周興廣

（北京強度環(huán)境研究所，北京 100076）

0 前言

在振動環(huán)境模擬試驗領(lǐng)域，多軸振動試驗在產(chǎn)品故障模式復(fù)現(xiàn)和模擬精度方面具有顯著的優(yōu)勢，它能夠真實地模擬實際的動力學(xué)環(huán)境，暴露產(chǎn)品在單軸激勵振動方式下不易被發(fā)現(xiàn)的缺陷和隱患。一些已按規(guī)范通過單軸振動的產(chǎn)品，在多軸振動中會暴露出新的故障，而這些故障模式在實際使用過程中也會出現(xiàn)，從而表明多軸振動環(huán)境試驗可以更逼真地模擬使用環(huán)境[1-2]。

隨機振動試驗是考核產(chǎn)品結(jié)構(gòu)動強度及環(huán)境適應(yīng)性的重要手段，是暴露結(jié)構(gòu)缺陷和鑒定設(shè)備承受使用環(huán)境能力的一種有效方法。通過對試驗現(xiàn)場振動測試數(shù)據(jù)的分析，發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品在使用過程中的振動環(huán)境絕大多數(shù)為多軸隨機環(huán)境，因此隨機載荷作用下結(jié)構(gòu)和部件的動強度分析和疲勞壽命的預(yù)測尤為重要。據(jù)統(tǒng)計，工程構(gòu)件多是因承受隨機載荷作用而失效，疲勞損傷破壞約占到 80%以上。所謂疲勞損傷，是指產(chǎn)品及構(gòu)件在應(yīng)力或應(yīng)變的反復(fù)作用下所發(fā)生的性能變化。隨機載荷下疲勞損傷和可靠性的評價是一個關(guān)鍵的問題[3]。

1 多軸隨機振動環(huán)境下的循環(huán)計數(shù)方法

多軸隨機振動指的是同時使用多個振動臺激勵一個試驗件的高斯分布寬帶隨機振動。文中主要針對高斯寬帶隨機振動激勵的損傷機理進行初步探討，分析多軸振動損傷機理的計算方法及振動特征與激發(fā)產(chǎn)品缺陷、加速產(chǎn)品失效的關(guān)系。

多軸振動臺可分為兩類：一類是單方向激勵，即多個振動臺平行激勵試件，當(dāng)各個振動臺激勵相位相同時形成多臺同步振動（圖1）；另一類是3個方向激勵，即振動方向相互垂直，形成三軸相互垂直振動（圖2），或者形成三軸向六自由度的空間運動（圖3）。試驗數(shù)據(jù)表明：在多軸隨機振動環(huán)境下，試件的應(yīng)力響應(yīng)與其受到的速度功率譜是等比例關(guān)系，速度功率譜可以通過試件上固定的加速度傳感器測得的時域信號轉(zhuǎn)化為加速度功率譜而計算得出。

圖 1 單方向多臺激振系統(tǒng)Fig. 1 One-way and multi-platform vibration system

圖 2 三軸振動系統(tǒng)Fig. 2 Triaxial vibration system

圖 3 三軸向六自由度振動系統(tǒng)Fig. 3 6-DoF triaxial vibration system

在隨機載荷作用下疲勞損傷機理的研究中，累積疲勞損傷分析方法在各種試件的載荷分析中都起著重要的作用。最早由Matsuishi和Endo[4]提出的主要以雨流計數(shù)法（Rainflow Counting）為核心的時域疲勞壽命估計方法應(yīng)用較為廣泛，并已成為標(biāo)準(zhǔn)的循環(huán)計數(shù)方法。雨流計數(shù)法對產(chǎn)品所承受的載荷時間歷程進行循環(huán)計數(shù)，根據(jù)累積疲勞損傷理論計算出試件的疲勞循環(huán)壽命。經(jīng)典的雨流計數(shù)能夠處理單軸載荷的歷程，對多軸載荷的處理僅限于比例載荷。此后，Wang和Brown提出多軸疲勞計數(shù)法作為新的損傷計算方法，該方法采用傳統(tǒng)的相對當(dāng)量應(yīng)變法，其中循環(huán)被定義為從零到最大值的增加[5]。

Brown等指出了傳統(tǒng)的雨流計數(shù)方法的局限性，提出多軸非比例雨流計數(shù)方法和疲勞損傷計算流程[6]。Socie對多軸非比例隨機載荷中的4個問題，即循環(huán)應(yīng)力應(yīng)變模型、循環(huán)計數(shù)方法、損傷模型和損傷累積模型進行了分析。指出Bannantine-Socie方法及Wang-Brown方法可應(yīng)用于比例載荷，但用于定義具有平均應(yīng)力的循環(huán)中仍有困難。

Anthes對經(jīng)典的雨流計數(shù)方法進行了修正，對于應(yīng)力-應(yīng)變路徑的不封閉部分采用了虛擬滯環(huán)的概念，能夠考慮載荷順序的影響。Langlais等[7]通過對單軸循環(huán)計數(shù)方法簡單修正后提出了多軸循環(huán)計數(shù)方法。在單軸情況下，應(yīng)力和應(yīng)變是同相的，應(yīng)變中的一個往復(fù)與應(yīng)力中的一個往復(fù)相一致。而多軸情況下應(yīng)力和應(yīng)變過程并不同相，如果仍對數(shù)據(jù)進行計數(shù)，將難以保證不同的數(shù)據(jù)組間的關(guān)系。為了保證重要信息不被略去，必須考慮其他輔助通道的數(shù)據(jù)關(guān)系，從而實現(xiàn)多軸循環(huán)的計數(shù)。

Dirlik等提出了一個寬帶隨機應(yīng)力作用下疲勞壽命估計的經(jīng)驗閉合解，即Dirlik經(jīng)驗公式，以計算平穩(wěn)高斯應(yīng)力造成的疲勞損傷[8]。公式針對平穩(wěn)的、各態(tài)歷經(jīng)的高斯過程，從功率譜密度估計雨流計數(shù)法，利用波峰和波谷的近似模型，給出了一種多軸隨機振動環(huán)境下的循環(huán)計數(shù)方法，該方法成為目前應(yīng)用最廣泛的隨機應(yīng)力疲勞壽命估計方法。

2 多軸振動疲勞損傷分析方法

多軸疲勞是指疲勞損傷發(fā)生在多軸循環(huán)加載條件下，至少有兩個方向施加的應(yīng)力獨立隨時間變化。其變化可以是同相位、比例的，也可以是非同相位、非比例的。

多軸隨機載荷下的損傷累積研究并不多見。Fash等[9]針對多軸變幅載荷下的構(gòu)件進行了分析，通過計算得到確切的峰值和谷值，采用傳統(tǒng)的局部應(yīng)變壽命的概念進行疲勞壽命預(yù)測。

相對于單軸疲勞而言，多軸疲勞無論在力學(xué)、試驗研究乃至物理機制方面都更為復(fù)雜。因為隨著3個主應(yīng)力相對比值的改變，損傷可以在不同方向、不同平面內(nèi)形成。此外，在多軸情況下的循環(huán)應(yīng)力應(yīng)變特性，損傷的取向、形狀、擴展方向、速率以及疲勞壽命等均受到更多因素的影響。由于多軸疲勞損傷機理和失效過程的理論分析與試驗研究都還不足，尚有許多基本問題沒有解決，所以還沒有形成統(tǒng)一的理論[10]。

現(xiàn)有的多軸疲勞損傷分析方法主要有以下3種[11]。

1）等效應(yīng)力-應(yīng)變法：基于一定的靜強度理論，利用Von Mises最小畸變能原則或Tresca屈服準(zhǔn)則等，對多軸應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力（應(yīng)變）進行等效。將等效應(yīng)力（應(yīng)變）作為損傷參量，估算出多軸狀態(tài)下構(gòu)件的壽命。等效應(yīng)力-應(yīng)變法不涉及到具體的多軸疲勞破壞機理。

2）能量法：基于能量建立疲勞損傷度，主要考慮多軸和平均應(yīng)力對材料變形的影響。能量法認(rèn)為塑性功的累積是產(chǎn)生材料不可逆損傷進而導(dǎo)致疲勞破壞的主要原因，而材料達到疲勞斷裂時所需要的能量與加載方式無關(guān)。能量法可以應(yīng)用于多軸載荷條件下比例及非比例加載的壽命估算，但是能量法本身是標(biāo)量，不能反映出多軸疲勞破壞面，在估算長壽命時誤差較大。

3）臨界損傷平面法：它不僅考慮應(yīng)力、應(yīng)變的大小，而且還考慮到它們所在的平面及方向，以建立一種與最大損傷平面上的應(yīng)變參數(shù)有關(guān)的疲勞

損傷參量。利用臨界平面理論，可以對比例及非比例兩種加載情形進行壽命估算研究。該法反映了多軸疲勞變化破壞面具有一定的物理意義。但目前各種臨界損傷平面法基本上是基于試驗的經(jīng)驗公式，應(yīng)用范圍窄，且包含一些物理意義不明確的常數(shù)。

等效應(yīng)力-應(yīng)變法雖然不能反映材料內(nèi)部機理，但是它有效利用了單軸疲勞中成熟的理論和經(jīng)驗數(shù)據(jù)，使用和計算方便，同時也能夠給出疲勞損傷的一個初步估計，所以實際工程中仍在廣泛應(yīng)用。目前，多軸疲勞頻域分析方法就是以等效應(yīng)力-應(yīng)變法為基礎(chǔ)，在頻域內(nèi)利用隨機應(yīng)力的統(tǒng)計參數(shù)來分析疲勞損傷的。

3 多軸正態(tài)隨機振動的疲勞損傷計算

正態(tài)隨機是目前較為廣泛使用且很重要的應(yīng)力分布方式，很多統(tǒng)計方法都是由此分布引出的。多種類型的產(chǎn)品在涉及疲勞損傷問題時都可應(yīng)用正態(tài)隨機分布。

疲勞損傷分析方法的基本思路是從隨機應(yīng)力的統(tǒng)計特性功率譜估計出峰值應(yīng)力在單位時間內(nèi)的期望循環(huán)次數(shù)的概率密度函數(shù)，根據(jù)Miner準(zhǔn)則計算出期望疲勞損傷，最后得到疲勞損傷和疲勞壽命的估計。

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)可表示為

其中：-∞＜t＜+∞；-∞＜μ＜+∞；σ＞0 ；

正態(tài)分布的累積分布函數(shù)可表示為

此分布關(guān)于其均值μ對稱，標(biāo)準(zhǔn)差σ表示離散度。對變量進行簡單變換，則(2)式得累積分布函數(shù)變?yōu)?/p>

由應(yīng)力y1與它的一階導(dǎo)數(shù) y2和二階導(dǎo)數(shù)y3的聯(lián)合峰值概率密度函數(shù) f (y1y2y3)計算出單位時間內(nèi)應(yīng)力峰值的期望循環(huán)次數(shù)：

根據(jù) E [n(y1)] 估計其概率密度函數(shù)為

應(yīng)力在作用時間 T 后引起的期望疲勞損傷

當(dāng) E [D(T)] = 1時，則試件已發(fā)生疲勞損壞，此時試件的總共作用時間TF，即期望壽命：

在疲勞損傷頻域分析方法中，應(yīng)力峰值期望循環(huán)次數(shù)E [n(y1)]的估計在處理隨機應(yīng)力疲勞問題的能力上起關(guān)鍵作用。

4 結(jié)束語

近年來，多軸隨機載荷下疲勞壽命的預(yù)測日益引起人們的重視，但因為問題本身的復(fù)雜性使得對該研究仍處于數(shù)據(jù)累積階段，大量的試驗研究有待進一步深入。

振動循環(huán)計數(shù)是隨機載荷下疲勞損傷計算的基礎(chǔ)。雨流計數(shù)方法幾經(jīng)修正完善，能夠?qū)崿F(xiàn)對多軸載荷下循環(huán)的計數(shù)。Dirlik經(jīng)驗公式從功率譜密度估計雨流計數(shù)法，具有一定的物理背景，因此愈來愈受到各國學(xué)者的重視，結(jié)合多軸疲勞損傷分析的能量法以及Miner的線性損傷規(guī)律是目前多軸隨機振動載荷疲勞損傷分析中常用的方法。

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