范宜仁，張文靜，鄧少貴，孟凡增

（1.中國石油大學(xué)，山東東營257061；2.中國石油渤海鉆探工程有限公司測(cè)井公司，天津300200）

0 引 言

在信號(hào)處理中，與傳統(tǒng)傅里葉（Fourier）變換和窗口傅里葉變換相比，小波變換具有在時(shí)間域和頻率域?qū)π盘?hào)進(jìn)行局部化的特點(diǎn)，在聲波信號(hào)處理中有著廣泛的應(yīng)用前景。陣列聲波測(cè)井可對(duì)井壁及井壁附近傳播的整個(gè)波列進(jìn)行記錄，位于滑行縱波和滑行橫波之間的反射縱波在井旁裂縫識(shí)別中有很好的應(yīng)用效果［1－3］，但反射縱波的能量一般都比較弱，難于提取。本文利用多尺度相關(guān)方法處理聲波全波列，提取反射縱波［4］，在實(shí)際應(yīng)用中取得了很好的效果。

小波的多尺度特性能夠?qū)⒙暡ㄈ兄胁煌Ｊ讲ǚ纸庠诓煌某叨壬希x取合適的小波及尺度，壓制其他高能量模式波，增強(qiáng)小信號(hào)，實(shí)現(xiàn)反射縱波的初步提?。?－7］。反射縱波與滑行縱橫波的頻率比較接近，僅僅通過多尺度分析不能將二者分離，利用小波變換保留時(shí)域特征這一特點(diǎn)，將常用的慢度時(shí)間相關(guān)法［8］與多尺度方法結(jié)合，求得不同尺度下的慢度－時(shí)間相關(guān)圖，保留相關(guān)性好的反射縱波區(qū)域，切除其它區(qū)域，得到能量小的反射縱波。

1 多尺度慢度－時(shí)間相關(guān)法基本理論

1.1 多尺度理論

本文所研究的多尺度分析方法基于小波的基礎(chǔ)之上，根據(jù)聲波全波的特征和所要達(dá)到的目標(biāo)，選用Kingsbury等人提出的雙樹復(fù)小波［9－11］。

雙樹復(fù)小波（DT-CWT）采用二叉樹結(jié)構(gòu)的2路DWT，一樹生成變換的實(shí)部；一樹生成虛部（見圖1）。對(duì)于第1層分解，如果2樹濾波器之間的延遲恰是1個(gè)采樣間隔，就可以確保b樹中第1層的二抽取正好采樣到a樹中因二抽取所丟掉的采樣值；對(duì)于以后的各層分解，為了保證2樹在該層和所有前層上產(chǎn)生的延遲差的總和相對(duì)于原始輸入為1個(gè)采樣周期，2樹對(duì)應(yīng)濾波器的相頻響應(yīng)之間應(yīng)有1／2個(gè)采樣周期的群延遲，且2個(gè)濾波器的幅頻響應(yīng)相等。為了保證線性相位而采用雙正交小波變換，要求一樹的濾波器為奇數(shù)長；另一樹的濾波器為偶數(shù)長。如果在每樹的不同層次間交替采用奇偶濾波器，那么這2樹就會(huì)呈現(xiàn)好的對(duì)稱性。Q-Shift雙樹復(fù)小波變換以更巧妙的方法實(shí)現(xiàn)2樹對(duì)應(yīng)濾波器之間的1／2采樣周期延遲。雙樹復(fù)小波變換具有近似平移不變性、良好方向選擇性、完美重構(gòu)性、有限數(shù)據(jù)冗余性等優(yōu)點(diǎn)。

為了尋找空間L2（R）的基，先從L2（R）的某個(gè)子空間出發(fā)，在這個(gè)子空間中先建立基底，然后利用簡單變化，把這個(gè)基底擴(kuò)充到空間L2（R）上，以形成一組基，這就是多尺度分析方法。

以一維情況為例，信號(hào)的多尺度分析算法可表示為

圖1 雙樹復(fù)小波變換

因cj＋1，n是cj，k的低頻逼近，dj＋1，n是cj，k的高頻細(xì)節(jié)，所以h和g可看作低通和高通濾波器系數(shù)。引入濾波器H和G，其中H＝h（k－2n），G＝g（k－2n），則式（1）簡化為

當(dāng)j取一系列整數(shù)時(shí)，便實(shí)現(xiàn)了對(duì)信號(hào)的多尺度分解。j是多尺度分解的層數(shù)。相應(yīng)的多尺度重構(gòu)算法為

其簡寫形式為

式中，H＊和G＊分別是H和G的對(duì)偶算子。分解和重構(gòu)算法示意圖分別見圖2（a）和圖2（b）。

圖2 信號(hào)的多尺度分解和重構(gòu)算法

1.2 慢度－時(shí)間相關(guān)法（STC）

慢度－時(shí)間相關(guān)法適用于頻散的偶極子陣列信號(hào)分析以提取橫波慢度。由聲波測(cè)井原理可知，井中激發(fā)的模式波在遠(yuǎn)場(chǎng)可以看作沿井軸勻速傳播。因而在接收器陣列上各模式波應(yīng)該具有一定的相關(guān)性。通過設(shè)置對(duì)比窗口，得到依賴于慢度和時(shí)間的相關(guān)函數(shù)

式中，S是慢度；T是對(duì)比窗口的起始位置；m是總的接收器數(shù)目；t是對(duì)比窗口長度；Xm（t）表示第m道聲波信號(hào)；d表示聲波間距。

2 反射縱波的產(chǎn)生及特點(diǎn)

在XMAC測(cè)井的全波列中，反射縱波一般具有以下特點(diǎn)［2］。

（1）反射縱波速度大于或接近地層滑行縱波速度，說明該反射縱波來自于地層內(nèi)部，屬于體波；

（2）反射縱波幅度比較小，在實(shí)測(cè)全波列波形中常常難于直接觀測(cè)到；

（3）反射縱波到達(dá)時(shí)間大于縱波首波到時(shí)，而小于橫波首波到時(shí)，并且在時(shí)間軸上延續(xù)很短。

3 實(shí)際全波列波形處理

圖3為實(shí)際測(cè)量的某一深度段的共源距全波列波形。圖3中直線標(biāo)注出了存在比較明顯的反射縱波，選取其中1個(gè)深度點(diǎn)的數(shù)據(jù)采用本文所提的方法進(jìn)行研究。

圖4為所選深度點(diǎn)的全波波形，由上到下依次為8個(gè)不同源距的接收器接收到的8道波形，組成共炮點(diǎn)道集，明顯觀測(cè)到斯通利波，縱波和橫波幅度較小，觀測(cè)不到反射縱波。圖5為圖4中波形的慢度－時(shí)間相關(guān)圖，可以看出，原始的波形進(jìn)行STC處理后，只有斯通利波表現(xiàn)出較好的相關(guān)性，在相關(guān)圖中，很難確定其他模式波的慢度－時(shí)間區(qū)域。

圖3 某一深度段共源距全波列波形

圖4 共炮點(diǎn)實(shí)測(cè)聲波全波陣列波形

對(duì)圖4中的8道波形分別進(jìn)行雙樹復(fù)小波變換，選取尺度4，進(jìn)行4級(jí)小波分解，再通過單尺度小波重構(gòu)，得到不同尺度上的重構(gòu)波形，相同尺度上的波形組成共尺度道集。通過對(duì)不同尺度上共尺度道集的觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)在尺度3的共尺度道集上顯示出比較明顯的反射縱波，在源距較遠(yuǎn)的6道波形上可觀測(cè)到明顯的反射縱波（直線標(biāo)注）。

圖5 圖4中的陣列聲波的慢度－時(shí)間相關(guān)圖

圖6 尺度3上的重構(gòu)波形

由圖6可以看出，雖然反射縱波比在原始波形下更明顯了，但由于頻率接近，在該尺度上依然存在縱波、橫波等多種模式的波，通過多尺度方法還難以實(shí)現(xiàn)反射縱波的完全提取。

由于小波變換保留了時(shí)間域的特征，利用這一特點(diǎn)可以將慢度－時(shí)間相關(guān)法與多尺度相結(jié)合，用STC法對(duì)尺度3上的共尺度道集（見圖6）進(jìn)行處理，得到慢度－時(shí)間相關(guān)圖。圖7中，相關(guān)性較好的模式波為縱波、反射縱波和橫波，其在圖7中的區(qū)域分別為［40，70］×［300，900］、［20，60］×［900，1 200］、［80，110］×［1 200，1 800］，同時(shí)也計(jì)算出了反射縱波的慢度為36μs／ft（非法定計(jì)量單位，1ft＝12in＝0.304 8m，下同）。根據(jù)所確定的反射縱波的區(qū)域，即可得知在第1道波形上反射縱波的時(shí)間段為900～1 200μs，結(jié)合已經(jīng)得到的慢度值即可計(jì)算出其他波形道上反射縱波的時(shí)間段。保留所確定的反射縱波時(shí)間段內(nèi)的小波系數(shù)值，時(shí)間段外的小波系數(shù)值置0，就得到了最終要提取的反射縱波（見圖8）。

用多尺度-STC方法處理了某一深度段的全波波形，圖9為某一深度段共源距的全波波形處理結(jié)果。

圖7 尺度3下的共尺度道集的慢度－時(shí)間相關(guān)圖

圖8 反射縱波

圖9 某一深度段共源距的反射縱波

4 結(jié) 論

（1）小波變換具有在時(shí)間域和頻率域?qū)π盘?hào)進(jìn)行局部化的特點(diǎn)，雙樹復(fù)小波克服了傳統(tǒng)離散小波變換不具有平移不變性和方向選擇性的缺陷，對(duì)于非平穩(wěn)離散信號(hào)的處理具有更好的優(yōu)勢(shì)。

（2）基于小波的多尺度分解中尺度對(duì)應(yīng)頻率，根據(jù)不同模式波的頻率特性，能夠?qū)⑷ㄐ盘?hào)中不同模式的波分離在不同的尺度上，在合適的尺度上重構(gòu)波形，能夠達(dá)到壓制頻率相差較大的高能量模式波，提取低能量信號(hào)的目的。

（3）小波變換很好地保留了時(shí)間域的特征，能夠?qū)TC與小波變換相結(jié)合。對(duì)不同尺度上重構(gòu)的全波列進(jìn)行STC處理，在得到的慢度－時(shí)間相關(guān)圖上能夠很好地確定相關(guān)性好的模式波的區(qū)域，進(jìn)而對(duì)頻率接近的模式波在時(shí)間上進(jìn)行了分離。

（4）通過多尺度慢度－時(shí)間相關(guān)法對(duì)全波信號(hào)在頻域和時(shí)域分別進(jìn)行處理，達(dá)到了反射縱波的完美提取，為小信號(hào)的提取提供了一種新的方法。

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