岑敏銳

(武漢工程大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430074)

0 引 言

載流線圈空間磁場(chǎng)分布的計(jì)算是電磁學(xué)中的一個(gè)常見問題，在各種形狀的載流線圈中，具有軸對(duì)稱性的圓形載流線圈研究得比較多[1-5]，而對(duì)不具有軸對(duì)稱性的多邊形載流線圈的磁場(chǎng)問題則研究得很少，且僅限于一些特殊的多邊形[6-8].本文根據(jù)一段載流直導(dǎo)線在空間某點(diǎn)的磁場(chǎng)矢量公式，將多邊形載流線圈視為多段載流導(dǎo)線，然后根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，給出了求任意多邊形平面載流線圈在空間任意點(diǎn)的磁場(chǎng)分布的方法，并且運(yùn)用這種方法求出了任意多邊形平面載流線圈磁場(chǎng)的空間分布的普遍表達(dá)式.

1 一段載流直導(dǎo)線在空間某點(diǎn)的磁場(chǎng)矢量公式

如圖1所示，一段載流直導(dǎo)線在空間某點(diǎn)P處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為：

(1)

B的方向與電流的方向成右手螺旋關(guān)系.

如果只需要求一段載流直導(dǎo)線的磁場(chǎng)分布，根據(jù)(1)式，只要知道電流強(qiáng)度I，P點(diǎn)到導(dǎo)線的垂直距離r0，導(dǎo)線與導(dǎo)線端點(diǎn)到P點(diǎn)連線的夾角θ1和θ2，就可以進(jìn)行求解.但如果需要求的磁場(chǎng)分布是由多段載流直導(dǎo)線組成的多邊形載流線圈所產(chǎn)生的，由于磁感應(yīng)強(qiáng)度是矢量，而(1)式只考慮了大小，在求空間某點(diǎn)P處的總磁感應(yīng)強(qiáng)度時(shí)，有必要將其改寫為矢量式.

圖1 一段載流直導(dǎo)線的磁場(chǎng)分布

設(shè)圖1中載流直導(dǎo)線的長(zhǎng)度為d，從P點(diǎn)指向?qū)Ь€兩端點(diǎn)的矢量分別為r1和r2，則點(diǎn)P處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和r1×r2矢量的方向相同.考慮方向后，(1)式中的磁感應(yīng)強(qiáng)度可以寫成矢量式(2).

(2)

(3)

根據(jù)三角形的余弦定理得：

(4)

(5)

(6)

將(4)式、(5)式和(6)式代入(3)式中得：

(7)

如圖2所示，載流直導(dǎo)線P1P2位于Oxy平面之內(nèi)，從空間某點(diǎn)P(x，y，z)指向P1(x1，y1，0)和P2(x2，y2，0)的矢量分別為r1和r2.

式(7)中矢量r1和r2以及導(dǎo)線長(zhǎng)度d分別為：

r1=(x1-x)i+(y1-y)j-zk

(8)

r2=(x2-x)i+(y2-y)j-zk

(9)

(10)

圖2 OXY平面內(nèi)一段載流直導(dǎo)線的磁場(chǎng)分布

將(8)、(9)和(10)式代入(7)式中得：

(11)

(11)式即為要求的一段載流直導(dǎo)線在空間某點(diǎn)的磁場(chǎng)矢量公式.其中，R、D1和D2分別為：

R=[(x1-x2)2+(y1-y2)2]z2+[(y1-y2)x-

(x1-x2)y+(x1y2-x2y1)]2

(12)

(x1x2+y1y2)]

(13)

(x1x2+y1y2)]

(14)

根據(jù)(8)式和(9)式可以算出矢量r1×r2在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量分別為：

|r1×r2|x=z(y2-y1)

(15)

|r1×r2|y=z(x1-x2)

(16)

|r1×r2|z=x1y2-x2y1+xy1-x1y+x2y-xy2

(17)

將(15)、(16)和(17)式代入(11)式中可以求出多邊形任一條邊在空間某點(diǎn)P處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量分別為：

(18)

(19)

(20)

在求出多邊形任意邊在空間某點(diǎn)P處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度后，根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，就可以求出整個(gè)線圈在空間的磁場(chǎng)分布.下面以菱形平面載流線圈為例，按照以上方法求出該線圈在空間的磁場(chǎng)分布.

2 菱形平面載流線圈磁場(chǎng)的空間分布

如圖3所示，設(shè)有一菱形載流線圈ABCD位于OXY平面之內(nèi)，各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(a，0，0)、B(0，b，0)、C(-a，0，0)、D(0，-b，0).根據(jù)(18)到(20)式分別求出AB、BC、CD和DA四條邊在空間某點(diǎn)P(x，y，z)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，再根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理可以求出整個(gè)菱形平面載流線圈在P點(diǎn)的磁場(chǎng)分布.

圖3 菱形平面載流線圈的磁場(chǎng)分布

(21)

(22)

(23)

3 結(jié) 語

根據(jù)以上分析結(jié)果，對(duì)于任意多邊形平面載流線圈，只要知道其各頂點(diǎn)在OXY平面上的坐標(biāo)，代入(18)到(20)式中再求代數(shù)和即可得到該載流線圈在空間任意點(diǎn)的磁場(chǎng)分布.方法簡(jiǎn)單、明了，易于理解，可以應(yīng)用到普通物理的教學(xué)中.

參考文獻(xiàn)：

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