平井射孔完井參數(shù)優(yōu)化進(jìn)行了相關(guān)研究[1-8],但應(yīng)用序列二次規(guī)劃 (sequential quadratic programming,SQP)算法優(yōu)化水平井射孔參數(shù)的研究較少。筆者基于Landman的滲流模型和 Su[9]的井筒內(nèi)流體流動(dòng)模型,對(duì)油藏滲流和井筒內(nèi)流體流動(dòng)進(jìn)行耦合,建立以射孔位置為設(shè)計(jì)變量、產(chǎn)量為目標(biāo)函數(shù)的水平井產(chǎn)能優(yōu)化模型,利用 SQP算法[10]具有全局收斂性同時(shí)保持局部超一次收斂性的特點(diǎn),對(duì)所建優(yōu)化模型進(jìn)行求解。

1 SQP算法的理論基礎(chǔ)

SQP算法的基本思想是:在每個(gè)迭代點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)二次規(guī)劃(QP)子問題,以這個(gè)子問題的解作為迭代的搜索方向,并沿該方向進(jìn)行一維搜索,最終逼近約束優(yōu)化問題的解。

對(duì)于水平井產(chǎn)能優(yōu)化問題,可以描述為以下非線性規(guī)劃形式:

式中,x∈Rn,目標(biāo)函數(shù)f(x)、等式約束hi(x)和不等式約束gj(x)均為連續(xù)、可微函數(shù)。該問題的拉格朗日函數(shù)為

式中,λi和λj為拉格朗日乘子。

非線性規(guī)劃問題(1)的求解可轉(zhuǎn)化為求搜索方向 d的一系列二次規(guī)劃子問題[8]。在第k次迭代點(diǎn)xk,二次規(guī)劃子問題表示為

形成如下形式的新迭代方程:

其中步長(zhǎng)參數(shù)αk通過不精確線性搜索過程確定[10]。矩陣 Hk為拉格朗日函數(shù)式(2)的 Hessian陣的正定近似,按BFGS算法公式[11]更新為

2 射孔完井水平井產(chǎn)能模型

2.1 油藏穩(wěn)態(tài)滲流模型

考慮無(wú)限大均質(zhì)各向同性油藏中的穩(wěn)態(tài)單相滲流,其無(wú)限遠(yuǎn)處為恒壓邊界,且不考慮鉆井污染和射孔壓實(shí)損害的影響。射孔完井水平井長(zhǎng)為L(zhǎng)、管壁粗糙度為ε。N個(gè)射孔孔眼均看作長(zhǎng)為L(zhǎng)p、半徑為rp的小圓柱,rp?Lp。

穩(wěn)態(tài)滲流情況下,根據(jù)勢(shì)理論和疊加原理,第i個(gè)孔眼處的壓力等于第i個(gè)孔眼自身的入流與其他N-1個(gè)孔眼入流所產(chǎn)生的壓力和,即

式中,pii為入流量為Qi的第i個(gè)孔眼在自身位置處產(chǎn)生的壓力響應(yīng);pij為入流量為Qj的第j個(gè)孔眼在第i個(gè)孔眼位置處產(chǎn)生的壓力響應(yīng);xi和xj分別為第i和第j個(gè)孔眼的位置坐標(biāo);μ為流體黏度;ko為油藏滲透率。

如果把N個(gè)孔眼處的壓力和入流量看成N維向量,則式(6)可寫為

矩陣A=[aij]完全由孔眼的尺寸和位置分布決定,

如果給定沿井筒的壓力分布和孔眼分布,則孔眼的徑向流入量為

由式(7),(8)看出,如果水平井定產(chǎn)量生產(chǎn)或給定水平井生產(chǎn)端壓力降,可調(diào)整射孔位置或流入剖面,得到最小的壓力降和最大產(chǎn)量,從而優(yōu)化水平井產(chǎn)能。

2.2 射孔水平井井筒內(nèi)流體流動(dòng)壓降模型

由于水平井段完全水平,重力損失為零,因此射孔完井方式下水平井段的壓力損失就包括井筒管壁造成的摩擦損失Δpwf、油藏流體經(jīng)孔眼流入水平井井筒造成的加速損失Δpa和混合壓力損失Δpm。若沿水平井井筒第i個(gè)孔眼處的壓力記為pwi,則

式中,pd為生產(chǎn)端流壓。

(1)摩擦損失Δpwf的計(jì)算。沿水平井井筒第i個(gè)孔眼處的摩擦損失Δpwfi為

當(dāng)水平井井筒的流體流動(dòng)為層流(qi≤qc)時(shí),井筒管壁摩擦系數(shù)fwf為

當(dāng)水平井井筒的流動(dòng)為紊流(qi＞qc)時(shí),井筒管壁摩擦系數(shù)fwf為

式中,qc為水平井井筒內(nèi)流體流動(dòng)由層流向紊流轉(zhuǎn)變的臨界流量;Re為雷諾數(shù),qi為累積流量;D為井筒直徑。

(2)加速損失Δpa的計(jì)算。由加速度引起的沿水平井段第i個(gè)孔眼處的加速損失Δpai為

(3)混合壓力損失Δpm的計(jì)算[9]。當(dāng)水平井井筒的流動(dòng)為層流(qi≤qc)時(shí),沿水平井井筒第i個(gè)孔眼處的混合壓力損失pmi為

式中,pp為射孔壓力。

當(dāng)水平井井筒的流動(dòng)為紊流(qi＞qc)時(shí),沿水平井井筒第i個(gè)孔眼處的混合壓力損失Δpmi為

沿水平井井筒第i個(gè)孔眼射孔后的摩擦系數(shù)fpai和射孔前的摩擦系數(shù)fpbi間的關(guān)系式為

根據(jù)射孔水平井井筒內(nèi)流體流動(dòng)模型式(9),壓力向量可表示為孔眼流入流量向量的函數(shù)形式

2.3 油藏滲流和水平井井筒內(nèi)流體流動(dòng)耦合模型

根據(jù)地層和水平井井筒的耦合條件,水平井井筒與地層處于同一壓力系統(tǒng)中,因此該水平井井筒壁面壓降應(yīng)與地層模型中在該處的壓降相等,井筒內(nèi)該處流量應(yīng)等于其上游孔眼流入流量之和。利用式(6),(8)～(10)對(duì)水平井井筒內(nèi)流體流動(dòng)和油藏滲流進(jìn)行耦合,得到油藏滲流-井筒內(nèi)流體流動(dòng)耦合的有限導(dǎo)流水平井產(chǎn)能模型,其迭代格式為

給定初值d,i=1,2,…,N,利用式(11)進(jìn)行迭代得到沿程流壓和孔眼流入量,進(jìn)而得到射孔水平井的產(chǎn)量。

3 孔眼分布優(yōu)化模型

若給定射孔水平井生產(chǎn)壓差,則以水平井產(chǎn)量為目標(biāo)函數(shù),以孔眼位置分布為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量,通過優(yōu)化射孔分布得到水平井最大產(chǎn)量,可形成優(yōu)化模型 Ⅰ和 Ⅱ。優(yōu)化模型 Ⅰ可只對(duì)孔眼位置分布進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),減少油藏滲流阻力,使水平井產(chǎn)量最大化。優(yōu)化模型 Ⅱ可合理地進(jìn)行射孔完井水平井布孔,調(diào)控沿程入流剖面,使其在盡可能均勻的前提下達(dá)到產(chǎn)量最大化,從而實(shí)現(xiàn)控水穩(wěn)油提高采收率的目的。

由于射孔數(shù)N一般較大,為減少計(jì)算量,采取分段數(shù)值計(jì)算的方法,沿跟部到趾部將水平井劃分為J段,每段有I個(gè)孔眼(N=JI)分布在下列區(qū)間:

經(jīng)過上述變換,優(yōu)化模型中設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)由N個(gè)減少到J-1個(gè)。

3.1 優(yōu)化模型 Ⅰ

若不考慮沿程壓力損失,則壓力向量為一常數(shù),此時(shí)水平井為無(wú)限導(dǎo)流水平井,其產(chǎn)能優(yōu)化模型Ⅰ為

考慮沿程壓力損失,則有限導(dǎo)流水平井的產(chǎn)能優(yōu)化模型Ⅰ為

3.2 優(yōu)化模型 Ⅱ

如果考慮抑制水、氣錐進(jìn)問題,則水平井單位長(zhǎng)度上流入量應(yīng)盡可能均勻。因此,用水平井單位長(zhǎng)度的均勻入流量對(duì)式(12)和(13)分別加以約束,可得無(wú)限導(dǎo)流井和有限導(dǎo)流井的產(chǎn)能優(yōu)化模型 Ⅱ。

無(wú)限導(dǎo)流水平井產(chǎn)能優(yōu)化模型 Ⅱ?yàn)?/p>

有限導(dǎo)流水平井產(chǎn)能優(yōu)化模型 Ⅱ?yàn)?/p>

式(12)～(15)中,目標(biāo)函數(shù)前加負(fù)號(hào)轉(zhuǎn)化為負(fù)值是為了使產(chǎn)能滿足最小值問題。

4 優(yōu)化模型的 SQP算法求解

4.1 基礎(chǔ)參數(shù)

勝利油田某井基礎(chǔ)參數(shù)為:流體黏度μ=55 mPa·s;流體密度ρ=0.904 g/cm3;井筒有效直徑D=0.1246 m;井筒粗糙度ε=0.001 m;井筒長(zhǎng)度L=137 m;孔眼數(shù)目N=400;孔眼半徑rp=0.011 m;孔眼長(zhǎng)度Lp=0.525 m;油藏平均滲透率ko= 2.868μm2;供給壓力pe=18.4MPa;井口壓力pd= 0.5 MPa;水平井產(chǎn)量 50 m3/d。計(jì)算時(shí)水平井井筒分段數(shù)J=20,每段射孔數(shù)I=20。

4.2 優(yōu)化模型計(jì)算結(jié)果分析

利用 SQP算法對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解,得到產(chǎn)量最大時(shí)無(wú)限導(dǎo)流井和有限導(dǎo)流井射孔密度和入流剖面對(duì)比圖(圖 1,2)。

圖1 優(yōu)化模型Ⅰ的計(jì)算結(jié)果Fig.1 Calculation results of opt im ization modelⅠ

從圖 1可以看出,水平井井筒中的流動(dòng)是流量逐漸增加的變質(zhì)量流動(dòng),在趾部與跟部存在明顯的端部效應(yīng)。由于水平井趾部和跟部處的供給范圍較大,地層流體集中流入水平井井筒,該處的壁面入流量較大。射孔滲流段的相互干擾由趾部和跟部向中部逐漸增強(qiáng),水平井井筒中部供給范圍小,壁面入流量較小。因此,為了得到最大產(chǎn)量,須在水平井跟部生產(chǎn)壓差最大的地方多射孔。由于不存在井筒壓降,無(wú)限導(dǎo)流井壁面入流量對(duì)稱分布,則射孔密度也是對(duì)稱的,呈“U”型分布。由于井筒壓降的存在,有限導(dǎo)流井的壁面入流量沿水平井跟部到趾部的方向逐漸降低,則射孔密度沿水平井跟部到趾部的方向遞減,約在距水平井跟部 3L/4處達(dá)到最小,在趾部處又有所增加。

圖2 優(yōu)化模型Ⅱ的計(jì)算結(jié)果Fig.2 Calculation results of opt im ization modelⅡ

圖1說(shuō)明,若要獲得最大產(chǎn)量,需要在生產(chǎn)壓差最大的地方多射孔,但如果考慮延緩水、氣錐進(jìn)問題,則應(yīng)盡量使徑向入流均勻。在徑向入流均勻的條件約束下,徑向入流量較高的地方應(yīng)減少射孔密度,徑向入流量較低的地方應(yīng)增加射孔密度。如圖 2所示,在徑向入流量盡可能均勻的約束下,當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到最大時(shí),無(wú)限導(dǎo)流水平井的射孔密度分布沿水平井中點(diǎn)處對(duì)稱,呈現(xiàn)“∩”型分布,與其徑向入流流量分布相反。由于井筒壓降的存在,有限導(dǎo)流水平井跟部壓降大,徑向流量高。沿井筒跟部到趾部方向徑向入流量逐漸降低,在趾部附近又升高。因此,有限導(dǎo)流水平井的射孔密度在跟部相當(dāng)?shù)?沿井筒方向增加,約在距水平井跟部 3L/4處取得最大值,在趾部處又降低,但對(duì)產(chǎn)量的影響不是很大。

表 1為水平井井筒內(nèi)壓降和總產(chǎn)量的計(jì)算結(jié)果對(duì)比?？梢钥闯?無(wú)限導(dǎo)流井的優(yōu)化模型估算的油井產(chǎn)量偏高。由于存在井筒壓降,可通過變密度射孔方式優(yōu)化產(chǎn)能,有限導(dǎo)流水平井最大產(chǎn)量比無(wú)限導(dǎo)流井降低約20%。盡管均勻入流剖面能有效地延遲水、氣錐進(jìn)現(xiàn)象,但通過變密度射孔方式獲得均勻入流剖面優(yōu)化產(chǎn)能時(shí),井筒內(nèi)壓降損失最大,最大產(chǎn)量降低。

表1 壓降和產(chǎn)量?jī)?yōu)化結(jié)果對(duì)比Table 1 Comparison of pressure drawdown and production from different opt im ization models

5 結(jié) 論

(1)優(yōu)化射孔密度分布能有效地改善水平井段的入流剖面。要獲得最大產(chǎn)量,無(wú)限導(dǎo)流井的射孔密度呈“U”型分布,有限導(dǎo)流水平井的射孔密度由跟部向趾部方向逐漸降低,約在其長(zhǎng)度的 3/4處達(dá)到最小;要得到均勻的沿井入流剖面,無(wú)限導(dǎo)流井的射孔密度為“∩”型分布,而有限導(dǎo)流井的射孔密度則朝趾部方向逐漸升高,約在其長(zhǎng)度的 3/4處取得最大值。

(2)受均勻入流剖面的約束,第二類優(yōu)化模型的產(chǎn)量明顯低于第一類優(yōu)化模型的。

(3)SQP算法可用于水平井射孔分布優(yōu)化研究。

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Opt im ization of perforation distribution of perforated horizontal well based on sequential quadratic programm ing algorithm

LIU Bing1,2,XU Xing-ping2,LIJi-zhi2,SH IQiang1

(1.College of Physics Science and Technology in China University of Petroleum,Dongying257061,China;2.College of Electromechanical Engineering in China University of Petroleum,Dongying257061,China)

Based onLandman modelof steady state inflow and Sumodel of pressure drawdown along thewellbore, two typesof optimization modelswere established considering the effectof perforation densityon productivity of horizontalwell,inwhich the production of the horizontalwellwas treated as an objective function and the perforation distribution as a decision-making variable.The sequential quadratic programming algorithm was applied to the optimizationmodelsof horizontalwell established under the conditionsof infinite and finite conductivity respectively.The results indicate that the profilesof inflow rate are improved effectively through optimizing perforation positions and there exists a reasonable perforation density distribution.For a given example,the perforation density distributionwith a shape of“U”leads tomaximum production for the infinite conductive horizontal well.However,the perforation density decreases from the heelof thewellbore to the toe and reaches theminimum at the location of 3/4 length of the well from the heel.Under the constraint of uniform inflow flux,the perforation density distribution shows a shape of“∩”for the infinite conductive horizontalwell.For the finite conductive horizontalwell,the perforation density increases toward the toe of the wellbore and reaches the maximum at the location of 3/4 length of the well.The constraint of uniform inflow flux leads to the decrease in the maximum production of the perforated horizontalwell.

horizontalwells;perforation distribution;optimization model;sequential quadratic programming algorithm

TE 257

A

10.3969/j.issn.1673-5005.2010.04.015

1673-5005(2010)04-0079-05

2010-01-22

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10805074);山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(Y2008F17)

劉冰(1972-),男(漢族),山東臨沭人,副教授,博士研究生,從事計(jì)算物理、滲流力學(xué)研究。

(編輯 李志芬)