（海軍航空工程學(xué)院系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)研究所，山東 煙臺 264001）

0 引言

濾波是一種對信號的處理技術(shù)，它是指對所接收到的受到干擾因素影響的信號進(jìn)行處理，得到相關(guān)信號的估計(jì)值。濾波問題出現(xiàn)在大量的工程問題中，具有重要的研究價(jià)值。傳統(tǒng)的Kalman 濾波器利用狀態(tài)估計(jì)的方法，使估計(jì)的均方誤差最小，Kalman 濾波器被成功應(yīng)用到控制與信號處理的各個(gè)領(lǐng)域。但Kalman 濾波方法要求所研究的動(dòng)力系統(tǒng)是適定的而且外部噪聲須是具有靜態(tài)特性的白噪聲。然而在實(shí)際應(yīng)用中，這些條件并不能經(jīng)常滿足，應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)的Kalman 濾波器算法不能得到令人滿意的結(jié)果。為了拓廣濾波技術(shù)的應(yīng)用范圍，1989年，A.Elsaye 引入H∞濾波概念[1]。H∞濾波就是設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器使得從干擾輸入到估計(jì)誤差輸出的H∞范數(shù)最小。H∞濾波的主要優(yōu)點(diǎn)在于無須假設(shè)干擾信號的統(tǒng)計(jì)特性，這樣更符合實(shí)際的應(yīng)用。H∞濾波的這一優(yōu)點(diǎn)使得它在雷達(dá)設(shè)計(jì)、故障檢測、信號處理等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[2-4]。

無窮時(shí)域的H∞濾波問題一直備受關(guān)注并取得了一系列重要結(jié)果[5-7]。近年來，有限時(shí)域的H∞濾波問題也受到越來越多的學(xué)者的關(guān)注，由于很多控制任務(wù)都是在指定的有限時(shí)間內(nèi)完成的，所以研究有限時(shí)域的H∞濾波問題不僅具有理論意義而且更具有實(shí)際意義。文獻(xiàn)[8]研究了連續(xù)和離散線性系統(tǒng)的有限時(shí)域H∞濾波問題，借助于伴隨系統(tǒng)，將H∞濾波器的求解問題轉(zhuǎn)化成對一個(gè)Riccati 微分（差分）方程的求解。文獻(xiàn)[9]用類似的方法研究了時(shí)變離散隨機(jī)系統(tǒng)的有限時(shí)域H∞濾波問題，并運(yùn)用得到的結(jié)果解決了相應(yīng)的輸出反饋控制問題。文獻(xiàn)[8-9]都通過求解Riccati 方程的方法來得到相應(yīng)的H∞濾波器，Riccati 方程方法具有參數(shù)不易調(diào)整，求解困難等缺點(diǎn)。

本文研究一類離散系統(tǒng)的有限時(shí)域H∞濾波器的設(shè)計(jì)問題。提出了有限時(shí)域H∞濾波器存在的充分條件，同時(shí)利用線性矩陣不等式（LMI）給出了濾波器設(shè)計(jì)的一個(gè)構(gòu)造性方法。該法可通過Matlab工具箱實(shí)現(xiàn)，易于求解操作。數(shù)值仿真實(shí)例表明，由這一方法設(shè)計(jì)的H∞濾波器具有良好性能。

本文使用符號說明：

1 問題描述和準(zhǔn)備

考慮如下的離散系統(tǒng)：

式中：xk∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)變量；yk∈Rm是測量輸出；wk∈ ?2([0,N?1];Rp)是能量有限的噪聲信號（包括過程和測量噪聲）；zk∈Rr是待估計(jì)的信號；A、B、C、D為具有相應(yīng)維數(shù)的已知矩陣。

濾波的目的就是根據(jù)系統(tǒng)輸出 yk找出狀態(tài)向量的組合 zk=Lkxk的一個(gè)估計(jì)zk，使得估計(jì)誤差的信號能量與干擾能量的比小于預(yù)先指定的數(shù)γ 。在有限時(shí)間下，意味對于任何 wk∈ ?2([ 0, N?1]; Rp)，設(shè)計(jì)濾波器

滿足

式中：Af、Bf、Cf、Df是H∞濾波器(2)的待求系數(shù)矩陣。

由系統(tǒng)(1)、(2)可得增廣系統(tǒng)方程為

相應(yīng)地，式(3)轉(zhuǎn)化為

本文的目的是對離散系統(tǒng)(1)研究滿足性能指標(biāo)(5)的H∞濾波器的設(shè)計(jì)方法，給出了濾波器存在的充分條件，同時(shí)利用LMI方法給出了濾波器(2)的構(gòu)造性的設(shè)計(jì)方法。

為了得到本文的主要結(jié)論，先給出一個(gè)重要引理，借助這個(gè)引理，可以推導(dǎo)出本文的主要結(jié)論。

引理1[10]給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣X、Y 和任意常數(shù)α＞0，其中X可逆，那么

2 主要結(jié)論

定理1考慮系統(tǒng)(4)。對于給定的常數(shù)γ ＞ 0，對所有的wk∈ ?2([0,N?1];Rp)，式(5)所定義的性能指標(biāo)J＜0成立的充分條件是存在對稱正定矩陣Q 滿足

證明：定義李雅普諾夫函數(shù)并作差分將代入 Jk中，得

也就是

整理得到

令

則式(7)經(jīng)過化簡整理可以得到

再令

則

將上式從k=0到 k=N? 1求和，可得

又由于

則

由式(6)，P (Q)＜0，可得到J＜0。即，若存在對稱正定矩陣Q 滿足式(6)，則性能指標(biāo)J＜0 成立。證畢。

要通過式(6)求解濾波器是很困難的事情。為了克服這一困難，我們提出下面的定理2。定理2 借助于線性矩陣不等式給出了一個(gè)與定理1 等價(jià)的濾波器存在的充分條件，同時(shí)給出了濾波器的設(shè)計(jì)方法。

定理2考慮系統(tǒng)(1)。對于給定的常數(shù)γ ＞0，如果存在對稱正定陣?、Y 和矩陣E、F、G、H 使得線性矩陣不等式(10)和線性矩陣不等式(11)成立，則H∞濾波器(2)存在。

式中：

進(jìn)一步，若?、Y、E、F、G、H是矩陣不等式(10)和(11)的可行解，則通過矩陣 I ???1Y的奇異值分解可以得到滿秩矩陣W、V，并可利用下式求得H∞濾波器(2)的系數(shù)矩陣：

證明：由定理 1可知，如果對所有的存在對稱正定陣Q 滿足式(6)，則性能指標(biāo)J＜0 成立。

記

則式(6)變形為

式中：Θ=γ2I ? TTPT ＞0，

即

式中：Θ=γ2I ? TTPT ＞0。

進(jìn)一步，利用引理1，可以將式(13)化簡為

利用矩陣Schur 補(bǔ)性質(zhì)，式(14)成立當(dāng)且僅當(dāng)

即

令 Q=R?1，則上式變?yōu)?/p>

考慮到矩陣不等式(17)是矩陣變量R、Af、Bf、Cf、Df的一個(gè)非線性矩陣不等式，要直接從該矩陣不等式中求出可行的矩陣變量R、Af、Bf、Cf、Df是非常困難的。

在這種情況下，采用變量替換的方法，設(shè)法將矩陣不等式(17)轉(zhuǎn)化成一個(gè)線性矩陣不等式，從而可以應(yīng)用LMI 工具箱中的求解線性矩陣不等式的有效方法來設(shè)計(jì)H∞濾波器。

對矩陣R 和逆矩陣 R?1進(jìn)行以下分塊

式中：X ∈ Rn×n、Y ∈Rn×n是對稱正定矩陣。

從等式RR?1=I可得也就是VWT=I ?XY，VTY + UWT=0，據(jù)此，進(jìn)一步可得

通過計(jì)算可以驗(yàn)證 R＞0等價(jià)于

式中：

再次用 diag{X?1,I,I,X?1,I,I}左乘和右乘式(19)，則可得矩陣不等式

式中：

H=?Df，則矩陣不等式(20)變?yōu)?/p>

式中：

同時(shí)式(18)變?yōu)閅 ? Δ ＞0。

進(jìn)一步，若Δ、Y、E、F、G、H是矩陣不等式(10)、(11)的可行解，則通過矩陣 I ?Δ?1Y的奇異值分解可以得到滿秩矩陣W、V，進(jìn)而可以利用下式給出H∞濾波器(2)的系數(shù)矩陣：

證畢。

3 仿真實(shí)例

考慮如下的離散系統(tǒng)

取γ=1，N=100。

利用Matlab 中的LMI 工具箱，求得H∞濾波器的系數(shù)矩陣如下

圖1 待估計(jì)信號 z (k)和估計(jì)信號的曲線

在圖1中，實(shí)線表示待估計(jì)信號 z (k)曲線，虛線表示估計(jì)信號曲線。通過仿真例子結(jié)合得到的仿真圖形，我們可以看出本文提出的H∞濾波器的設(shè)計(jì)方法不僅滿足性能指標(biāo)，而且結(jié)果有效，說明該濾波器性能良好。

4 結(jié)語

本文針對受到外部干擾的離散系統(tǒng)，研究了有限時(shí)域H∞濾波問題。提出了有限時(shí)域H∞濾波器存在的充分條件，并且借助線性矩陣不等式，給出了H∞濾波器的設(shè)計(jì)方法。避免了用Riccati 方程求解濾波器參數(shù)時(shí)的困難。最后通過仿真實(shí)例說明了本文方法的有效性和可行性。

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