黃 亮,朱文白,唐曉強(qiáng),姚 蕊

(1.中國科學(xué)院國家天文臺(tái)，北京 100012;2.清華大學(xué)精密儀器與機(jī)械學(xué)系,北京 100084)

上世紀(jì)90年代初，國際天文學(xué)界提出建造大型射電望遠(yuǎn)鏡計(jì)劃。經(jīng)過不斷努力，中國科學(xué)家提出利用貴州天然的喀斯特洼地，建造目前世界上最大的單口徑射電望遠(yuǎn)鏡——500m口徑球面天文望遠(yuǎn)鏡(Five-hundred-meter Aperture Spherical Telescope)，簡稱FAST[1]。FAST望遠(yuǎn)鏡饋源支撐系統(tǒng)主要有兩級調(diào)節(jié)系統(tǒng)協(xié)調(diào)完成饋源的定位和指向調(diào)整：一級調(diào)節(jié)系統(tǒng)由6根鋼索拖動(dòng)饋源艙，實(shí)現(xiàn)饋源艙大范圍的空間掃描，并初步滿足觀測要求；二級調(diào)節(jié)系統(tǒng)由AB軸、Stewart平臺(tái)等部分組成，實(shí)現(xiàn)饋源精確定位和饋源姿態(tài)精整[2]。由高塔、鋼索和饋源艙組成的一級調(diào)節(jié)系統(tǒng)可視為巨型索牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

索牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)自提出以來，憑借結(jié)構(gòu)簡單、工作空間大等特點(diǎn)，在起重、風(fēng)動(dòng)實(shí)驗(yàn)等諸多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[3]。為對索牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)施控制，獲得索長的準(zhǔn)確信息是重要一環(huán)。很多索牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)索長跨度小，在分析中將繩索構(gòu)型簡化為直線。但在FAST望遠(yuǎn)鏡中，鋼索跨度超過100m，鋼索的自重不能忽略，而呈懸鏈線狀[4-5]。在懸鏈線方程中，鋼索的索長和鋼索的張力構(gòu)成非線性關(guān)系，因此需要使用迭代法求解[5-6]。在有的機(jī)構(gòu)中將懸鏈線簡化為拋物線，通過引入Moore-Penrose廣義逆來迭代求解[7]。

在應(yīng)用迭代法求解索長的過程中，迭代計(jì)算開始前需要確定迭代初值，迭代初值的選取對收斂性和迭代步數(shù)有很大影響。而且每一步迭代都要求解一個(gè)線性方程組，解算效率較低。為提高解算效率，簡化求解過程，本文提出一種線性簡化模型——贗曲線模型。經(jīng)過比較精確的非線性模型和簡化模型的求解結(jié)果，說明了簡化模型在求解上的精確性和快速性，為實(shí)時(shí)控制和大規(guī)模的計(jì)算提供便利。另外，由于饋源位姿調(diào)整由兩級調(diào)節(jié)系統(tǒng)協(xié)作完成，在給定位置時(shí)，饋源艙體的姿態(tài)可在一定范圍內(nèi)變化，饋源艙可以在不同姿態(tài)下求解對應(yīng)的索力和索長。故而在給定位置下，索力可視為姿態(tài)的函數(shù)。這就為索力的優(yōu)化提供了可能。為此，本文還以在給定位置處6根鋼索的索力值盡可能均勻分布為優(yōu)化目標(biāo)，對索力進(jìn)行優(yōu)化。

1 巨型索牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)

巨型柔索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)如圖1。6座高塔Ti(i=1～6)均勻分布在反射面周邊，通過鋼索牽引饋源艙在饋源球冠面上運(yùn)動(dòng)。饋源艙上有3個(gè)鉸接點(diǎn)J1(J2)、J3(J4)、J5(J6)，每個(gè)鉸接點(diǎn)連接兩根鋼索，依次與高塔T1～T6對應(yīng)。記與高塔Ti連接的鋼索為Ci，i=1～6。饋源艙下安裝AB軸與Stewart平臺(tái)。在完成子系統(tǒng)關(guān)鍵技術(shù)實(shí)驗(yàn)后，中國科學(xué)院國家天文臺(tái)在密云建造了機(jī)構(gòu)完整的50m FAST縮尺模型，并在此基礎(chǔ)上全面試驗(yàn)和驗(yàn)證FAST各項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)。

為便于描述，以反射面底部中心為原點(diǎn)O建立全局坐標(biāo)系C1[X-Y-Z]，X軸指向高塔T1，Z軸指向天頂。以饋源重心為原點(diǎn)Ow建立與饋源艙體固連的艙體坐標(biāo)系C2[Xw-Yw-Zw]，Zw軸與3個(gè)鉸接點(diǎn)組成的平面J1J3J5垂直，指向天空方向；Xw軸垂直于Zw軸，指向鉸接點(diǎn)J1。以鋼索Ci與饋源艙體的鉸接點(diǎn)Ji為原點(diǎn)OCi建立鋼索坐標(biāo)系C3i[XCi-YCi-ZCi]，規(guī)定XCiOCiYCi平面與XOY平面平行，XCi軸指向?qū)?yīng)的鐵塔Ti，ZCi軸與Z軸方向一致，其中i=1～6，共有6個(gè)鋼索坐標(biāo)系。

圖2 艙體姿態(tài)角示意圖Fig.2 Illustration of the attitude angle of the feed cabin

饋源艙的位姿可以通過全局坐標(biāo)系C1到艙體坐標(biāo)系C2的齊次坐標(biāo)變換得到：在C1系中，先繞Z軸旋轉(zhuǎn)角度θ，再繞單位向量f旋轉(zhuǎn)角度γ，最后平移向量r得到C2系。其中單位向量f在C1系中表示為(cosψ,sinψ, 0)，r=xwi+ywj+zwk，(xw,yw,zw)是Ow在C1系中的坐標(biāo)，則變換矩陣可以寫為：

Q=Trans(xw,yw,zw)Rot(f,γ)Rot(Z,θ)

(1)

其中Rot(f,γ)是繞f軸旋轉(zhuǎn)角度γ的旋轉(zhuǎn)矩陣[8]。

若向量f和向量r垂直，則角度γ即為艙體的傾斜角，艙體的姿態(tài)可以用(ψ,γ,θ)來表示。當(dāng)艙體重心坐標(biāo)(xw,yw,zw)給定，即可根據(jù)向量f垂直于向量r得到角度ψ。根據(jù)FAST望遠(yuǎn)鏡機(jī)構(gòu)的布局和坐標(biāo)系的建立方法，角度θ不隨艙體位置的變化而變化，始終為0.5236rad，即30°。

2 索力的解算和優(yōu)化

2.1 鋼索的受力分析

以某一根鋼索為分析對象，省略下腳標(biāo)i，記鋼索與饋源艙的鉸接點(diǎn)為B，鋼索在B處所受拉力為TB，HB和VB分別為TB的水平和豎直分量；鋼索與高塔定滑輪接觸點(diǎn)為A，鋼索在A處所受拉力為TA，HA和VA分別為TA的水平和豎直分量。鋼索除在A、B兩點(diǎn)受到拉力作用外，還要受自身重力作用，單位長度的鋼索所受重力為q，其受力情況如圖3。h和l分別為A、B兩點(diǎn)之間的豎直和水平距離，σ為TB與水平面的夾角。

圖3 鋼索的受力分析Fig.3 Force analysis of a steel cable used as a catenary

圖4 艙體的受力分析Fig.4 Force analysis of the feed cabin

鋼索的形狀可用不同的解析式來表達(dá)，為獲得準(zhǔn)確的索長信息，選用懸鏈線準(zhǔn)確的表達(dá)式描述鋼索形狀：

(2)

由(2)式可以得到鋼索的索長L：

(3)

進(jìn)一步代換可得：

(4)

對A點(diǎn)列寫力矩平衡方程，可得到VB。記：

(5)

則鋼索拉力的豎直分量為：

(6)

VA=qL-VB

(7)

作為柔性件，鋼索不能承受壓力，只能受拉力。為避免鋼索虛牽，需給鋼索一個(gè)最小的預(yù)緊力Tmin[3]。同時(shí)鋼索的拉力不能無限增大，應(yīng)小于拉力上限Tmax，故拉力應(yīng)滿足：

Tmin

(8)

2.2 鋼索索力的求解

2.2.1 艙體靜平衡方程

(9)

以HB為未知數(shù)，將(5)、(6)兩式代入方程組(9)，整理得：

A6×6HB6×1=b6×1

(10)

其中:

式中ηi為第i個(gè)鋼索坐標(biāo)系的XC軸與全局坐標(biāo)系X軸的夾角；(xJi,yJi,zJi)為第i根鋼索與饋源艙鉸接點(diǎn)在全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo);

式中W為饋源艙所受的重力；(xw,yw,zw)為饋源艙艙體坐標(biāo)系原點(diǎn)Ow在全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；I為式(5)所表達(dá)的積分項(xiàng)。待求的6根鋼索索力水平分量組成列向量HB：

HB=[HB1HB2HB3HB4HB5HB6]T.

由于方程組(9)是在精確的懸鏈線方程基礎(chǔ)上得到的，因此稱該模型為懸鏈線模型。由(5)式可知，積分項(xiàng)I為λ的非線性函數(shù)，因此方程組(9)為非線性方程組，要解出TB，需要使用迭代法。

為了得到迭代初始值，首先將懸鏈線簡化為直線，有：

(11)

對比(6)式，(11)式實(shí)際上是將(6)式中的積分項(xiàng)全部拋棄后剩下的部分，稱這一簡化模型為直線模型。由此可以將非線性方程組簡化為線性方程組，整理得：

(12)

其中A即為式(10)中的A項(xiàng)，b′=[0 0WWywWxw0]T。

當(dāng)給定饋源艙位姿時(shí)，即可列寫直線模型方程組(11)，求解得到直線模型索力水平分量HBL。初值HBL確定后，就可用迭代法求解非線性方程組[6]。

求解懸鏈線模型須求解一個(gè)非線性方程組，應(yīng)用迭代法將其轉(zhuǎn)換為求解多個(gè)線性方程組。如果初值選的不好或停止條件過于苛刻，很可能導(dǎo)致結(jié)果不收斂或收斂很慢。在保證精度的前提下為簡化計(jì)算，試圖尋找其他線性模型作為懸鏈線模型的簡化模型，即提出了贗曲線模型。

2.2.2 贗曲線模型及其求解

(13)

由(5)、(6)兩式可知：

(14)

對比(6)、(11)兩式，(14)式并沒有將(6)式中的積分項(xiàng)I全部拋棄，它考慮了鋼索自重對A點(diǎn)的力矩作用，但是它認(rèn)為力臂為l/2，沒有考慮由于鋼索形狀的變化而導(dǎo)致鋼索自重對A點(diǎn)力矩的變化。因此，它介于懸鏈線模型和直線模型之間，稱之為贗曲線模型。利用簡化結(jié)論(13)、(14)，化簡非線性方程組，可得：

(15)

其中A即為式(10)中的A項(xiàng)。

式中Li為第i根鋼索的索長，由式(14)求得。

當(dāng)給定饋源艙位姿時(shí)，即可列寫贗曲線模型方程組(15)，求解得到贗曲線模型索力，記為TBS。解得的TBS需要滿足式(8)所示的約束條件，若不滿足則舍棄該解。求得滿足條件的TBS，即可得到索長LBS。

2.3 鋼索索力的優(yōu)化

根據(jù)天文觀測的要求，饋源在跟蹤射電源時(shí)，饋源的相位中心應(yīng)該時(shí)刻位于射電源和反射面曲率中心所在的直線，即主光軸上，記饋源相位中心傾斜角的理論設(shè)定值為γ0。這一調(diào)節(jié)過程由兩級調(diào)節(jié)系統(tǒng)共同完成：一級調(diào)節(jié)系統(tǒng)調(diào)節(jié)艙體的傾斜角γ，二級調(diào)節(jié)系統(tǒng)對饋源相位中心的傾斜角進(jìn)行補(bǔ)充和精調(diào)。因此艙體的傾斜角γ可以在一定的范圍內(nèi)變化，只要一、二級調(diào)節(jié)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)結(jié)果最終能夠使饋源相位中心傾斜角達(dá)到γ0即可。也就是說在同一位置，饋源艙可以在不同的姿態(tài)下滿足靜平衡方程組。在某一位置(xw,yw,zw)和角度θ、ψ下，可以給定不同的γ值來求解出滿足約束條件(8)的鋼索索力，記使艙體同時(shí)滿足(8)式和靜平衡方程組的傾斜角γ的集合為Γ。索力TB即可視為傾斜角γ的函數(shù)。因此，可以選取一定的優(yōu)化目標(biāo)來對索力進(jìn)行優(yōu)化[9]。

當(dāng)鋼索牽引饋源到達(dá)某一位置時(shí)，如果6根鋼索的索力差別很大，系統(tǒng)的力特性會(huì)變差，控制上表現(xiàn)出較大的時(shí)滯差異，難以協(xié)調(diào)[5,7]。為此提出以在給定位置處6根鋼索的索力值盡可能均勻分布為優(yōu)化目標(biāo)，對索力進(jìn)行優(yōu)化?；阡撍魉髁Ψ讲钭钚≡瓌t的索力優(yōu)化配置方法的尋找目標(biāo)、目標(biāo)函數(shù)、約束條件分別為：

findγ∈Γ

(16)

s.t.AHB=b,Tmin

3 數(shù)值算例

本文基于密云機(jī)構(gòu)完整的50m FAST縮尺模型進(jìn)行計(jì)算，其參數(shù)如表1。

表1 密云50mFAST縮尺模型參數(shù)Table 1 Parameters of the Miyun 50m scaled-down model of the FAST

為比較懸鏈線模型和贗曲線模型對索力的求解結(jié)果，選取饋源球冠面上的均勻分布的193個(gè)測試點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。圖5反映了這193個(gè)測試點(diǎn)在饋源球冠面上的分布。

圖5 測試點(diǎn)在饋源球冠面上的分布Fig.5 The distribution of test points over the spherical cap for positioning the feed cabin

將贗曲線模型得到索力與索長分別記為TBS和LBS，懸連線模型解得的索力與索長分別記為TBC和LBC。兩模型求解結(jié)果的比較見表2。

表2 懸鏈線模型與贗曲線模型求解結(jié)果的比較(i=1～6)Table 2 Comparison of the results between the Catenary Model and the Pseudo-Curve Model

從表2可以看出，兩模型求解結(jié)果非常接近。利用精確的懸鏈線模型得到的結(jié)果，可以求得λch(λ)/sh(λ)在[1.000027, 1.001179]之間變動(dòng)，sh(λ)/λ在[1.000013, 1.000590]之間變動(dòng)，符合贗曲線模型簡化條件，完全可以用贗曲線模型代替懸鏈線模型進(jìn)行求解。在相同計(jì)算機(jī)硬件條件下，用C++分別編制贗曲線模型和懸鏈線模型索力求解程序，懸鏈線模型程序求解一個(gè)位姿下的索力平均耗時(shí)51.04μs，贗曲線模型程序耗時(shí)12.75μs，約為前者的1/4。在實(shí)時(shí)控制中會(huì)涉及到大規(guī)模計(jì)算，贗曲線的解算優(yōu)勢將在大規(guī)模計(jì)算中得到進(jìn)一步體現(xiàn)，也為實(shí)時(shí)控制提供了可能。

當(dāng)艙體傾斜角γ∈Γ時(shí)，各鋼索均不虛牽。索力優(yōu)化就是要在集合Γ中，選取一個(gè)γ滿足優(yōu)化準(zhǔn)則。圖6為沿X軸方向γ的取值范圍。

圖6 沿全局坐標(biāo)系X軸傾斜角γ的取值范圍Fig.6 Value range of γ(describing the inclination of the feed cabin)

圖7 索力方差f(γ)隨傾斜角γ的變化Fig.7 The change of f(γ)with γ,where f(γ) is the variance of the tension along a cable

利用(16)式對贗曲線模型解算的索力進(jìn)行優(yōu)化。選擇饋源球冠面上的4個(gè)點(diǎn)A(0.8084, 0.2166, 8.4335)，B(2.4007, 0.6433, 8.7242)，C(3.9201, 1.0504, 9.2967)和D(5.3204, 1.4256, 10.1337)，如圖5。這4個(gè)點(diǎn)均勻分布在由饋源球冠面最低點(diǎn)到邊緣的弧線上，具有一定代表性。通過索力優(yōu)化，得到在不同傾斜角γ下這4點(diǎn)的索力的方差f(γ)曲線，如圖7。

由圖7可見，索力方差隨著傾斜角的變化而變化；在某一傾斜角下，索力方差可取極小值，此時(shí)索力分布最為均勻。饋源艙越靠近饋源球冠面的邊緣(如點(diǎn)D)，索力方差的極小值越大，索力方差的變化幅度越大，索力方差對傾斜角變化越敏感，因此十分有必要對索力進(jìn)行優(yōu)化。

對饋源球冠面上的193個(gè)點(diǎn)進(jìn)行索力優(yōu)化，優(yōu)化后的索力在[972.8N, 2101.8N]之間變動(dòng)。對某一根鋼索，索力隨著索長的增大而減小；當(dāng)索長較小時(shí)，索力對索長變化非常敏感，索長較大時(shí)，索力在1000N左右波動(dòng)，變化不大。圖8展示了第2根鋼索的索力分布，鋼索C2的索力TB2以高塔T2所在半徑為對稱軸對稱分布，其他5根鋼索的索力分布也具有類似特點(diǎn)。

圖8 鋼索C2的索力分布(N)Fig.8 The distribution of tension along the cable C2

給定位置下進(jìn)行索力優(yōu)化，同時(shí)也可得到與優(yōu)化后索力對應(yīng)的艙體傾斜角γ，利用式(4)也可得到鋼索索長L。在贗曲線模型求解的基礎(chǔ)上，表3給出了索力優(yōu)化后FAST索牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)的有關(guān)參數(shù)值。

表3 索力優(yōu)化后的計(jì)算結(jié)果Table 3 Calculations after the optimization of cable tensions

4 結(jié) 論

本文從大射電望遠(yuǎn)鏡索牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)平衡方程入手，著力分析了靜力學(xué)模型的建立和簡化，并在此基礎(chǔ)上對索力進(jìn)行優(yōu)化，得到一些有益結(jié)論，為后續(xù)工作奠定一定基礎(chǔ)。

(1)在精確的懸鏈線模型基礎(chǔ)上得到的贗曲線模型，將非線性方程組簡化為線性方程組，贗曲線模型在保證求解精度的同時(shí)將求解速度提高了4倍，為實(shí)時(shí)控制或大規(guī)模仿真計(jì)算提供了便利。

(2)利用贗曲線模型得的滿足約束條件的傾斜角組成集合Γ，γ在該集合內(nèi)取值時(shí)都可以避免虛牽，為索力的優(yōu)化提供了可能。提出以在給定位置處6根鋼索的索力值盡可能均勻分布為優(yōu)化目標(biāo)，鋼索索力方差最小為優(yōu)化準(zhǔn)則，對索力進(jìn)行優(yōu)化，得到滿意的優(yōu)化結(jié)果。優(yōu)化后的索力是在該位置下分布最為均勻的一組。

致謝：在論文完成過程得到李輝等同事的大力幫助，提出許多寶貴建議,在此表示感謝。

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