謝永華 錢玉恒 白雪冰

(東北林業(yè)大學(xué),哈爾濱,150040) (哈爾濱工業(yè)大學(xué)) (東北林業(yè)大學(xué))

木材紋理具有精細(xì)復(fù)雜的結(jié)構(gòu),用普通的幾何學(xué)進(jìn)行特征描述非常困難[1]。對(duì)紋理特征的描述大體分為統(tǒng)計(jì)法、結(jié)構(gòu)法和模型法[2],實(shí)踐證明:圖像的分形維數(shù)與人們所感覺的紋理粗糙度有很強(qiáng)的相關(guān)性。分形維數(shù)越大,對(duì)應(yīng)的圖像紋理越粗糙;反之,分形維數(shù)越小,對(duì)應(yīng)的圖像表面越光滑[3-4],這說(shuō)明用分形維數(shù)表征木材紋理具有可能性。

1 分形幾何理論

1.1 分形布朗運(yùn)動(dòng)

布朗運(yùn)動(dòng)是關(guān)于懸浮在液體里的微小顆粒不規(guī)則運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律。Mandelbrot對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)進(jìn)行推廣,提出分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)(FBM)的概念[5]。FBM定義為:在某概率空間上,指數(shù)為H(0＜H＜1)的隨機(jī)過(guò)程X,滿足:

l)以概率1有X(0)=0,且X(t)為t的連續(xù)函數(shù);

2 )對(duì)任何t≥0和Δr＞0,增量X(t+Δr)-X(t)服從均值是零,方差是Δr2H的正態(tài)分布,其概率密度為:

式中:H稱為Hurst系數(shù)。

1.2 自相關(guān)函數(shù)與分形維

Falconer已經(jīng)證明[6]:分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)曲線的分形維數(shù)是2-H,曲面的分形維數(shù)是3-H。所以木材紋理圖像的分形維數(shù)可以通過(guò)估計(jì)H得到。由FBM的定義可知:t時(shí)刻分形布朗運(yùn)動(dòng)概率的離散值BH(t)是一個(gè)非平穩(wěn)的齊次增量過(guò)程,而不是獨(dú)立增量過(guò)程,因?yàn)閄(t+Δr)-X(t)的分布與Δr有關(guān)。定義IΔr(t)是FBM時(shí)間步長(zhǎng)為Δr的隨機(jī)過(guò)程(IFBM),即:

在實(shí)際中,式(2)的離散形式可寫為:

顯然Im(n)是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,它的自相關(guān)函數(shù)為:

式(5)雖然仍是非線性的,但經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的換算既可獲得對(duì)H的估計(jì)。給定m=1將它和式(5)相除,可得:

對(duì)(6)兩邊取對(duì)數(shù),并整理可得:

由式(7)可知,通過(guò)計(jì)算不同m和對(duì)應(yīng)的R(m)/R(1)的對(duì)數(shù)的最小二乘擬合,其斜率就是2H。曲面分形維數(shù)為3-H。

然后由式(9)求得自相關(guān)函數(shù):

2 小波多分辨率分析理論

小波分析在時(shí)(空)域和小波域同時(shí)具有良好的局部化性能,因此,在圖像處理與計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用。在滿足平穩(wěn)性條件下,將小波的尺度參數(shù)和平移參數(shù)二進(jìn)離散化就形成了二進(jìn)小波。一維二進(jìn)小波定義為[7]:

i、j是尺度和平移系數(shù)。二進(jìn)離散小波具有線性性、正交性、單調(diào)性、尺度伸縮和位置平移不變性,對(duì)一維二進(jìn)小波進(jìn)行二維擴(kuò)展就構(gòu)成二維二進(jìn)小波。在此基礎(chǔ)上,S.Mallat提出了多分辨率分析(MRA)的思想,并構(gòu)造了分解和重構(gòu)的塔式算法。

圖像的多分辨率分析是將圖像分解為不同尺度、不同方向的系數(shù)矩陣,每個(gè)矩陣代表了近似、水平細(xì)節(jié)、垂直細(xì)節(jié)、對(duì)角細(xì)節(jié)4個(gè)方面的信息。其實(shí)質(zhì)是將原圖像在一定分辨率尺度下,在各個(gè)方面上相對(duì)于小波變換函數(shù)的相似程度。

設(shè):CN是原圖像,Cj-1是第j-1次分解的近似系數(shù),Pr、Pc是行、列分解的低通濾波算子,Qr、Qc是行、列分解的高通濾波算子,二維圖像的一級(jí)小波分解過(guò)程如下[8]:用一維低、高通濾波器P和Q分別對(duì)二維圖像Cj-1沿x方向進(jìn)行濾波和間隔采樣,產(chǎn)生系數(shù)矩陣Cr(x,y)和Cc(x,y);再用P和Q分別對(duì)Cr(x,y)和Cc(x,y)沿y方向進(jìn)行濾波和間隔采樣,產(chǎn)生4個(gè)子圖像Cj、D(1)j、D(2)j、D(3)j。Cj是原圖像的近似估計(jì),而

即:

對(duì)Cj重復(fù)上面的分解過(guò)程就形成多級(jí)分解。

3 木材紋理的分形維數(shù)

圖1列出了9個(gè)木材樣本,我們把木材樣本按紋理特征分為三大類:(1)紋理光滑(紫椴、麥吊云杉、銀杏);(2)紋理較為粗糙(水曲柳、鉆天柳、青錢柳);(3)紋理粗糙(春榆、鐵木、西南樺)。我們用Matlab6.5編制了分形維估計(jì)程序,計(jì)算了上述9種木材樣本圖像的分形維數(shù)(見表1)。從表1可以看出,在選取的木材紋理樣本中,第一類紋理分形維數(shù)在2.65～2.69之間(紋理光滑);第二類紋理分形維數(shù)在2.70～2.72之間(紋理較為粗糙);第三類紋理分形維數(shù)在2.75～2.76之間(紋理粗糙)?？梢?紋理細(xì)致的木材,其分形維數(shù)值也相對(duì)較小;紋理粗糙的木材,其分形維數(shù)值也相對(duì)較大。說(shuō)明分形維數(shù)可以反應(yīng)出木材紋理的粗糙度特征。

圖1 9種木材樣本的圖像

表1 木材圖像的分形維數(shù)

前述方法由于只有一個(gè)參數(shù),描述的又是木材紋理的整體概況,這對(duì)木材紋理的描述與分類顯然是不足的,紋理的一個(gè)重要特性就是尺度性。因此,我們將原圖像用Sym lets-4小波進(jìn)行兩級(jí)分解并進(jìn)行單支重構(gòu),形成兩個(gè)分辨率下的近似和水平、垂直、對(duì)角三個(gè)方向的細(xì)節(jié)圖像,如圖2所示。再對(duì)重構(gòu)后的8個(gè)子圖像和原圖像計(jì)算分形維數(shù),形成9個(gè)參數(shù)。表2是我們求取的上述樹種的9個(gè)參數(shù)分形維(Multi-Resolution Fractal Dimension,MRFD)值,可見各類木材紋理參數(shù)有明顯的差異,可以分類。

表2 9種木材紋理多分辨率分形維均值

圖2 落葉松2級(jí)分解-重構(gòu)圖像

4 結(jié)論

原木材圖像的分形維數(shù)反映了木材紋理的總體規(guī)則性;多分辨率下各級(jí)近似和水平、垂直、對(duì)角三個(gè)方向圖像的分形維數(shù)值描述了木材紋理細(xì)節(jié)。當(dāng)木材紋理細(xì)致時(shí),對(duì)應(yīng)圖像的分形維數(shù)相對(duì)較小;當(dāng)木材紋理粗糙時(shí),對(duì)應(yīng)圖像的分形維數(shù)相對(duì)較大。分形維數(shù)可以作為木材紋理粗糙度的一種定性度量。

[1] 梅瑞仙,殷寧,張帝樹,等.木材表面紋理強(qiáng)化工藝的研究[J].北京林業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),1997,19(1):8-12.

[2] 謝和平.分形幾何:數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與應(yīng)用[M].重慶:重慶大學(xué)出版社,1991.

[3] Pentland A P.Fractal-based description of natural scenes[J].IEEE Trans PAM,1984,6(6):661-674.

[4] 張卉.基于分形與小波理論的特征提取方法研究與應(yīng)用[D].武漢:武漢理工大學(xué),2008:62-66.

[5] Mandelbrot B B,Ness JW Van.Fractional brownian motions fractional noisesand applications[J].SIAM Rev,1968,10(4):422-437.

[6] Falconer K J.The multifractal spectrum of statistically self-similar measures[J].JTheor Probab,1994,71(3):681-702.

[7] 陳立君.基于多分辨率分形維的木材表面紋理分類的研究[D].哈爾濱:東北林業(yè)大學(xué),2007:24-26.

[8] Mallat SG.A wavelet tour of signal processing[M].San Diego:Academic Press,1998:302-310.