汪傳旭

(上海海事大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,上海 200135)

近年來(lái),供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問(wèn)題日益受到學(xué)術(shù)界和企業(yè)界的關(guān)注.供應(yīng)鏈企業(yè)認(rèn)識(shí)到,通過(guò)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)與合作而實(shí)現(xiàn)的有效管理將對(duì)供應(yīng)鏈各方帶來(lái)利益.在供應(yīng)鏈中,如果各方彼此合作,對(duì)訂單量進(jìn)行優(yōu)化,可以實(shí)現(xiàn)供應(yīng)鏈整體成本的下降.目前,國(guó)內(nèi)外學(xué)者在供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)方面開(kāi)展了大量研究,并提出供應(yīng)鏈實(shí)現(xiàn)協(xié)調(diào)的有效策略,這些協(xié)調(diào)策略主要體現(xiàn)為:回購(gòu)策略[1-6]、數(shù)量折扣策略[7-10]、供應(yīng)商管理庫(kù)存策略[11-12]、數(shù)量靈活性策略[13-15]和其他策略[16-19].上述文獻(xiàn)在設(shè)計(jì)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)策略時(shí)主要考慮由制造商(或供應(yīng)商)和零售商(或購(gòu)買商)組成的兩級(jí)供應(yīng)鏈.近年來(lái),也有少數(shù)學(xué)者考慮三級(jí)供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)問(wèn)題[20-22].

本文考慮由供應(yīng)商、制造商和零售商組成的三級(jí)供應(yīng)鏈,供應(yīng)鏈需求具有隨機(jī)性.本文假設(shè)三級(jí)供應(yīng)鏈的核心主導(dǎo)成員是制造商,其在供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)中起關(guān)鍵作用,能從數(shù)量折扣策略中獲取潛在的成本下降所帶來(lái)的所有或者大部分利益.本文與現(xiàn)有的關(guān)于三級(jí)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)的研究文獻(xiàn)相比,主要呈現(xiàn)如下特點(diǎn):1)主要考慮數(shù)量折扣策略;2)在分析三級(jí)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)時(shí),不僅研究供應(yīng)鏈成員的訂單量決策,而且同時(shí)研究供應(yīng)鏈成員的庫(kù)存決策.

1 模型參數(shù)與假設(shè)條件

本文模型參數(shù)設(shè)置如下:s、m、r分別代表供應(yīng)商、制造商和零售商的下標(biāo);D為零售商(制造商和供應(yīng)商)單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)品的平均需求量;ρi為成員 i能力利用率(單位時(shí)間需求量/單位時(shí)間生產(chǎn)量), i={s,m},ρi＜1;Ci為成員i每批訂單的生產(chǎn)啟動(dòng)或訂單成本,i={s,m,r};hi為成員i單位時(shí)間內(nèi)單位產(chǎn)品所發(fā)生的持有成本,i={s,m,r};hμ為制造商原材料單位時(shí)間內(nèi)單位產(chǎn)品所發(fā)生的持有成本; TCi為采用折扣策略之前成員i的最優(yōu)成本,i={s, m,r};TCsc采用折扣策略之前供應(yīng)鏈最優(yōu)總成本, TCsc=TCs+TCm+TCr;Q為零售商訂單量;nm代表制造商訂單量是零售商訂單量的整數(shù)倍數(shù);ns代表供應(yīng)商訂單量是制造商訂單量nmQ的整數(shù)倍數(shù);ri為成員i再訂貨點(diǎn)水平,i={m,r};Si為成員i安全庫(kù)存量,i={m,r};ei為成員i單位時(shí)間內(nèi)單位產(chǎn)品的缺貨成本,i={m,r};Li為成員i面臨的進(jìn)貨提前期,i={m,r};Dm(nmQ)為供應(yīng)商對(duì)制造商的訂單量nmQ所提供的單位產(chǎn)品折扣;dr(Q)制造業(yè)對(duì)零售商的訂單量Q所提供的單位產(chǎn)品折扣.

本文假設(shè)三級(jí)供應(yīng)鏈?zhǔn)怯梢患夜?yīng)商、制造商和零售商所組成的簡(jiǎn)單供應(yīng)鏈,目前的相關(guān)文獻(xiàn)都采用類似的假設(shè)[20-22].此外,考慮零售商和制造商采用連續(xù)庫(kù)存補(bǔ)充策略.零售商向制造商發(fā)出的訂購(gòu)量為Q,并產(chǎn)生訂單成本Cr.制造商按能力利用率ρm的進(jìn)度生產(chǎn)產(chǎn)品并產(chǎn)生啟動(dòng)成本 Cm.當(dāng)零售商手中庫(kù)存量下降到再訂貨點(diǎn) rr時(shí)即向制造商發(fā)出訂貨.制造商庫(kù)存情況見(jiàn)圖 1[23].

假設(shè)零售商進(jìn)貨提前期內(nèi)需求服從正態(tài)分布,其概率密度函數(shù)為

制造商向供應(yīng)商發(fā)出的訂購(gòu)量為 nmQ,并產(chǎn)生訂單成本Cm.供應(yīng)商按能力利用率 ρs的進(jìn)度生產(chǎn)產(chǎn)品并產(chǎn)生啟動(dòng)成本Cs.當(dāng)制造商手中庫(kù)存量下降到再訂貨點(diǎn)rm時(shí)即向供應(yīng)商發(fā)出訂貨.供應(yīng)商庫(kù)存情況見(jiàn)圖2.

圖1 制造商庫(kù)存情況Fig.1 Inventory formanu facturer

圖2 供應(yīng)商庫(kù)存情況Fig.2 Inventory for supplier

2 未提供數(shù)量折扣時(shí)的模型構(gòu)建

在未提供數(shù)量折扣時(shí),零售商、制造商和供應(yīng)商各自追求成本最小化,并對(duì)各自的訂單量和庫(kù)存水平進(jìn)行決策.

2.1 零售商決策模型

對(duì)于零售商而言,制造商沒(méi)有提供數(shù)量折扣時(shí),其單位時(shí)間內(nèi)期望成本為

由于進(jìn)貨提前期內(nèi)需求服從如假設(shè)條件所示的正態(tài)分布,有

其中,

式中:φ(kr)為右損失函數(shù),φ(t)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù).

因此,式(1)可以改寫(xiě)為

對(duì)Q、kr分別求導(dǎo),并令其等于零,于是得到

式中:φ(kr)可以表示為φ(kr)=φ(kr)-kr[1-Φ(kr)],φ(kr)、Φ(kr)分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)和分布函數(shù).

根據(jù)式(6)、(7),分別得到

根據(jù)式(6)和式(7)分別對(duì)Q、kr求導(dǎo)可以看出,總成本函數(shù)為Q和kr的凸函數(shù).根據(jù)式(8)和式(9)可以利用迭代算法求出使零售商成本達(dá)到最小時(shí)的Q和kr的值,以及零售商最小總成本TC0r.

2.2 制造商決策模型

對(duì)于制造商而言,供應(yīng)商沒(méi)有提供數(shù)量折扣時(shí),其單位時(shí)間內(nèi)期望成本為

同理,由于制造商進(jìn)貨提前期內(nèi)需求服從如假設(shè)條件所示的正態(tài)分布,因此

因此,式(10)可以改寫(xiě)為

對(duì)于式(13),在km給定條件下,要使TCm取最小值,nm必須滿足:TCm(nm)≤TCm(nm+1)和TCm(nm)≤TCm(nm-1),于是得到

因此,使TCm達(dá)到最小值時(shí)的nm必須滿足:

對(duì)于式(13),在nm給定條件下,對(duì)km求導(dǎo),并令其等于零,得到

顯然,在nm給定條件下,TCm是km的凸函數(shù),于是可以得到

根據(jù)式(15)和式(17),利用迭代算法可以求出使制造商成本達(dá)到最小時(shí)的 nm和 km的值,以及制造商最小總成本TC0m.

2.3 供應(yīng)商決策模型

對(duì)于供應(yīng)商而言,其單位時(shí)間內(nèi)期望成本為

對(duì)于式(18),要使TCs取最小值,ns必須滿足TCs(ns)≤TCs(ns+1)和TCs(ns)≤TCs(ns-1),于是得到

因此,使TCs達(dá)到最小值時(shí)的ns必須滿足:

利用式(20)可以得到供應(yīng)商成本最小時(shí)的ns值和供應(yīng)商最小成本TC0s.

由式(20)可以看出,隨著制造商訂單量nmQ的上升,供應(yīng)商成本最小時(shí)的ns值下降,從而引起供應(yīng)商最小成本的變化.為此,引入定理 1.

定理1 供應(yīng)商最小成本是依賴于 ns的凸函數(shù),當(dāng) 0≤ρs＜1/2,ρs=1/2,或者 1/2＜ρs≤1時(shí),供應(yīng)商最小成本隨著nmQ的上升分別呈現(xiàn)下降、不變和上升趨勢(shì).

證明 對(duì)于給定的ns,TCs是nmQ的凸函數(shù).當(dāng)TCs最小時(shí),最小成本由于

因此,當(dāng)0≤ρs＜1/2,ρs=1/2,或者 1/2＜ρs≤1時(shí),隨著ns的上升分別呈現(xiàn)上升、不變和下降趨勢(shì).由于ns是nmQ的遞減函數(shù),因此,當(dāng)0≤ρs＜1/2s=1/2,或者 1/2＜ρs≤1時(shí),供應(yīng)商最小成本隨著nmQ的上升分別呈現(xiàn)下降、不變和上升趨勢(shì).

從定理 1可以看出,一般情況下,隨著供應(yīng)商能力利用率 ρs下降,供應(yīng)商期望收到較大的訂單批量nmQ,實(shí)現(xiàn)總成本下降.如果供應(yīng)商能夠控制其收到的訂單批量,則供應(yīng)商能夠降低總成本.

3 提供數(shù)量折扣時(shí)的模型構(gòu)建

在存在數(shù)量折扣時(shí),對(duì)于零售商來(lái)說(shuō),制造商提供給零售商的數(shù)量折扣所引起的零售商單位時(shí)間總成本必須等于未提供數(shù)量折扣時(shí)零售商的單位時(shí)間最低成本.因此

對(duì)于制造商來(lái)說(shuō),制造商向供應(yīng)商發(fā)出的訂單量nmQ會(huì)引起供應(yīng)商成本的改變.根據(jù)定理1可知,隨著nmQ的上升,供應(yīng)商總成本可能呈現(xiàn)遞增,也可能呈現(xiàn)遞減.如果供應(yīng)商總成本隨著nmQ的上升而下降,則制造商nmQ利用其討價(jià)還價(jià)能力要求供應(yīng)商從其成本節(jié)省中提供數(shù)量折扣;如果制造商的訂單量引起供應(yīng)商總成本上升,則制造商不要求供應(yīng)商提供數(shù)量折扣.因此,在 nmQ一定條件下,供應(yīng)商單位貨物折扣可以表示為

利用上述結(jié)果,可以得到制造商單位時(shí)間的成本函數(shù)為

將式(21)、(22)代入到式(23),得到

根據(jù)式(2)、(3)、(11)和(12),得到

根據(jù)式(22),當(dāng)ds(nmQ)時(shí),此時(shí)式(24)等價(jià)于由制造商和零售商組成的兩階供應(yīng)鏈決策問(wèn)題.

由于式(25)所表示的TCm為Q的凸函數(shù),在 ns和nm給定條件下,由?TCm/?Q=0得到使制造商成本最小的訂單量為

由于式(25)所表示的TCm為km和kr的聯(lián)合凸函數(shù),因此,在 Q、ns和 nm給定條件下,可以由?TCm/?km=0,?TCm/?kr=0得到km和kr的值,即

將式(26)代入到式(24),得到

式中:

對(duì)于式(29),若ns給定,則TCm的最小值可以通過(guò)最小化得到.令消除其中與nm無(wú)關(guān)的常數(shù)項(xiàng),不難得到

顯然,如果(1-2ρm)hm≥hr,則F(nm)是nm的增函數(shù),此時(shí),當(dāng)nm=1時(shí),F(nm)取最小值.否則,可以通過(guò)如下2個(gè)不等式確定使F(nm)達(dá)到最小值時(shí)的

于是得到

為了對(duì)上述模型進(jìn)行求解,設(shè)計(jì)如下算法:

1)令ns=1,執(zhí)行①～⑤.

①令km=kr=0,得到φ(km)=φ(kr)=0.398 9;

②利用式(32)計(jì)算nm;

③利用式(26)計(jì)算Q;

④利用式(27)和式(28)計(jì)算km和kr;

⑤重復(fù)步驟②～④,直到km、kr和 Q的值沒(méi)有變化為止.

2)根據(jù)步驟1)的(ns,nm,km,kr,Q),計(jì)算相應(yīng)的TCm值;

3)根據(jù)式(20)修改 ns,重復(fù)步驟1)和步驟2);直到根據(jù)連續(xù)2次ns所得到的TCm值沒(méi)有變化為止;若根據(jù)最后一次ns所得到的TCm為則為最優(yōu)解.制造商和零售商的最優(yōu)訂貨點(diǎn)分別為和

4 算例分析

4.1 基本數(shù)據(jù)

為了驗(yàn)證上述模型,考慮如下算例:周需求量服從均值為D=5 000,標(biāo)準(zhǔn)差 σ=50的正態(tài)分布,供應(yīng)商、制造商和零售商的生產(chǎn)啟動(dòng)或訂單成本分別為Cs=＄20、Cm=＄30和Cr=＄60,供應(yīng)商、制造商和零售商的單位庫(kù)存持有成本分別為hs=＄1.2, hm=＄3.6和hr=＄7.2,制造商原材料單位庫(kù)存持有成本為hμ=＄1.5,制造商和零售商的單位缺貨成本分別為em=＄20和er=＄40,供應(yīng)商和制造商的能力利用率分別為ρs=ρ=0.6,制造商和零售商所面臨的訂貨提前期分別為L(zhǎng)m=3周和Lr=5周.

4.2 未提供數(shù)量折扣情形的模型計(jì)算結(jié)果

對(duì)未提供數(shù)量折扣情形的模型進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果為:Q=655,kr=1.985,km=1.673,rr=25 222,nm=三級(jí)供應(yīng)鏈總成本

4.3 提供數(shù)量折扣情形的模型計(jì)算結(jié)果

對(duì)提供數(shù)量折扣情形的模型進(jìn)行計(jì)算,還可以進(jìn)一步考慮如下情形:

1)制造商僅要求供應(yīng)商提供數(shù)量折扣

其計(jì)算結(jié)果為:q=106,kr=1.985,km=1.963,三級(jí)供應(yīng)鏈總成本

2)制造商僅向零售商提供數(shù)量折扣

3)制造商不僅要求供應(yīng)商提供數(shù)量折扣,而且向零售商提供數(shù)量折扣

其計(jì)算結(jié)果為:Q=506,kr=2.092,km=1.806, rr=25 233 919,nm=1,rm=15 156.404,ns=1,三級(jí)供應(yīng)鏈總成本

由上述結(jié)果可以看出,通過(guò)采用數(shù)量折扣協(xié)調(diào)策略以后,三級(jí)供應(yīng)鏈總成本明顯下降.由于制造商在三級(jí)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)中起主導(dǎo)作用,因此,通過(guò)三級(jí)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)而引起的總成本下降全部由制造商獨(dú)享,因此,制造商總成本比協(xié)調(diào)前下降了 488.009,而供應(yīng)商和零售商仍然可以維持協(xié)調(diào)以前的最低成本.如果僅考慮二級(jí)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào),制造商要么僅要求供應(yīng)商提供數(shù)量折扣,要么僅向零售商提供數(shù)量折扣,這兩種情形下所引起的三級(jí)供應(yīng)鏈總成本都高于三級(jí)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)時(shí)(即制造商要求供應(yīng)商提供數(shù)量折扣,同時(shí)向零售商提供數(shù)量折扣)的總成本,但低于未提供數(shù)量折扣時(shí)三級(jí)供應(yīng)鏈總成本.

5 結(jié)束語(yǔ)

本文建立由供應(yīng)商、制造商和購(gòu)買商所組成的三級(jí)供應(yīng)鏈的數(shù)量折扣協(xié)調(diào)模型,并設(shè)計(jì)相應(yīng)的模型求解算法.最后運(yùn)用算例進(jìn)行分析,結(jié)果表明,采用數(shù)量折扣策略協(xié)調(diào)三級(jí)供應(yīng)鏈,三級(jí)供應(yīng)鏈總成本明顯下降.如果僅考慮二級(jí)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào),制造商要么僅要求供應(yīng)商提供數(shù)量折扣,要么僅向零售商提供數(shù)量折扣,這兩種情形下三級(jí)供應(yīng)鏈總成本都高于三級(jí)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)時(shí)(即制造商要求供應(yīng)商提供數(shù)量折扣,同時(shí)向零售商提供數(shù)量折扣)的總成本,但低于未提供數(shù)量折扣時(shí)的三級(jí)供應(yīng)鏈總成本.本文研究結(jié)果能給企業(yè)決策提供參考依據(jù),同時(shí)論文中的研究結(jié)果還有待進(jìn)一步完善.現(xiàn)實(shí)中的三級(jí)供應(yīng)鏈節(jié)點(diǎn)企業(yè)可能是多個(gè)企業(yè),這可以作為將來(lái)進(jìn)一步研究的一個(gè)方向.另一個(gè)研究方向是考慮制造商和零售商采用其他庫(kù)存補(bǔ)充策略的情況下,三級(jí)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)的數(shù)量折扣決策問(wèn)題.

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