(長(zhǎng)江大學(xué)電子信息學(xué)院,湖北 荊州 434023)
張春海
(遼河油田裕隆實(shí)業(yè)集團(tuán)檢波器廠,遼寧 盤(pán)錦 124010)
在圖像的形成、傳輸、存貯、記錄和顯示過(guò)程中,光學(xué)系統(tǒng)的像差、成像系統(tǒng)的非線性、大氣擾動(dòng)、運(yùn)動(dòng)、散焦和系統(tǒng)噪聲等因素都會(huì)造成圖像模糊和變形[1]。因此,要得到高質(zhì)量的數(shù)字圖像,需要對(duì)圖像進(jìn)行復(fù)原,使其與原圖像盡可能逼近。但大多數(shù)情況下退化過(guò)程是不可知的,在圖像模糊的同時(shí),噪聲和干擾也會(huì)同時(shí)存在,這為復(fù)原過(guò)程帶來(lái)了困難。經(jīng)典圖像復(fù)原在圖像處理中占有重要的地位,其復(fù)原的前提條件是需要知道點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)和噪聲分布,其中一些算法被廣泛使用[2],但如何對(duì)其進(jìn)行改進(jìn),使之適合不同的復(fù)原情況,是一個(gè)值得研究的課題。筆者在對(duì)經(jīng)典圖像復(fù)原算法分析的基礎(chǔ)上,針對(duì)高斯模糊圖像,對(duì)3種經(jīng)典圖像復(fù)原算法進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn),為不同應(yīng)用場(chǎng)合及不同圖像數(shù)據(jù)條件下選擇相應(yīng)的復(fù)原算法以及系統(tǒng)參數(shù)提供了一定的依據(jù)。
在獲取數(shù)字圖像過(guò)程中經(jīng)常發(fā)生圖像質(zhì)量下降或者退化,由于導(dǎo)致圖像退化的原因很多,所以通常用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型對(duì)圖像的退化過(guò)程進(jìn)行描述。如果一幅原始圖像f(x,y)在1個(gè)退化函數(shù)和1個(gè)加性噪聲項(xiàng)的作用下生成觀測(cè)圖像g(x,y),退化函數(shù)可以認(rèn)為是線性、位置不變的,且噪聲也與位置和當(dāng)前像素值無(wú)關(guān),則退化過(guò)程可以被模型化為[3,4]:
g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)+n(x,y)
(1)
式中,h(x,y)表示退化函數(shù)的空間描述,也稱為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(Point Spread Function,PSF);*表示空間卷積,n(x,y)為加性噪聲。可以用向量矩陣的形式將式(1)的退化模型表示為[4]:
g=Hf+n
(2)
式中,g是觀測(cè)圖像;f是原始圖像;n是噪聲,假設(shè)g(x,y)的大小是N×N,則可以用g(x,y)的第1行的圖像元素形成向量g的前N個(gè)元素,用第2行的圖像元素形成向量g的下N個(gè)元素,依次類推,最終的向量維數(shù)為N2×1。因?yàn)檫@些向量是用同樣的方法構(gòu)建的,所以g、f和n尺寸相同,都是N2×1的列向量,因而H是N2×N2的PSF參數(shù)矩陣。從模型中估計(jì)f的問(wèn)題稱為線性反轉(zhuǎn)問(wèn)題,其是經(jīng)典圖像復(fù)原研究的基礎(chǔ)[2]。
(3)
(4)
(5)
根據(jù)循環(huán)矩陣對(duì)角化的討論,式(5)可以寫(xiě)成如下形式的估計(jì):
(6)
(7)
由式(7)可知,如果H(u,v)在uv平面上取零或很小,會(huì)帶來(lái)計(jì)算上的困難。另一方面,噪聲還會(huì)帶來(lái)更嚴(yán)重的問(wèn)題,若加入噪聲則得到:
(8)
由式(8)可以看出,如果H(u,v)在uv平面上取零或很小,N(u,v)/H(u,v)就會(huì)使恢復(fù)結(jié)果與預(yù)期結(jié)果有很大差距。實(shí)際上H(u,v)隨u,v與原點(diǎn)距離的增加而迅速減小,而噪聲N(u,v)一般變化卻緩慢。在此情況下,恢復(fù)只能在與原點(diǎn)較近(接近頻域中心)的范圍內(nèi)進(jìn)行,所以一般情況下逆濾波器并不正好是1/H(u,v),而是u和v的某個(gè)函數(shù),可記為M(u,v),常被稱為恢復(fù)轉(zhuǎn)移函數(shù)。一種改進(jìn)方法是取M(u,v)為:
(9)
其中,t和d均為小于1的常數(shù),而且d選得較小為好。
(10)
(11)
與解式(4)相同,可得有約束恢復(fù)公式(令s=1/a):
(12)
(13)
式中,H(u,v)表示圖像的退化函數(shù);Sn(u,v)/Sf(u,v)稱為噪信功率比;|H(u,v)|2=H*(u,v)H(u,v),H*(u,v)表示H(u,v)的復(fù)共軛;Sn(u,v)=|N(u,v)|2表示噪聲的功率譜;Sf(u,v)=|F(u,v)|2表示未退化圖像的功率譜。
(14)
由此可以看到,當(dāng)K為0時(shí),維納濾波器就轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的逆濾波器,而逆濾波器是從退化模型嚴(yán)格反推出來(lái)的,所以當(dāng)K不等于0時(shí),雖然能抑制噪聲的擴(kuò)大,但復(fù)原的模型沒(méi)有去卷積濾波器精確,容易造成復(fù)原的失真。K越大,抑制噪聲效果越好,但復(fù)原不準(zhǔn)確,圖像會(huì)比較模糊;K越小,復(fù)原越準(zhǔn)確,然而噪聲抑制效果不好。
約束最小二乘方濾波式從式(12)出發(fā)來(lái)確定變換矩陣Q。為了減小振蕩,可以建立基于平滑測(cè)度的最優(yōu)準(zhǔn)則[4],例如,可使某些二階微分的函數(shù)最小化,f(x,y)在(x,y)處的二階微分可用下式近似:
(15)
上述二階微分可以用f(x,y)與下列算子卷積得到:
基于這種二階微分的最優(yōu)準(zhǔn)則是:
該函數(shù)的約束條件為:
(16)
其最優(yōu)化問(wèn)題的頻域解決辦法由下式給出:
(17)
其中,s是一個(gè)必須加以調(diào)整的參量,以便約束條件得到滿足;P(u,v)是函數(shù)p(x,y)的傅立葉變換。
圖1 噪聲方差為2時(shí)3種算法的復(fù)原結(jié)果
根據(jù)上述復(fù)原算法原理,筆者利用matlab編程實(shí)現(xiàn)了3種圖像的復(fù)原算法。圖1是對(duì)高斯模糊并有加性噪聲方差為2的退化圖像利用3種算法復(fù)原的結(jié)果。圖1(a)是分辨率為328×180的8位BMP原始灰度圖;圖1(b)是計(jì)算機(jī)模擬出的高斯模糊并有加性噪聲影響的退化圖像,模糊函數(shù)是均值為0、均方差為6、濾波尺寸為7的高斯函數(shù),添加的高斯噪聲均值為0,方差為2;圖1(c)是逆濾波復(fù)原圖像,式(9)中t取0.9,d取0.07;圖1(d)是維納濾波復(fù)原圖像,式(14)中K取0.005;圖1(e)是有約束的最小二乘濾波復(fù)原圖像,式(17)中s取10-3??梢钥闯?,逆濾波和有約束的最小二乘方技術(shù)抑制噪聲的能力雖然不如維納濾波,但由于噪聲方差較小,因而3種方法復(fù)原的結(jié)果區(qū)別不大,細(xì)節(jié)保持能力均較好。
圖2 噪聲方差為20時(shí)3種算法的復(fù)原結(jié)果
圖2是對(duì)高斯模糊并有加性噪聲方差為20的退化圖像利用3種算法復(fù)原的結(jié)果。圖2(a)是在圖1(b)的基礎(chǔ)上將高斯噪聲方差增加到20的退化圖像;圖2(b)是逆濾波復(fù)原的圖像,式(9)中t取0.07,d取0.13;圖2(c)是維納濾波復(fù)原圖像,式(14)中K取0.021;圖2(d)是有約束的最小二乘濾波復(fù)原圖像,式(17)中s取10-2.1。可以看出,在加大噪聲方差的情況下,逆濾波和有約束的最小二乘方復(fù)原圖像受噪聲的影響較明顯,圖像中噪聲顆粒偏大,維納濾波復(fù)原技術(shù)抑制噪聲能力要好于其他2種方法,但其模糊程度較大,而有約束的最小二乘方復(fù)原技術(shù)的細(xì)節(jié)保持能力最強(qiáng)。
圖像復(fù)原質(zhì)量既可以從主觀上評(píng)價(jià),也可以從客觀上定量描述,常用的圖像復(fù)原客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是均方誤差MSE[6](Mean Square Error)。假設(shè)f(x,y)的尺寸為M×N,MSE可用下式計(jì)算:
(18)
表1 3種方法對(duì)不同噪聲的退化圖像復(fù)原結(jié)果的MSE
表1列出了3種復(fù)原算法對(duì)不同退化圖像復(fù)原結(jié)果的MSE,各個(gè)參數(shù)的取值為文中所述的數(shù)值。圖像的MSE越小,說(shuō)明復(fù)原之后的圖像與原始圖像越接近,復(fù)原效果越好。從表中數(shù)據(jù)可以看出,在噪聲方差較小時(shí),3種方法的MSE均較小且相差不大,當(dāng)噪聲方差為20時(shí),3種方法的MSE也隨著變大,有約束的最小二乘方復(fù)原的均方誤差最小,因而其復(fù)原效果最好。
通過(guò)對(duì)上述3種算法的研究并對(duì)計(jì)算機(jī)模擬出的高斯模糊并有不同加性噪聲影響的2幅退化圖像進(jìn)行復(fù)原處理,在尋找較好視覺(jué)效果上取得了豐富的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)。從復(fù)原圖像質(zhì)量以及客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)看,在噪聲方差較小時(shí),3種方法的復(fù)原效果均較好;在加大噪聲方差時(shí),維納濾波復(fù)原技術(shù)抑制噪聲的能力最好,有約束的最小二乘方復(fù)原技術(shù)的細(xì)節(jié)保持能力最強(qiáng)。所以在高噪聲環(huán)境下,可以選擇有約束的最小二乘方復(fù)原技術(shù)來(lái)達(dá)到更好的視覺(jué)效果。當(dāng)然,在實(shí)際應(yīng)用中,要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來(lái)選擇最佳參數(shù)進(jìn)行圖像復(fù)原。對(duì)于今后圖像復(fù)原算法的研究,應(yīng)以提高復(fù)原算法的有效性和效率為主要研究方向,不斷提高復(fù)原圖像的質(zhì)量和速度,并降低算法的復(fù)雜度。
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