李曉東

(溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

伴隨催化劑出生的催化交換模型的動(dòng)力學(xué)行為

李曉東

(溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

依據(jù)社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中存在的中介貿(mào)易現(xiàn)象，提出了伴隨催化劑出生的催化交換模型，列出了系統(tǒng)集團(tuán)演化的反應(yīng)速率方程，利用Ansatz假設(shè)對其求解，得出一段時(shí)間后系統(tǒng)集團(tuán)分布滿足的標(biāo)度行為以及集團(tuán)總質(zhì)量與集團(tuán)總數(shù)目隨時(shí)間演化的形式.

催化交換；標(biāo)度行為；反應(yīng)速率方程

近幾年，聚集動(dòng)力學(xué)研究的范圍已不僅僅局限于自然系統(tǒng)，人們開始把注意力轉(zhuǎn)向社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的聚集現(xiàn)象.Ispolatov等人[1]依據(jù)社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的財(cái)富分布情況，提出了遷移聚集生長模型，用它來研究社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的財(cái)富分布規(guī)律.隨后，Leyvraz和Redner[2]依據(jù)城鎮(zhèn)之間的人口遷移現(xiàn)象，運(yùn)用遷移模型進(jìn)一步研究了城鎮(zhèn)人口隨時(shí)間演化的規(guī)律.2003年，Ben-Naim和Krapivsky[3]研究了反應(yīng)速率核取更一般形式下的交換遷移聚集生長模型，得到了重要的結(jié)果.國內(nèi)的有關(guān)學(xué)者在這方面也做了大量研究.2002年，柯見洪等人[4]研究了無偏向的交換遷移聚集生長模型.緊接著，林振權(quán)等在交換遷移的基礎(chǔ)上先后提出了城鎮(zhèn)人口的自出生、自死亡、催化出生、催化死亡等反應(yīng)機(jī)制，以此來研究社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的城鎮(zhèn)人口演化與財(cái)富分布問題，并取得了很重要的結(jié)果[5-7].2006年，柯見洪等又在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上研究了城鎮(zhèn)人口遷移模型[8-9]，其結(jié)果與現(xiàn)實(shí)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)非常吻合.

在無偏向的交換遷移模型中，當(dāng)集團(tuán)Ak與集團(tuán)Al相遇時(shí)，集團(tuán)Ak向集團(tuán)lA遷移一份單體，此反應(yīng)用式子可表達(dá)為：

其中K(k;l)為遷移反應(yīng)核.在這里，可以認(rèn)為集團(tuán)Ak代表一個(gè)公司，其資產(chǎn)多少可用集團(tuán)的大小k表示，此式可用來模擬社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中兩家公司的一次貿(mào)易關(guān)系.

在社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，兩個(gè)公司要達(dá)成一場貿(mào)易，還需要一個(gè)中介集團(tuán)或者中介公司從中牽線搭橋.大多時(shí)候，中介機(jī)構(gòu)是盈利性的，所以催化集團(tuán)在每催化一次時(shí)，它自身的大小增加一個(gè)，因此本文提出伴隨著催化劑出生的催化交換模型，可表示為：

用集團(tuán)Bj來代表催化劑或者中介公司，只有在集團(tuán)B的催化下集團(tuán)A之間才能發(fā)生交換作用.當(dāng)然在中介公司之間也存在貿(mào)易關(guān)系，本文用下式來表示這種關(guān)系：

本文的模型是基于現(xiàn)實(shí)社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的貿(mào)易現(xiàn)象提出的.在該模型中，集團(tuán)被認(rèn)為是一個(gè)公司或一個(gè)人，集團(tuán)的大小代表這個(gè)人或公司所擁有的資產(chǎn)或者財(cái)富的數(shù)量，當(dāng)兩個(gè)集團(tuán)相遇并發(fā)生交換作用時(shí)，集團(tuán)之間的單體便會(huì)從一個(gè)集團(tuán)遷移到另一個(gè)集團(tuán)，即集團(tuán)之間交換一份資產(chǎn)，這就是我們所謂的交易.在現(xiàn)實(shí)世界中，交易通常需要有一個(gè)中介盈利機(jī)構(gòu)，所以可以考慮作為代理集團(tuán)，用集團(tuán)大小代理集團(tuán)的規(guī)模的大小.當(dāng)一個(gè)人或一個(gè)公司想要購買商品，進(jìn)行財(cái)富交換即貿(mào)易時(shí)，他們通常會(huì)找到銷售部門等中介機(jī)構(gòu)，在中介機(jī)構(gòu)的驅(qū)使下雙方達(dá)成貿(mào)易關(guān)系.催化劑在每催化一次時(shí)自身也被催化出生，這表示中介機(jī)構(gòu)也在這樣一次貿(mào)易中獲得盈利、壯大.另外，在代理商之間還存在著競爭，他們可以合并，擴(kuò)大自身的資產(chǎn)規(guī)模，他們之間也可以進(jìn)行交易，達(dá)成生意關(guān)系.

1 伴隨著催化劑出生的催化交換模型

在本文的模型中，有兩個(gè)種類的集團(tuán)，集團(tuán)A和集團(tuán)B，集團(tuán)A為自身不能自發(fā)遷移的惰性集團(tuán)，集團(tuán)B為催化劑.基于平均場理論，假定在反應(yīng)過程中各集團(tuán)在空間上的分布總是均勻的，則聚集或遷移反應(yīng)速率與參與反應(yīng)的各集團(tuán)的濃度成正比.用ak(t)表示在t時(shí)刻的系統(tǒng)中具有k個(gè)單體的集團(tuán)的濃度.在前人研究的基礎(chǔ)上，本文聚集遷移模型的反應(yīng)速率方程可寫成：

假設(shè)在初始時(shí)刻，系統(tǒng)中只有集團(tuán)單體存在，即初始條件可寫為：

假設(shè)集團(tuán)A的反應(yīng)速率核為K(k,l;j)=Kklj，其表示交換遷移的速率既與集團(tuán)Ak和Al的大小成正比，也與催化集團(tuán)Bj的大小成正比.取集團(tuán)B的反應(yīng)速率核為L(k;l)=Lkl，其分別與集團(tuán)Bk和集團(tuán)Bl的大小成正比.

把反應(yīng)速率核帶入到（1）式和（2）式中，可把（1）式和（2）式替換成下面形式：

給方程（3）兩邊同時(shí)乘以k，再進(jìn)行求和可以得到下面關(guān)系式：

（5）式說明集團(tuán)A的總質(zhì)量為一常數(shù)，不隨時(shí)間發(fā)生變化.再結(jié)合初始條件，可以得到：

假設(shè)a(t)和b(t)的解分別滿足=和b(t) =B[b(t) ]k?1的 Ansatz假設(shè)形

kkk0式，可以分別把集團(tuán)B的總數(shù)目0和總質(zhì)量寫成下面形式：

把Ansatz假設(shè)的形式代入（4）式后，可得到下面微分方程：

從而可以得到下面關(guān)系式，即：

求解（10）式和（11）式，可得到下面形式的解：

從（12）式和（13）式可以看出，集團(tuán)B的集團(tuán)總數(shù)目因自身的交換聚集生長而隨時(shí)間減少.與文獻(xiàn)[10]的結(jié)果比較，可以發(fā)現(xiàn)，雖然催化劑在被催化出生，但催化劑的總數(shù)目隨時(shí)間變化的關(guān)系不受影響.集團(tuán)的總數(shù)目只與集團(tuán)的初始濃度B0及反應(yīng)速率核L有關(guān).從（13）式可以看出，集團(tuán)的總質(zhì)量隨時(shí)間的變化呈指數(shù)形式增長，與催化劑的反應(yīng)速率核及集團(tuán)A的初始濃度有關(guān).集團(tuán)A的初始濃度A0或者反應(yīng)速率核的比例系數(shù)K越大，集團(tuán)B的總質(zhì)量增長得越快，可見這時(shí)候集團(tuán)A的交換遷移聚集對集團(tuán)B的總質(zhì)量的增加有很大的影響.

2 伴隨著催化劑出生的催化交換模型的求解

利用關(guān)系式B(t) =(1 ?b)，可得出B(t)隨時(shí)間的變化關(guān)系：

把（14）式和（15）式代入Ansatz假設(shè)，可以得出如下的集團(tuán)濃度分布函數(shù)bk(t)隨時(shí)間的演化形式：

在k?1，t?1時(shí)，式（16）可寫成下面的近似形式：

集團(tuán)B的集團(tuán)濃度分布滿足下面推廣標(biāo)度的形式[11]：

其中集團(tuán)B的特征大小為SB(t) ;LB0te xp().可以看出在這種情況下，系統(tǒng)聚集的速度比不出生時(shí)的聚集速度要大很多，不是成正比關(guān)系增長，而是呈指數(shù)關(guān)系增長.

同樣，利用Ansatz假設(shè)可以把（3）式寫成下面微分方程組的形式：

從而可以寫出集團(tuán)濃度分布函數(shù)ak(t)隨時(shí)間t演化的形式：

在k?1，t?1時(shí)，（22）式可寫成下面的近似形式：

集團(tuán)A的集團(tuán)濃度分布函數(shù)ak(t)滿足下面廣義標(biāo)度的形式[5]：

在這里f(t) =exp()，標(biāo)度指數(shù)分別為ω=2，z=1.系統(tǒng)的特征大小S(t)隨時(shí)間呈指數(shù)形式增長，比催化劑不出生的交換聚集生長模型[10]中的聚集速度要快得多.從反應(yīng)速率核可以看出，集團(tuán)B的催化能力與自身集團(tuán)的大小有關(guān)，自身集團(tuán)隨時(shí)間迅速變大，因此與催化劑不出生的模型相比，在本文模型中集團(tuán)B的催化能力要大得多，集團(tuán)A聚集生長的速度也遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于在催化劑不出生的模型中的速度.

這種情況下仍可得出系統(tǒng)集團(tuán)的總集團(tuán)數(shù)目：

集團(tuán)總數(shù)目隨時(shí)間以指數(shù)形式衰減.

3 結(jié) 語

本文依據(jù)現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)社會(huì)中的貿(mào)易現(xiàn)象，基于文獻(xiàn)[4]的交換遷移聚集生長模型，提出了伴隨著催化劑出生的交換遷移模型，并根據(jù)模型提出的背景，取得了恰當(dāng)?shù)姆磻?yīng)速率核.在平均場理論的基礎(chǔ)上，列出了反應(yīng)速率核方程，并在初始條件下設(shè)出了方程的解的具體形式即Ansatz假設(shè)，利用此假設(shè)給出了反應(yīng)速率方程的解，求出了濃度分布函數(shù)隨時(shí)間變化的關(guān)系，得到了系統(tǒng)中集團(tuán)的總質(zhì)量以及集團(tuán)的總數(shù)目隨時(shí)間的變化關(guān)系，并得到了系統(tǒng)集團(tuán)的特征大小，從而體現(xiàn)出系統(tǒng)中集團(tuán)聚集的快慢.

通過研究發(fā)現(xiàn)，在伴隨著催化劑出生的交換遷移模型中，系統(tǒng)的聚集速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于在催化劑不出生的交換聚集生長模型中的聚集速度，這說明催化劑的出生對自身的聚集和被催化集團(tuán)的聚集都有很大的影響.因?yàn)榧瘓F(tuán)A的聚集速度與集團(tuán)B的總質(zhì)量有關(guān)，所以隨著催化劑B質(zhì)量的不斷增大，集團(tuán)A交換聚集的速度也不斷增大.集團(tuán)A的一次交換聚集又會(huì)催化集團(tuán)B出生一個(gè)，如此反復(fù)循環(huán)，對應(yīng)著經(jīng)濟(jì)中最好的一種理想的協(xié)作效應(yīng)，經(jīng)濟(jì)的速度將會(huì)呈現(xiàn)非線性增長.

[1]Ispolatov S, Krapivsky P L, Redner S. Wealth distributions in asset exchange models [J]. Eur Phys J B, 1998, 5: 267-276.

[2]Leyvraz F, Redner S. Scaling theory for migration-driven aggregate growth [J]. Phys Rev Lett, 2002, DOI: 10.1103/PhysRevLett.88.068301.

[3]Ben-Naim E, Krapivsky P L. Exchange-driven growth [J]. Phys Rev E, 2003, DOI: 10.1103/PhysRevE.68.031104.

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[5]Lin Z Q, Ke J H. Kinetics of a migration-driven aggregation processe with birth and death [J]. Phys Rev E, 2003, DOI: 10.1103/PhysRev E.67.031103.

[6]Lin Z Q, Ke J H, Ye G X. Mutually catalyzed birth of population and assets in exchange-driven growth [J]. Phys Rev E, 2006, DOI: 10.1103/PhysRevE.74.046113.

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[8]Ke J H, Lin Z Q, Zheng Y Y, et al. Migration-driven aggregate growth on scaling-free networks [J]. Phys Rev Lett, 2006, DOI: 10.1103/PhysRevLett.97. 028301.

[9]Ke J H, Lin Z Q, Zheng Y Y, et al. Kinetics of migration-driven aggregation processes on scale-free networks [J]. Phys Rev E, 2006, DOI: 10.1103/PhysRevE.74.056102.

[10]李曉東. 多種催化劑作用下聚集系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)標(biāo)度行為的研究[D]. 溫州: 溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院, 2010: 46-52.

[11]Ben-Naim E, Krapivsky P L. Kinetics of aggregation-annihilation processes [J]. Phys Rev E, 1995, 52, 6: 6066-6070.

Kinetic Behavior of Catalytically-driven Exchange Model with Catalyst Yielding

LI Xiaodong
(College of Physics and Electronic Information Engineering, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

According to the existing intermediary trade phenomena in the social economic system, a model of catalytically-driven exchange with catalyst yielding was proposed and the reaction rate equation of this system’s group evolution was given. Then the equation was calculated by using the Ansatz hypothesis. Finally, the scaling behavior that was satisfied by the system’s group distribution after a period of time and the evolutionary form of total mass and total number of group with time were obtained.

Catalytic Exchange; Scaling Behavior; Reaction Rate Equation

(編輯：王一芳)

O415

A

1674-3563(2010)06-0030-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2010.06.006 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2010-03-30

國家自然科學(xué)基金(10775104)；國家自然科學(xué)基金(10305009)

李曉東(1983- )，男，陜西西安人，碩士研究生，研究方向：軟物質(zhì)物理