趙海洲 李 煙

摘 要:從Maxwell旋度方程出發(fā),根據(jù)集總元件的伏安特性,推導(dǎo)了電阻、電容、電感、二極管、三極管等基本微波電路元件的單網(wǎng)格和多網(wǎng)格FDTD模型。單網(wǎng)格模型是不論集總元件的形狀和大小都只占據(jù)一個網(wǎng)格的處理方法;多網(wǎng)格模型則是根據(jù)集總元件的實(shí)際形狀和大小將元件跨接在多個網(wǎng)格上,顯然這種處理方法更符合實(shí)際情況。最后仿真了一個由單個元件組成的簡單微帶電路——上限限幅器。仿真結(jié)果與理論結(jié)果吻合得很好,證明了仿真結(jié)果的正確性。

關(guān)鍵詞:集總元件;FDTD;單網(wǎng)格模型;多網(wǎng)格模型

中圖分類號:TM13 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

文章編號:1004-373X(2009)21-019-06

Simulation of Microstrip Circuits with Microwave Devices by FDTD Method

ZHAO Haizhou,LI Yan

(Missile College,Air Force Engineering University,Sanyuan,713800,China)

Abstract:According to the Volt-Ampere characteristic of microwave devices,FDTD formers of resistance,capacitance,inductance,and diode are induced from Maxwell′ curl equations.The form includes single grid former and multi grids former,the single grid former is such a method that the device just takes up a grid in spite of shape and size,The multi grids former is ヾifferent from single grid former,according to the formula of multi grids former,the device takes up multi grids basing on its shape and size,clearly,this method is more felicitous to the fact.A simple microstrip circuit-upper limiter which is composed of single microwave device is simulated.The simulated result tally well with the academic result,this proves that the simulation is right.

Keywords:microwave device;FDTD;single grid former;multi grids former

0 引 言

應(yīng)用FDTD[1,2]分析微波電路時,需要考慮集總元件,如電阻、電容、電感、二極管、晶體管[3-6]等,它們中有的是線性元件,有的是非線性元件,有的是無源元件,有的是有源元件,要想完成對復(fù)雜微波電路的仿真,必須首先得出這些基本元件的FDTD模型。對于包含電尺寸相對小的集總元件的微波電路,在進(jìn)行FDTD模擬時,可以利用集總元件的伏安特性與Maxwell方程之間的關(guān)系,直接把電路元件的支配方程代入Maxwell方程,并把集總元件編入FDTD的迭代公式中,這樣便可得到集總元件的FDTD迭代形式。但是這種方法只適合于簡單的兩端口集總元件,這是因為兩端口集總元件電路簡單,可以很容易地寫出電路的電壓與電流之間的關(guān)系表達(dá)式。但是對于復(fù)雜的集總元件,由于等效集總電路[7-9]很復(fù)雜,因此這種方法變得很麻煩,而且對于復(fù)雜的三端口集總元件已經(jīng)不能再處理,更一般的方法是用等效電流源或者等效電壓源替代集總元件。等效電流源和等效電壓源不僅表征了集總元件端口處的散射特性,而且表征了集總元件的伏安特性。等效源在數(shù)值上代表了微波集總元件的電流和電壓。這些復(fù)雜的集總元件的電路伏安特性需要用一套微分方程組(狀態(tài)變量方程)來表示,就要通過聯(lián)立Maxwell方程和電路的狀態(tài)變量方程來模擬微波電路中的集總元件。以上處理集總元件的FDTD方法都是聯(lián)立無器件區(qū)域的Maxwell方程和微波器件的電路方程進(jìn)行迭代求解的,但是在求解過程中,電尺寸小的微波器件都是由集總等效電路來代替的,在模擬中等效電流源或者等效電壓源都以細(xì)線處理,放置在網(wǎng)格的一條邊上,由于沒有考慮微波器件的實(shí)際尺寸以及器件在電路中的精確位置,因而導(dǎo)致了寄生電容,產(chǎn)生了數(shù)值色散,最后可能破壞計算結(jié)果。針對存在的這種問題,在等效原理的基礎(chǔ)上,介紹了一種新的集總元件FDTD模擬方法。該方法根據(jù)實(shí)際情況,將集總元件的FDTD模型從占據(jù)一個網(wǎng)格推廣到多個網(wǎng)格[10],這樣更符合實(shí)際電路的情況,從而解決了需要考慮尺寸時微波集總元件的FDTD模擬問題。[FL)]

1 單網(wǎng)格模型

假定集總元件尺寸小于一個FDTD元胞的大小,由于集總元件的存在,麥克斯韋旋度方程應(yīng)變?yōu)橐韵滦问?

×H=礑祎+Jc+JL[JY](1)

式中:Jc=σE為傳導(dǎo)電流;JL為集總元件電流。下面推導(dǎo)中不失一般性,設(shè)JL沿ez方向,JL與集總元件總電流ILУ墓叵等縵:

JL=ILΔxΔy[JY](2)

將式(1)離散差分,得到Ez的FDTD關(guān)系式為:

En+1z(i,j,k+1/2)=Enz(i,j,k+1/2)+Δtε0(Δ×H)zn+1/2﹊,j,k+1/2-Δtε0ΔxΔyIn+1/2L(i,j,k+1/2)[JY](3)

上式中設(shè)集總元件處在真空中。即傳導(dǎo)電流Jc=0,且集總元件電流位于Ez節(jié)點(diǎn)位置,如圖1所示。

圖1 位于Ez節(jié)點(diǎn)的集總元件模型

[BT3]1.1 電阻

電阻電流為:

In+1/2﹝R(i,j,k+1/2)=Un+1/2﹝R(i,j,k+1/2)R[JY](4)

式中:U﹝R為電阻兩端電壓,它與電場強(qiáng)度Ez的關(guān)系為:

Un+1/2﹝R(i,j,k+1/2)=Δz2[En+1z(i,j,k+1/2)+Enz(i,j,k+1/2)][JY](5)

將式(4)、式(5)代入式(3)得:

En+1z(i,j,k+1/2)[WB]=Enz(i,j,k+1/2)+Δtε0(Δ×H)zn+1/2﹊,j,k+1/2-Δtε0ΔxΔyΔz2R[En+1z(i,j,k+1/2)+Enz(i,j,k+1/2)][JY](6)

即:

En+1z(i,j,k+1/2)[WB]=1-ΔtΔz2Rε0ΔxΔy1+ΔtΔz2Rε0ΔxΔyEnz(i,j,k+1/2)+Δt/ε01+ΔtΔz2Rε0ΔxΔy(Δ×H)zn+1/2﹊,j,k+1/2[JY](7)

式(7)即為電阻所在位置的電場FDTD計算公式。

具有內(nèi)阻Rs的電壓源Us與電阻具有相同的FDTD迭代形式,只是電流公式略有改動,如式(8)所示。

In+1/2﹝s(i,j,k+1/2)=Δz2Rs[En+1z(i,j,k+1/2)+Enz(i,j,k+1/2)]+Un+1/2sRs[JY](8)

于是得到電壓源Us的FDTD計算公式:

En+1z(i,j,k+1/2)[WB]=1-ΔtΔz2Rsε0ΔxΔy1+ΔtΔz2Rsε0ΔxΔyEnz(i,j,k+1/2)+Δt/ε01+ΔtΔz2Rsε0ΔxΔy(Δ×H)zn+1/2﹊,j,k+1/2+

[DW] ΔtRsε0ΔxΔy1+ΔtΔz2Rsε0ΔxΔyUn+1/2s[JY](9)

[BT3]1.2 電容

流過電容C的電流為:

IC=dQdt=CdUdt[JY](10)

將電壓與電場強(qiáng)度的關(guān)系式代入式(10)便可得到電流與電場強(qiáng)度Ez的關(guān)系如下:

In+1/2﹝C(i,j,k + 1/2)[WB]=CdUn+1/2﹝C(i,j,k+1/2)dt=Cddt[ΔzEn+1/2z(i,j,k+1/2)]

[DW]= CΔzΔt[En+1z(i,j,k+1/2)-Enz(i,j,k+1/2)][JY](11)

將式(11)代入式(3)得到電容的FDTD計算公式:

En+1z(i,j,k+1/2)=Enz(i,j,k+1/2)+Δt/ε01+(CΔz/ε0ΔxΔy)(Δ×H)zn+1/2﹊,j,k+1/2[JY](12)

[BT3]1.3 電感

電感端電壓與電流之間的關(guān)系為:

I=1L∫t0Udt[JY](13)

設(shè)起始電流為0,由電壓與電場強(qiáng)度的關(guān)系,可得電流與電場強(qiáng)度Ez的關(guān)系為:

In+1/2﹝L(i,j,k+1/2)=1L∑nm=1Um﹝L(i,j,k+1/2)Δt= ΔtΔzL∑nm=1Emz(i,j,k+1/2)[JY](14)

將上式代入式(3)得到電感的FDTD計算公式:

En+1z(i,j,k+1/2)=Enz(i,j,k+1/2)+Δtε0(Δ×H)zn+1/2﹊,j,k+1/2-Δz(Δt)2ε0LΔxΔy∑nm=1Emz(i,j,k+1/2)[JY](15)

[BT3]1.4 二極管

二極管為非線性元件,其電流計算公式為:

ID=I0expqUDKT-1[JY](16)

式中:q=1.502×10-19(J/eV)為電子電量;K=1.38×10-23為波爾茲曼(Boltzman)常數(shù);T為絕對溫度。

式(16)的離散形式為:

In+1/2﹝L(i,j,k+1/2)=I0exp[JB([]qΔz(En+1z(i,j,k+1/2)+Enz(i,j,k+1/2))2KT[JB)]]-1[JY](17)

將上式代入式(3)得:

En+1z(i,j,k+1/2)[WB]=Enz(i,j,k+1/2)+Δtε0(Δ×H)zn+1/2i,j,k+1/2

[DW] -Δtε0ΔxΔyI0exp[JB([]qΔz(En+1z(i,j,k+1/2)+Enz(i,j,k+1/2))2KT[JB)]]-1[JY](18)

上式即為二極管所在位置的電場FDTD計算公式,它為超越方程,用一般的方法很難得到正確的解,可以用牛頓迭代法解出En+1z,從而實(shí)現(xiàn)從Enz到En+1zУ氖奔洳澆。

2 多網(wǎng)格模型

在上一節(jié)中,介紹了集總元件的單網(wǎng)格模型,但在實(shí)際情況中,集總元件的尺寸往往并不是只占一個網(wǎng)格,

而是占據(jù)多個網(wǎng)格,為了適應(yīng)這種情況,這里介紹多網(wǎng)格的集總元件模型。

圖2 集總元件的多網(wǎng)格模型

以下以內(nèi)阻源為例來說明多網(wǎng)格模型的建立方法。假設(shè)內(nèi)阻源跨接在z方向的N(k2-k1)Ц鐾格上,如圖2所示。[JP]

由電路理論可知,IL=(Us-UL)/Rs,其中UL=-∑k2k=k1E﹝,i,j,kΔz。于是得到zХ較蚣總電流密度為:

Jn + 1/2﹝L=[Us+12∑k2k=k1(En+1﹝,i,j,k+En﹝,i,j,k)Δz]/Rs[JY](19)

為了得到穩(wěn)定的迭代公式,電場采用了時間平均值。將┦(19)代入式(3),得到內(nèi)阻源的多網(wǎng)格迭代公式:

En+1z(i,j,k+1/2)[WB]=Enz(i,j,k+1/2)+Δtε0(Δ×H)zn+1/2﹊,j,k+1/2-Δtε0[Us+12∑k2k=k1(En+1﹝,i,j,k+1/2+En﹝,i,j,k+1/2)Δz]/Rs[JY](20)

化簡得:

En+1z(i,j,k+1/2)[WB]=1-ΔtΔz2Rsε0ΔxΔy1+ΔtΔz2Rsε0ΔxΔyEnz(i,j,k+1/2)+ Δt/ε01+ΔtΔz2Rsε0ΔxΔy(Δ×H)zn+1/2﹊,j,k+1/2

[DW] +ΔtRsε0ΔxΔy1+ΔtΔz2Rsε0ΔxΔy[Uns+∑k2k=k1(≠k)En﹝,i,j,kΔz][JY](21)

若圖2中的集總元件為電容,同樣考慮跨接在N(k2-k1)Ц鐾格上,由式(10)可得流過電容的電流密度為:

Jn+1/2﹝L=CΔz∑k2k=k1(En+1﹝,i,j,k+1/2-En﹝,i,j,k+1/2)/Δt[JY](22)

將式(22)代入式(3)后可得到一組相互耦合的線性方程,它們構(gòu)成如下的線性方程組:

[C﹑q][En+1﹝,i,j,p]=[Bp],p,q=k1～k2[JY](23)

其中:

Bp=ε0ΔxΔyΔtEn﹝,i,j,p+ΔxΔyΔ×Hn+1/2﹊,j,p+CΔzΔt∑k2k=k1En﹝,i,j,k+1/2[JY](24)

C﹑q=CΔz/Δt, [WB]p≠q

ε0ΔtΔxΔy+CΔz/Δt,[DW]p=q[JY](25)

這樣,通過求解線性方程組即可得到電容的多網(wǎng)格迭代公式。

若圖2中的集總元件為電感,由式(13)可得到流過電感的電流密度為:

Jn+1/2﹝L=ΔzΔt2LΔxΔy∑k2k=k[En+1﹝,i,j,k+1/2+2∑nl=2El﹝,i,j,k+1/2+E1﹝,i,j,k+1/2][JY](26)

將式(26)代入式(3),得到式(23)形式的線性方程組,其系數(shù)為:

Bp=ε0ΔxΔyΔtEn﹝,i,j,p+ΔxΔyΔ×Hn+1/2﹊,j,p+ΔtΔz2L∑k2k=k1[2∑nl=2El﹝,i,j,k+1/2+E1﹝,i,j,k+1/2][JY](27)

C﹑q=ΔtΔz2L,[WB]p≠q

ε0ΔtΔxΔy+ΔtΔz2L,[DW]p=q [JY](28)

通過解此線性方程組,即可得到電感的FDTD步進(jìn)公式。

對于二極管,同樣容易得到電流密度為:

Jn+1/2﹝L=-I0ΔxΔyexp[JB((]-qΔz∑k2k=k1En+1/2﹝,i,j,k+1/2KT-1[JB))][JY](29)

將式(29)代入式(3),電場采用時間平均值,于是可得到二極管的多網(wǎng)格FDTD步進(jìn)公式:

En+1﹝,i,j,k[WB]=En﹝,i,j,p+Δtε0Δ×Hn+1/2﹊,j,p+I0Δtε0ΔxΔyexp[JB([]-qΔz2L(2∑k2m=k1(≠k)En﹝,i,j,m+1/2+En+1﹝,i,j,k+1/2+En﹝,i,j,k+1/2)2KT-1[JB)]][JY](30) [HJ][FL(]

3 算例

算例一:如圖3所示,本例中仿真的是一簡單的微帶電路,微帶線導(dǎo)帶寬0.75 mm,介質(zhì)層高1 mm,介質(zhì)介電常數(shù)εr=13.0,導(dǎo)電率σ=0。整個計算空間區(qū)域為40Δx×30Δy×25Δz,各方向空間步長為:Δx=0.25 mm,Δy=Δz=0.125 mm,時間步長Δt=0.2 ps,采用┒階Mur吸收邊界條件。激勵源為電阻電壓集總源,跨接在微帶線近端z方向上導(dǎo)帶中心和接地板之間的8個網(wǎng)格上。電壓Us是幅度為1的高斯脈沖,脈沖寬度為1 000Δt,電源內(nèi)阻Rs=50 Ω。

[JP2]算例二:二極管作為重要的半導(dǎo)體器件,它在電子領(lǐng)域的作用不言而喻,本例即仿真二極管的電磁特性。微帶線導(dǎo)帶寬2.43 mm,長84.66 mm,介質(zhì)層高0.795 mm,介質(zhì)介電常數(shù)εr=2.2。整個網(wǎng)格空間為220Δx×30Δy×10Δz,各方向空間步長為:Δx=0.423 3 mm,Δy=0.404 6 mm,Δz=0.265 mm,時間步長Δt=0.441 ps,采用二階Mur吸收邊界條件。激勵源為電阻電壓集總源,Us=10sin(2πft),f=500 MHz。二極管反向飽和電流㊣s=10-6A,熱力學(xué)溫度T=300 K。[JP]

圖3 簡單混合電路

圖4為電阻兩端電壓隨時間變化圖,圖5為電容兩端電壓隨時間變化圖,圖6為電感兩端電壓隨時間變化圖,圖7為二極管電壓單網(wǎng)格模型與多網(wǎng)格模型的結(jié)果比較。

圖4 電阻電壓

算例三:本例仿真的是一個由二極管、電阻、電源組成的簡單電路——上限限幅器,如圖8所示。二極管參數(shù)及輸入電源參數(shù)與例二相同,電阻R=50 Ω,參考電壓V㏑EF =3 V。圖9為限幅電壓V0隨時間步變化圖。

圖5 電容電壓[KH-2]

圖6 電感電壓

圖7 二極管電壓

圖8 上限限幅器

圖9 限幅電壓隨時間變化圖

4 結(jié) 語

本文由麥克斯韋基本方程出發(fā),推導(dǎo)了電阻、電容、電感、二極管等集總元件的FDTD步進(jìn)公式。并根據(jù)實(shí)際情況,推導(dǎo)出了集總元件占多個網(wǎng)格時的公式形式,這大大拓展了FDTD的適應(yīng)范圍。最后本文建模仿真了一個由集總元件組成的簡單微帶電路——上限限幅器,仿真結(jié)果與理論結(jié)果相吻合,證明了仿真結(jié)果的正確性。

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作者簡介

趙海洲 男,1978年出生,陜西戶縣人,碩士研究生,講師。研究方向為雷達(dá)工程。

李 煙 男,1983年出生,湖南新化人,碩士研究生。研究方向為電磁散射與輻射。