范曉波

(靖江季市中學(xué) 江蘇 靖江 214523)

正交分解法以退為進(jìn)，將求解一般三角形的過程轉(zhuǎn)化為求解直角三角形的過程，是處理多力平衡問題及多力產(chǎn)生加速度問題的常用方法.運(yùn)動(dòng)的分解可以將一個(gè)復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)變成兩個(gè)簡(jiǎn)單直線運(yùn)動(dòng)的疊加，是處理勻變速曲線運(yùn)動(dòng)的基本方法之一.這兩種方法中都涉及到直角坐標(biāo)系的建立；建立的方法不同，實(shí)際運(yùn)算過程有很大差異.那么，該如何確定直角坐標(biāo)系的最佳建立方案呢？下面分別對(duì)正交分解法和運(yùn)動(dòng)的分解中坐標(biāo)系建立的原則進(jìn)行說明.

1 正交分解法中坐標(biāo)系的建立

1.1 正交分解法處理多力平衡問題

建立直角坐標(biāo)系應(yīng)注意：(1)讓盡可能多的力落在坐標(biāo)軸上；(2)盡量不分解未知力.

注意(1)可以最大限度地減少需要分解的力的個(gè)數(shù)，達(dá)到減少運(yùn)算過程的目的；注意(2)能避免未知量后面帶“小尾巴”(指sinθ或cosθ)，可降低中間運(yùn)算的難度.

【例1】一個(gè)傾角為θ(90°>θ>0°)的光滑斜面固定在豎直的光滑墻壁上. 一質(zhì)量為m鐵球在水平推力F作用下靜止于墻壁與斜面之間，且推力的作用線通過球心，如圖1所示.求斜面與墻壁對(duì)鐵球的彈力大小分別是多少.

圖1

分析：鐵球受四個(gè)外力作用且處于靜止?fàn)顟B(tài)，屬多力平衡問題，可運(yùn)用正交分解法處理；在軸坐標(biāo)沿水平方向時(shí)僅需分解一個(gè)外力，運(yùn)算過程簡(jiǎn)單.

解：鐵球受力如圖2.建立直角坐標(biāo)系xOy，由平衡條件可得

圖2

解得

說明：選擇直角坐標(biāo)系的建立方法時(shí)，應(yīng)對(duì)照原則綜合考慮，而且注意(1)優(yōu)先于注意(2)，即在注意(1)滿足的前提下再考慮原注意(2).

1.2 正交分解法處理多力產(chǎn)生加速度的問題

建立直角坐標(biāo)系應(yīng)注意：(1)讓加速度和盡可能多的力落在坐標(biāo)軸上；(2)坐標(biāo)軸指向與加速度方向趨于相同；(3)盡量不分解未知量.

在這類問題中，建立直角坐標(biāo)系時(shí)需要考慮的因素略多.首先，加速度是矢量，同樣可以按需要進(jìn)行分解，為了簡(jiǎn)化分解過程，應(yīng)該把它也考慮進(jìn)去；其次，坐標(biāo)軸指向就是該方向上所有矢量的正方向，如果坐標(biāo)軸指向與相應(yīng)的加速度分量方向相反，必須在含加速度分量的一項(xiàng)前加一個(gè)負(fù)號(hào)，否者就會(huì)在矢量性上犯錯(cuò)誤.最后，為了降低了中間運(yùn)算的難度，要考慮避免未知量后面帶“小尾巴”.

【例2】自動(dòng)扶梯與水平方向成θ角，梯上站一質(zhì)量為m的人.當(dāng)扶梯以加速度a勻加速上升時(shí)，人相對(duì)于扶梯靜止，求人受到的支持力和摩擦力.

分析：人受力如圖3，可以看出這是一個(gè)多力產(chǎn)生加速度的問題，應(yīng)該用正交分解法解決.建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，只需要分解加速度，而且沒有分解未知量，計(jì)算過程最簡(jiǎn)單.

圖3

解：人受力如圖，由牛頓第二定律得

解得

支持力方向豎直向上，摩擦力方向水平向右.

說明：若按傳統(tǒng)方法，x軸沿扶梯(不是扶梯臺(tái)階表面)向上，y軸垂直扶梯向上，F(xiàn)f、FN均需分解，后面的運(yùn)算過程比較麻煩.

【例3】如圖4，當(dāng)升降機(jī)以加速度a勻加速下降時(shí)，物體A相對(duì)于斜面靜止，已知物體A的質(zhì)量為m，斜面的傾角為θ，求此時(shí)物體A受到的支持力和摩擦力大小.

圖4

分析：物體受力如圖5，同樣屬于多力產(chǎn)生加速度的問題，應(yīng)該用正交分解法解決.按照注意(1)、(2)，可用的直角坐標(biāo)系建立方式仍有兩種.

在圖6中，支持力和靜摩擦力需要分解，但它們本身就是未知量，分解后分量表達(dá)式中分別含θ的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，后續(xù)的數(shù)學(xué)計(jì)算有一點(diǎn)難度.

圖5

圖6

在圖7中，重力和加速度需要分解.由于它們和θ均為已知量，分解后分量仍未已知量，無需進(jìn)行其它計(jì)算，數(shù)學(xué)處理過程較為方便，即對(duì)照注意(2)，選擇第二種建立直角坐標(biāo)系的方式最佳.

圖7

解：物體受力如圖，由牛頓第二定律得

解得

說明：按注意(3)建立直角坐標(biāo)系，可以最大限度簡(jiǎn)化計(jì)算過程，達(dá)到低強(qiáng)度、高效率，同時(shí)正確率也有了保障.

3 運(yùn)動(dòng)的分解中坐標(biāo)系的建立

建立直角坐標(biāo)系應(yīng)注意：(1)分運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)盡可能簡(jiǎn)單；(2)有利于待求問題的展開和討論.

利用運(yùn)動(dòng)的分解解決勻變速曲線運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，坐標(biāo)系的建立應(yīng)仔細(xì)推敲，有時(shí)候需要打破常規(guī)，另辟蹊徑.

【例4】如圖8所示，長(zhǎng)斜面OA的傾角為θ，放在水平地面上.現(xiàn)從頂點(diǎn)O以速度v0平拋一小球，不計(jì)空氣阻力，求小球在飛行過程中離斜面的最大距離s.

圖8

分析：小球做平拋運(yùn)動(dòng)，如果仍將x軸沿水平方向，y軸沿豎直方向，很難寫出某一時(shí)刻球與斜面間距離的表達(dá)式，更加無法分析何時(shí)該距離最大.為了有利于問題展開，本題可將x軸沿斜面方向，則球與斜面間距離就變成了小球在y軸方向的位移大小.

解：按圖示直角坐標(biāo)系分解平拋運(yùn)動(dòng)，x方向的分運(yùn)動(dòng)為初速度是v0cosθ、加速度是gsinθ的勻加速直線運(yùn)動(dòng)；y方向是初速度是v0sinθ、加速度是gcosθ的勻減速直線運(yùn)動(dòng).

當(dāng)垂直于斜面的分速度vy減小為零時(shí)，y方向的位移最大，即球離斜面的距離最大.所以

說明：學(xué)物理不能墨守成規(guī)，在掌握常規(guī)方法的基礎(chǔ)上還要能夠根據(jù)實(shí)際情況及時(shí)變通，這樣，才可以不斷提高自己的思維能力.

有些問題中，雖然研究物體做直線運(yùn)動(dòng)，但考慮到解題的方便，也可以考慮利用運(yùn)動(dòng)的分解處理.這時(shí)候，同樣需要考慮直角坐標(biāo)系的建立方法.

【例5】一個(gè)質(zhì)量為m的帶負(fù)電小球處在水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，某時(shí)刻將它以初速度v0從A點(diǎn)射出，且初速度v0與水平方向成θ角.一段時(shí)間后小球沿直線到達(dá)最高點(diǎn)B，如圖9所示.求小球從A運(yùn)動(dòng)到B的過程中電勢(shì)能的變化量.

圖9

分析：電場(chǎng)力、重力均為恒力，合外力必定是恒力，小球做勻變速直線運(yùn)動(dòng).由于電勢(shì)能變化量可用電場(chǎng)力做功來量度，因此電場(chǎng)力應(yīng)盡量單獨(dú)保留，不要分解或與其他力合成.可以建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，將實(shí)際的直線運(yùn)動(dòng)分解為水平方向的勻減速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的豎直上拋運(yùn)動(dòng).

對(duì)x方向的分運(yùn)動(dòng)使用動(dòng)能定理得

而

WF=-ΔEp

所以

說明：運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解解決此題要比直接對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程利用勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律或功能關(guān)系處理簡(jiǎn)單得多.這是對(duì)傳統(tǒng)觀念的一種突破，值得認(rèn)真研究，仔細(xì)體會(huì)，以掌握該處理思想的精髓.

從上面幾道例題的分析中可以看出，直角坐標(biāo)系建立得是否恰當(dāng)，對(duì)解題過程有著重要的影響，因此，在運(yùn)用正交分解法或運(yùn)動(dòng)的分解處理問題前，一定要結(jié)合實(shí)際，仔細(xì)推敲，找出最佳的建立方案，用自己的智慧讓解題過程變得輕松有趣，讓物理的學(xué)習(xí)過程變成一種享受！