（海軍航空工程學(xué)院 電子信息工程系，山東 煙臺(tái) 264001）

0 引言

目前數(shù)字信號(hào)處理理論大多建立在均勻、理想采樣信號(hào)模型的基礎(chǔ)之上，而實(shí)際中得到的數(shù)字信號(hào)一般是非均勻、非理想的采樣信號(hào)。隨著高速采樣技術(shù)的發(fā)展，對(duì)非均勻采樣信號(hào)的研究成為信號(hào)處理領(lǐng)域的一個(gè)重要的研究?jī)?nèi)容。非均勻采樣是相對(duì)于均勻采樣的一種采樣方法[1]?，F(xiàn)實(shí)中，由于受到采樣設(shè)備和被采樣信號(hào)的限制，均勻采樣是相對(duì)的，而非均勻采樣是絕對(duì)的。針對(duì)工程實(shí)踐中經(jīng)常遇到的Chirp信號(hào)，文獻(xiàn)[2-4]利用周期性非均勻采樣方法給出了非均勻采樣 Chirp信號(hào)在分?jǐn)?shù)階Fourier變換下的頻譜表達(dá)式，分析了其在分?jǐn)?shù)階域的頻譜的特點(diǎn)。本文提出了一種自適應(yīng)非均勻采樣方法，利用此法得到了這類非均勻采樣信號(hào)在分?jǐn)?shù)階域的頻譜表達(dá)式，進(jìn)一步得到了非均勻采樣Chirp信號(hào)在分?jǐn)?shù)階Fourier變換下的頻譜表達(dá)式，研究了非均勻采樣Chirp信號(hào)在分?jǐn)?shù)階的頻譜的特點(diǎn)。

1 自適應(yīng)非均勻采樣信號(hào)的分?jǐn)?shù)階Fourier變換

1.1 分?jǐn)?shù)階Fourier變換

近年來(lái)，一種新的時(shí)頻分析工具—分?jǐn)?shù)階Fourier變換[5]，受到了信號(hào)處理界越來(lái)越多的關(guān)注。它作為Fourier變換的一種廣義形式，可以理解為信號(hào)的坐標(biāo)軸在時(shí)頻平面上繞原點(diǎn)作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。如果把信號(hào)的Fourier變換看成其由時(shí)間軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π/2后到頻率軸上的表示，則分?jǐn)?shù)階Fourier變換可以看成將信號(hào)由時(shí)域逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度到分?jǐn)?shù)階域上的表示。

信號(hào) x (t)的角度為α的分?jǐn)?shù)階Fourier變換定義為：

式中：α表示的是角度為α的連續(xù)分?jǐn)?shù)階Fourier變換，變換核為：

有關(guān)分?jǐn)?shù)階Fourier變換的詳細(xì)介紹，可以參考文獻(xiàn)[6-7]。

1.2 自適應(yīng)非均勻采樣信號(hào)模型

設(shè)模擬信號(hào) x (t)的分?jǐn)?shù)階Fourier變換Xα(u)是分?jǐn)?shù)階域中的帶限信號(hào)[3]，即

式中：α?是信號(hào) x (t) 在分?jǐn)?shù)階域的帶寬。

自適應(yīng)非均勻采樣流程如圖1所示。首先，設(shè)定一個(gè)采樣頻率；然后，用此采樣頻率對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣。由于信號(hào)是時(shí)變的，因此在采樣過(guò)程中必須判斷設(shè)定的采樣頻率是否滿足采樣定理[8]的要求。

圖1 自適應(yīng)非均勻采樣流程圖

非均勻采樣信號(hào)模型如圖2所示。前n+ 1個(gè)采樣點(diǎn)的間隔相等，后m個(gè)采樣點(diǎn)的間隔也相等，即前n+ 1個(gè)點(diǎn)和后m個(gè)點(diǎn)是均勻采樣點(diǎn)，但采樣間隔不同，第n個(gè)點(diǎn)是分界點(diǎn)。采樣頻率 f1=1/T1，且使采樣頻率 f2=1/T2，同樣使即滿足采樣定理的要求。

圖2 非均勻采樣信號(hào)模型

由以上可知，這些非均勻采樣序列的采樣時(shí)刻可以表示為

此非均勻采樣序列可寫為s={s0,s1}的形式，其中：

將序列1s 右移n+1個(gè)位置，得到

式中：z?1表示的是單位延遲算子。

因此，原始的非均勻采樣序列可以表示為：

1.3 非均勻采樣序列的分?jǐn)?shù)階Fourier變換

由均勻采樣信號(hào)的采樣定理可以得到[2]：

由分?jǐn)?shù)階Fourier變換的性質(zhì)可以得到：

最終可得

當(dāng) T1=T2時(shí)，

即為均勻采樣信號(hào)的數(shù)字譜表達(dá)式。

即變?yōu)镕ourier 域中的均勻采樣頻譜表示。該式與文獻(xiàn)[9]所得結(jié)果一致。

2 非均勻采樣Chirp信號(hào)的分?jǐn)?shù)階頻譜分析

在工程處理和應(yīng)用中經(jīng)常會(huì)遇到Chirp信號(hào)，如在雷達(dá)和聲納的回波信號(hào)中。處理Chirp信號(hào)的方法很多，其中分?jǐn)?shù)階Fourier變換是比較理想的方法。

Chirp信號(hào)的模型可以表示為：

當(dāng) cotα + m0=0時(shí)，其分?jǐn)?shù)階Fourier變換可以表示為：

將式(12)代入式(11)即可得到非均勻采樣Chirp信號(hào)的分?jǐn)?shù)階數(shù)字頻譜：

3 仿真

仿真時(shí)選擇x (t)=ej(3t2+2t)作為初始信號(hào)，信號(hào)的觀測(cè)時(shí)間為[0.01 s,4.98 s]。首先，用采樣頻率f1=25 Hz 對(duì)信號(hào)進(jìn)行均勻采樣，采樣時(shí)間為[0.01 s,3 s]，采樣點(diǎn)數(shù)為75個(gè)；再用采樣頻率 f2=50 Hz 對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣，采樣時(shí)間為[3 s,4.98 s]，采樣點(diǎn)數(shù)為100個(gè)。對(duì)非均勻采樣Chirp信號(hào)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階Fourier變換后如圖3所示（圖3中 p=2α / π，以下同）。該變換所用時(shí)間為38.92 s。若對(duì)該信號(hào)進(jìn)行均勻采樣，設(shè)定信號(hào)的觀測(cè)時(shí)間仍為[0.01 s,4.98 s]，采樣頻率 f=100 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為498個(gè)，其分?jǐn)?shù)階Fourier變換如圖4所示，所用時(shí)間為100.33 s。從采樣點(diǎn)數(shù)和所用時(shí)間可以看出，本文所提出的非均勻采樣方法和均勻采樣方法相比，既減少了存儲(chǔ)空間，又滿足了實(shí)時(shí)性要求。而且，對(duì)比圖3和圖4可以明顯看到，圖3中信號(hào)的幅度低于圖4中信號(hào)的幅度，這是由于信號(hào)的分?jǐn)?shù)階Fourier變換具有能量聚集性，如果信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)少，那么經(jīng)過(guò)分?jǐn)?shù)階Fourier變換后，信號(hào)在分?jǐn)?shù)階域的幅度必然低。

圖3 非均勻采樣信號(hào)的分?jǐn)?shù)階Fourier變換

圖4 均勻采樣信號(hào)的分?jǐn)?shù)階Fourier變換

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種自適應(yīng)非均勻采樣方法，并利用分?jǐn)?shù)階Fourier變換對(duì)這類非均勻采樣信號(hào)在分?jǐn)?shù)階域的頻譜進(jìn)行了研究，得到了這類非均勻采樣信號(hào)在分?jǐn)?shù)階域的數(shù)字譜表達(dá)式，進(jìn)一步得到了非均勻采樣Chirp信號(hào)的分?jǐn)?shù)階頻譜表達(dá)式。最后，仿真結(jié)果對(duì)結(jié)論進(jìn)行了驗(yàn)證。本文所提出的非均勻采樣方法，與均勻采樣方法相比，盡管信號(hào)在分?jǐn)?shù)階域的幅度有所降低，但是該方法既節(jié)省了存儲(chǔ)空間，又滿足了實(shí)時(shí)性要求，利于工程上的實(shí)現(xiàn)。

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