付麗輝

FU Li-hui

（江蘇省淮陰工學院 電子與電氣工程學院，淮安 223003）

一種改進型B樣條的曲線參數(shù)化方法

A improved re-parameterization method in b-spline curves

付麗輝

FU Li-hui

（江蘇省淮陰工學院 電子與電氣工程學院，淮安 223003）

提出了β參數(shù)型-B樣條曲線的重新參數(shù)化方法。通過構(gòu)建新的參數(shù)可控的基函數(shù)，實現(xiàn)對B樣條基函數(shù)的重新參數(shù)化，進而實現(xiàn)了對曲線的重新參數(shù)化，并通過MATLAB軟件建立實驗平臺。實驗結(jié)果表明，只要β參數(shù)選擇合適，新的方法完全可以達到與傳統(tǒng)方法同樣的效果，但新算法增加了更加靈活的控制內(nèi)容，可以根據(jù)實際要求實現(xiàn)對曲線的重新擬合，使得算法的靈活性大大提高，且計算簡單，具有良好的通用性。

MATLAB仿真；B樣條函數(shù)；重新參數(shù)化；曲線

0 引言

60年代末70年代初，人們在Bezier方法的基礎上開始注意B樣條理論在自由曲線曲面造型中的應用，最初的成果包括Riesenfeld[1]，Coons[2]和Clark[3]等研究者的著作，之后的10年間，各國學者先后對B樣條方法進行了更為廣泛的實用研究，如Greenberg[4]和Judd[5]等人所發(fā)表的論文、著作所述。B樣條曲線的應用范圍非常廣泛，不僅可用在幾何造型方面，還可以用于處理力學、圖像、數(shù)據(jù)壓縮等問題。隨著B樣條曲線的不斷改進，其研究、應用推廣的價值在不斷提高。

本文在B樣條曲線基本理論的基礎之上，討論了如何尋找更廣泛意義的基函數(shù)以及參數(shù)變換，通過構(gòu)建基于 參數(shù)的改進的基函數(shù)，實現(xiàn)對基函數(shù)的重新參數(shù)化，從而實現(xiàn)對B樣條曲線的重新參數(shù)化，并以三次均勻B樣條曲線為例說明了該種方法的可行性。由仿真結(jié)果可知，該方法可以在自由曲線和曲面的構(gòu)建中達到更加靈活的控制效果。

1 參數(shù)型-B樣條基函數(shù)

在對曲線重新參數(shù)化的過程中，可以考慮先對一般的B樣條函數(shù)進行參數(shù)變換，尋找具有更廣意義的基函數(shù)，并以此作為切入點，從而實現(xiàn)對曲線的重新參數(shù)化。下面以三次均勻B樣條基函數(shù)為例說明這種函數(shù)的建立過程。

1）式所表示的基函數(shù)分屬于四條B樣條，但處于相同的節(jié)點區(qū)間內(nèi)，因它們都是均勻的B樣條，故可以將其拼接成一條完整的B 樣條[6]，如圖1所示。

圖1 三次均勻B樣條基函數(shù)

為實現(xiàn)重新參數(shù)化，現(xiàn)構(gòu)建以下基函數(shù)：

其中，u=at(1-t)，在該表達式中，a=4，t為[0,1]間的隨機數(shù)，表達式u=at(1-t)可以看作是非線性的映射模型，屬于混沌動力學模型，當a=4時，其混沌解將布滿整個[0,1]區(qū)間，即在[0,1]區(qū)間上是遍歷的。

將g(u)代替三次B樣條基函數(shù)中的參數(shù)，可以得到：

這里將（3）式稱為改進型B樣條基函數(shù)，記為β參數(shù)型-B樣條基函數(shù)，利用該函數(shù)可以將常規(guī)的B樣條基函數(shù)進行推廣。分析（3）式可知：當β=0時，這就是說，β參數(shù)型-B樣條基函數(shù)是常規(guī)B樣條基函數(shù)的推廣形式，只要變化參數(shù)β，即可得到各種B樣條基函數(shù)，從而可以實現(xiàn)對曲線的重新參數(shù)化。

根據(jù)以上的算法，下面針對三次均勻B樣條基函數(shù)進行變換，可以得到其對應的具體 參數(shù)型-B樣條基函數(shù)的表達式為：

當β=1時，該函數(shù)則為：

由MATLAB仿真程序可以得到三次均勻B樣條基函數(shù)以及其對應的重新參數(shù)化的β參數(shù)型-B樣條基函數(shù)圖形，如圖2所示：

圖2 三次均勻B樣條與β參數(shù)型-B樣條基函數(shù)

2 β參數(shù)型-B樣條曲線及其性質(zhì)

2.1 β參數(shù)型-B樣條曲線

下面仍以三次均勻B樣條基函數(shù)為例說明這種曲線的建立過程。首先給出三次均勻B樣條曲線的矩陣[7]表示。

而本文所述的β參數(shù)型-B樣條基函數(shù)所對應的曲線則表示為：

當β=1時，對應曲線可以表現(xiàn)為（8）式：

經(jīng)比較可以發(fā)現(xiàn)，兩種曲線參數(shù)化方法非常相似，只要令參數(shù)β=0，兩者完全相同，所不同之處在于三次β參數(shù)型-B樣條基函數(shù)所對應的曲線是三次均勻B樣條曲線的特例，如果變換其β參數(shù)的值，可以得到無數(shù)多種與三次均勻B樣條曲線相類似的表達式，由此可以為不同情況下的曲線重新參數(shù)化打下良好的基礎。接下來一節(jié)將研究一下β參數(shù)型-B樣條曲線所具有的主要特性，從而進一步來說明該方法的實質(zhì)。

2.2 β參數(shù)型-B樣條曲線的主要性質(zhì)

1）不同β參數(shù)的樣條曲線上的點與參數(shù)域的點對應關(guān)系不同

證明：由上可知，當i=0時，B樣條基函數(shù)曲線的表達式為：

而β參數(shù)型-B樣條曲線的表達式為：

根據(jù)(13)式可知：當u取固定參數(shù)u0時，曲線上某點坐標與β相關(guān)，隨β變化而變化，因此，不同β參數(shù)的樣條曲線上的點與參數(shù)域的點對應關(guān)系不同。

2）變換前后，各個β參數(shù)的樣條曲線的一階導矢的方向互相平行，但模長發(fā)生變化

至于其他類似于常規(guī)B樣條曲線的性質(zhì)，諸如局部性、可微性、參數(shù)連續(xù)性等就不再一一證明。

根據(jù)以上證明可知：β參數(shù)型-B樣條曲線方法提供了多種曲線的生成方式，對于一條K次B樣條曲線，只要改變參數(shù)β，即可在不改變曲線形狀的條件下實現(xiàn)對曲線的重新參數(shù)化，從而使得曲線上的點與參數(shù)域內(nèi)的點的對應關(guān)系發(fā)生相應變化。

3 仿真過程及結(jié)果

本節(jié)將通過仿真的方法來驗證該算法的可行性。利用MATLAB軟件編寫仿真程序，構(gòu)建基于同一組數(shù)據(jù)點的控制多邊形的三次B樣條曲線與其對應的β參數(shù)型-B樣條曲線，其中控制多邊形由以下控制點來決定：[4 6]，[3 5]，[2 4]，[3 2]，[6 1]，[5 8]，[10 6]，[8 1]，[6 0]，[4 -1]，下面給出參數(shù)型-B樣條曲線仿真程序的主要部分。

a=[4 3 2 3 6 5 10 8 6 4;6 5 4 2 1 8 6 1 0 -1];%控制點

subplot(2,2,2)

plot(a(1,:),a(2,:),':'); % 繪制控制多邊形；

hold on; %

xlabel('(b)改進樣條算法')

for i=1:7;

for t=0:0.001:1;

u=(2+1).*t/(2+1.*t)% β參數(shù)型-B樣條曲線的核心算法，其中β=1；

b0=1.0./6.*(1-u).^3; % 基函數(shù)b0；

b1=1.0./6.*(3.*u.^3-6.*u.^2+4); % 基函數(shù)b1；

b2=1.0./6.*(-3.*u.^3+3.*u.^2+3.*u+1); % 基函數(shù)b2；

b3=1.0./6.*u.^3; % 基函數(shù)b3；

x=b0.*a(1,i)+b1.*a(1,i+1)+b2.*a(1,i+2)+b3.*a(1,i+3); % 確定曲線的橫坐標x；

y=b0.*a(2,i)+b1.*a(2,i+1)+b2.*a(2,i+2)+b3.*a(2,i+3); % 確定曲線的縱坐標y；

line(x,y); % 繪制曲線坐標點；

end

end

hold off;

最后可以得到如圖3的仿真結(jié)果。

圖3 三次B樣條曲線與β參數(shù)型-B樣條曲線

圖3中的虛線所示為控制多邊形，實線則為兩種方法生成的曲線。其中，(a)圖為三次B樣條曲線，(b)圖為β參數(shù)型-B樣條曲線，對應β=1，至于β取其他不同參數(shù)的曲線，這里就不再一一給出。由仿真結(jié)果可知：當β參數(shù)選擇合適時，新方法完全可以達到與傳統(tǒng)方法同樣的效果，但新算法增加了更加靈活的控制內(nèi)容，可以根據(jù)實際要求實現(xiàn)對曲線的重新參數(shù)化，這主要體現(xiàn)在：一方面，在繪制曲線時，如果已知曲線的某些點的期望值，在實際曲線點與期望值不符的情況下，可以根據(jù)已知信息計算參數(shù)β值，從而對曲線進行重新參數(shù)化，以達到給定要求；另一方面，若繪制的圖形有多條，且存在交點，在這種情況下，如果利用常規(guī)的B樣條曲線進行擬合時，其交點的參數(shù)μ是不同，但是，如果利用β參數(shù)型-B樣條方法，效果則不同，可先給出其中的一條曲線的β參數(shù)型-B樣條曲線的形式，再由參數(shù)化條件確定的具體值，從而將該曲線進行重新參數(shù)化，以達到交點處的兩條曲線的參數(shù)μ相同的目的。

4 結(jié)論

本文給出了β參數(shù)型-B樣條曲線的重新參數(shù)化方法，通過改變參數(shù)β的具體取值以實現(xiàn)對基函數(shù)的重新參數(shù)化，進而實現(xiàn)對曲線的重新參數(shù)化。該方法使得B樣條曲線的擬合算法的靈活性大大提高，且其計算簡單，具有良好的通用性。另外，本文主要以三次均勻B樣條基函數(shù)為例來說明方法的有效性，但這種β參數(shù)型-B樣條曲線的重新參數(shù)化還可以很方便地用于其他類型的樣條基函數(shù)中，并且，也能推廣到其他曲線和曲面的表示法中，具有一定的實用及研究意義。

[1] Riesenfeld,R.F.,Applications of B-Spline Approximation to Geometric Problems of CAD,ph.D Thesis,Syracuse University,1973.

[2] Coons.S.A.,Surface Patches and B-Spline Curves,in Computer Aided Geometric Design,R.E.Barnhill and R.F.Riesenfeld,Editors,Academic Press,1974.

[3] Clark,J.H.,3-D Design of Free-Form B-Spline Surfaces,Ph.D Thesis,University of Utah,Salt Lake City,Utah,Sept.1974.

[4] Wu,S-C.,Abel,J.f.and Greenberg D.P.,An Interactive Comp uter Graphics Approach to Surface Representation,Communications of the ACM,1977,20(10).

[5] Hartley,P.J.and Judd,C.J.,Parametrization of Bezier-Type B-Spline Curves and Surfaces,CAD,1978,10(2).

[6] 朱心雄.等.自由曲線曲面造型技術(shù)[M].科學出版社,2000.

[7] 施法中.計算機輔助幾何設計與非均勻有理B樣條[M].高等教育出版社,2001.

TP273

A

1009-0134(2010)12(上)-0133-04

10.3969/j.issn.1009-0134.2010.12(上).44

2010-08-06

江蘇省科技支撐項目（BE2009100）

付麗輝（1975 -），女，講師，碩士研究生，研究方向為模式識別與智能控制。