韓 東，韓楊飛

（1.中國電子科技集團(tuán)公司第三研究所，北京 100015；2.武警通信總站，北京 100089）

1 引言

互補(bǔ)積累分布函數(shù)（Complementary Cumulative Distribution Function，CCDF）簡單的說就是從功率分配的角度描述輸出信號質(zhì)量的函數(shù)，它體現(xiàn)了信號在等于或超過某個給定電平或者峰/均功率比的概率或者總共的時間。說起CCDF的由來要從概率密度分布函數(shù)（Probability Density Function，PDF）開始。對 PDF進(jìn)行積分就得到了累計分布函數(shù) （Cumulative Distribution Function，CDF）。而CCDF是CDF的補(bǔ)集，或者說CCDF與CDF是互補(bǔ)的。即CCDF=1-CDF。之所以用CCDF而不用CDF表示功率分布，是因為CCDF比CDF更適合描述低概率分布的情況。

在數(shù)字調(diào)制信號測量、產(chǎn)品調(diào)試特別是分析放大器的非線性失真時經(jīng)常用到CCDF測量[1]。CCDF是一種時域上的功率分配統(tǒng)計函數(shù)，在分析變化的功率包絡(luò)和峰均功率比的概率分布方面有獨(dú)特的優(yōu)勢。CCDF與峰均功率比（PAPR）有關(guān)，是衡量信號功率特性、設(shè)備功率線性的一個重要參數(shù)。

2 CCDF曲線圖

圖1是用EFA測量接收機(jī)測得的256QAM的DVB-C調(diào)制信號的CCDF曲線圖。原點(diǎn)0 dB表示所有測量點(diǎn)的平均功率值或參考功率值。x軸是以dB為單位，每格1 dB，表示峰值功率超過均值功率的分貝數(shù)。y軸表示某一個點(diǎn)超出平均功率的概率。由圖1可看出，大多數(shù)功率都集中在低幅度信號上，大功率峰值出現(xiàn)的概率相對罕見。

圖1 CCDF曲線圖（系統(tǒng)截圖）

3 CCDF與峰值因數(shù)

峰值因數(shù)（crest factor）即峰均功率比（PAPR），是信號的峰值功率（Ppeak）與平均功率（Paverage）的比值。crest factor的計算有兩種方法。第一種單純考慮了載波的功率，稱為載波法（carrier approach）；第二種從調(diào)制信號的包絡(luò)功率考慮，稱為包絡(luò)法（envelope approach）。兩種方法計算的結(jié)果相差3 dB。對于恒包絡(luò)信號（比如純正弦波）用包絡(luò)法算得的crest factor為0 dB。因此在提到crest factor時必須明確是用哪種方法計算的，否則沒有意義。就crest factor與CCDF的關(guān)系而言，crest factor主要關(guān)注的是即時信號峰值功率，而CCDF是用統(tǒng)計的方法表現(xiàn)在某一時間段內(nèi)的峰值功率的分布情況，也就是crest factor值在統(tǒng)計區(qū)間內(nèi)的變化和分布情況。用crest factor方法所得的結(jié)果來描述信號的功率特性時會因為對整體樣本的考慮不足帶來一定的偏差。比如有時認(rèn)為被測信號的99.8%都小于所得峰值，0.2%大于所得峰值，這種考慮方法減少了單點(diǎn)信號對波形影響的關(guān)注，特別是0.2%的信號的出現(xiàn)常常是隨機(jī)的。用crest factor來計算信號的峰值功率特性會帶來以下問題：1）在進(jìn)行誤差修正編碼時常常會除去個別單次出現(xiàn)的峰值導(dǎo)致的影響；2）單次出現(xiàn)的峰值高于主流信號電平很多時，被當(dāng)作異常情況忽略掉；3）稀有的峰值信號導(dǎo)致的譜線再生非常少，從而不利于重復(fù)測量；4）由真正噪聲導(dǎo)致的最大峰值的測量依賴于測量時間的長度。

而CCDF用統(tǒng)計的方法對信號的高電平給出了較完整、準(zhǔn)確的描述，在規(guī)定的測量區(qū)間內(nèi)，CCDF不會忽略任何一個隨機(jī)出現(xiàn)的峰值信號。與crest factor一樣，CCDF也有載波法和包絡(luò)法兩種不同的狀態(tài)，兩種方法間同樣有3 dB的差值。CCDF對于評估信號功率失真特性是一個有用的統(tǒng)計工具。例如對于OFDM信號功率包絡(luò)不是恒定的，CCDF在展現(xiàn)被測信號的峰值—平均統(tǒng)計性質(zhì)上就很有用處。CCDF曲線可以被用來檢測被測信號是否被削波。

4 CCDF的應(yīng)用

CCDF廣泛的應(yīng)用于數(shù)字電視及通信產(chǎn)品、系統(tǒng)的性能評測和產(chǎn)品、器件的研發(fā)過程中[2]。

1） 用于器件或系統(tǒng)的CCDF分布曲線與理想CCDF曲線的比對

圖2為用EFA測量DVB-T[3]的OFDM調(diào)制信號的CCDF曲線并與標(biāo)準(zhǔn)曲線比較。

圖2 用EFA測量DVB-T信號源（系統(tǒng)截圖）

這里所說的OFDM信號的標(biāo)準(zhǔn)CCDF曲線取決于計算crest factor的方法。對于包絡(luò)法，理想的OFDM信號的CCDF曲線近似于瑞麗分布；對于載波法，理想的OFDM信號的CCDF曲線近似于正態(tài)分布。

2）用于器件間性能的比較

圖3顯示出不同濾波器的滾降系數(shù)α對CCDF曲線的影響。A線對應(yīng)的α=0.22，B線α=0.75。

圖3 不同滾降系數(shù)的CCDF曲線示意圖

5 數(shù)字電視中的CCDF總結(jié)

現(xiàn)行的數(shù)字電視根據(jù)不同傳輸方式和不同的國家標(biāo)準(zhǔn)有不同的數(shù)字調(diào)制方式。無論哪種調(diào)制方式，CCDF在其射頻信號功率性能的測量中都非常有用。圖4分別為DVB-C，DVB-T和ATSC信號的CCDF曲線，由圖可見，ATSC和DVB-C的CCDF曲線的形狀及測得數(shù)值基本相同，而DVB-T信號比前兩者平滑一些，數(shù)值也較大。這是因為其調(diào)制方式不同于前兩者。DVB-T用的是OFDM正交頻分復(fù)用調(diào)制技術(shù)，屬于多載波調(diào)制系統(tǒng)，根據(jù)中心極限定理，這種調(diào)制系統(tǒng)在子載波數(shù)增大時依分布收斂于復(fù)平穩(wěn)Gaussian隨機(jī)過程，因而其CCDF分布近似于正態(tài)分布（用Carrier approach時）。這種調(diào)制方式在抗多徑干擾、移動接收等方面具有明顯優(yōu)勢，但這種優(yōu)勢需要較高的峰均功率比（PAR），這是由DVB-T規(guī)定的導(dǎo)頻信號所致。實踐證明，在相同的覆蓋范圍內(nèi)DVB-T調(diào)制信號的PAR在99.99%的時間內(nèi)比ATSC系統(tǒng)高2.5 dB。而圖4中DVB-T和ATSC信號的CCDF曲線最大值正好相差約2.5 dB。DVB-C和ATSC屬于單載波系統(tǒng)，其峰均功率比及CCDF由頻譜成型濾波器的滾降系數(shù)決定。而QPSK調(diào)制方式是一種恒定包絡(luò)的二維角度調(diào)制技術(shù)，所以QPSK信號的平均功率恒定，不受幅度衰減的影響，即幅度失真不會使QPSK產(chǎn)生誤碼。

圖4 DVB-C，DVB-T和ATSC信號的CCDF曲線（系統(tǒng)截圖）

6 影響CCDF的因素

影響CCDF的因素有：

1）不同的調(diào)制方式有不同的CCDF曲線；

2）對于OFDM信號，不同的載波數(shù)或調(diào)制星座的大小會影響峰均功率比，調(diào)制星座越大峰均功率比就可能越大；

3）對于DVB-C和ATSC的單載波系統(tǒng)，其峰均功率比和CCDF受頻譜成型濾波器的滾降系數(shù)的影響；

4）通過實驗發(fā)現(xiàn)載噪比（C/N）對CCDF曲線及峰值因數(shù)有影響，如圖5所示，用ETL測量DVB-C信號的CCDF，當(dāng)C/N=15 dB時CCDF曲線的橫向最大值和峰值因數(shù)都大于C/N=5.5 dB時的相應(yīng)值。

圖5 C/N對CCDF曲線及峰值因數(shù)的影響（截圖）

[1]余兆明，余智，車欣.數(shù)字電視測量[M].北京：人民郵電出版社，2008.

[2]劉達(dá).數(shù)字電視技術(shù)[M].2版.北京：電子工業(yè)出版社，2007.

[3]R&S.The crest factor in DVB-T(OFDM)transmitter systems and its influence on the dimensioning of power components[EB/OL].[2009-11-05].http://www2.rohde-schwarz.com/file_1098/7TS02_2E.pdf.