杜宏偉 姚 進 羊海濤

1.四川大學,成都,610065 2.中國工程物理研究院總體工程研究所,綿陽,621900

0 引言

在一般的有限元結構分析中,有限元問題的所有參數是確定不變的,如幾何尺寸及拓撲形狀、材料屬性及載荷等,計算結果也是確定的。在實際產品中這些參數均由于制造和測量誤差、使用環(huán)境而具有隨機性,因此載荷對產品作用的實際結果也具有隨機性。利用有限元概率分析,將每個輸入參數視為服從一定分布的隨機變量,通過大量采樣點模擬其分布并進行數值分析,獲得系列解,進而計算輸出變量的分布及可靠度。在有限元概率分析的基礎上開展可靠性優(yōu)化設計,目的之一是在產品工作可靠度不低于規(guī)定水平的條件下,其性能達到最佳。由于設計變量和參數具有隨機性,約束中含有概率約束,可靠性優(yōu)化設計模型比確定性優(yōu)化模型的求解困難得多?？煽啃詢?yōu)化模型按優(yōu)化目標的不同可分為均值E模型、方差V模型、概率P模型、混合模型等。其中最有代表性且最常用的是E模型,這時的目標函數可以表示尺寸、質量、成本或某項性能指標[1]。

楔環(huán)是近年來發(fā)展的用于圓筒連接的一種新型結構,該結構連接緊湊、表面平順、拆卸方便,因而具有優(yōu)良的流體動力學性能及維修性能,在魚雷部件連接中得以應用。隨著整體厚度的減小,局部應力及變形對結構參數及材料性能更為敏感,楔環(huán)結構強度及剛度降低,工作可靠性隨之下降。卜廣志等[2]、毛昭勇等[3]利用楔環(huán)最大應力解析式,視強度與應力為正態(tài)分布的隨機變量,在強度可靠度約束下對楔環(huán)結構進行優(yōu)化,減小其厚度及體積;黃鵬等[4]采用有限元接觸分析及一階方法對楔環(huán)結構進行優(yōu)化,降低了應力水平。前者的解析方法未考慮復雜的接觸問題,后者的有限元分析未考慮結構變量及狀態(tài)變量的隨機性。

本文利用有限元法對楔環(huán)在配合尺寸、材料性能偏差、載荷等不同條件下的強度、剛度進行接觸仿真分析,采用響應面中心組合(centrl composite)設計抽樣并擬合輸出變量的響應面,獲得在設計參數范圍內的二次多項式。在研究考慮概率約束的優(yōu)化問題時,以得到的簡化模型為基礎,采用一次二階矩方法將隨機約束等價轉換為確定型約束,然后求解確定性的優(yōu)化問題,獲得滿足概率約束條件下的楔環(huán)厚度優(yōu)化結果。

1 概率優(yōu)化方法

本文的目的是在概率約束條件下對設計隨機參數均值進行優(yōu)化,因此選擇概率優(yōu)化模型為均值E模型。對這種模型的求解,就是在概率可行域內尋找E{f(X)}最小值時的設計點X*,即是概率優(yōu)化設計問題的最優(yōu)解,其優(yōu)化模型如下：

式中,X為隨機設計變量和隨機參數(如材料性能)組成的向量;f(X)為目標函數;gu(X)為受概率約束的函數;hu(X)為一般約束函數。

為便于優(yōu)化計算,采用一次二階矩法[5-6]將隨機約束等價轉換為確定型約束。

將gu(X)在均值處以泰勒級數展開,并取其線性項：

則gu(X)的均值及標準差分別為

假設隨機約束函數gu(X)服從正態(tài)分布,則由隨機約束P{gu(X)≥0}≥au可得

即

則

若隨機約束為P{gu(X)≤0}≥au,則

2 分析模型

2.1 幾何模型

圖1所示為楔環(huán)結構軸對稱幾何模型,同時該結構具有上下對稱形式。楔環(huán)結構主要由三部分組成：A、B件分別為開環(huán)槽的被連接圓筒;C件為用于連接圓筒的環(huán)帶,由兩條楔狀環(huán)帶組合而成。兩條楔狀環(huán)帶通過外筒B表面局部U形孔穿入圓筒組合槽中并楔緊。裝配完成后環(huán)帶C上邊右段與圓筒B接觸,下邊左段與圓筒A接觸。在受軸向拉伸載荷作用下,A、B圓筒有脫開趨勢,通過環(huán)帶C上下兩邊分別與A、B接觸連接,此時環(huán)帶C處于擠壓狀態(tài)。由于圓筒變形及環(huán)帶滑移,環(huán)帶C左右邊均可能與圓筒接觸,因此總計設置4對接觸,如圖1a右視圖所示。

圖1 楔環(huán)模型及結構變量

2.2 有限元模型

在軸向拉伸載荷下,楔環(huán)結構中A、B件的結構與受力具有一定相似性,楔環(huán)結構參數縮減為4個(x1、x2、x3、x4),見圖 1b。根據ANSYS 軟件中APDL參數化設計語言編制概率分析程序[7],建立有限元參數化模型。4個結構變量與材料屈服強度x5、軸向拉伸載荷 x6均為服從GAUSS(正態(tài))分布的輸入變量,見表1。為考察楔環(huán)連接結構強度及剛度,確定輸出變量為強度與應力之差SS(強度為材料屈服強度,應力為最大von Mises等效應力)、最大橫向(徑向)位移UX。

表1 輸入變量及分布

材料為 45鋼,根據雙線性隨動強化材料(BK IN)設置參數,模擬材料塑性行為、PLANE82軸對稱單元。為避免結構參數變化后網格密度差異對應力結果的影響,不采用自適應網格,通過線段單元份數控制網格尺寸,高應力區(qū)網格加密。根據裝配接觸部位及受力后可能的變形接觸,按圖1a右視圖設置4對面-面接觸。接觸對設置參數法向剛度因子FKN=1,滲透容差因子FTOLN=0.1,摩擦因數MU=0.1。采用Augment Lagrange算法處理接觸、Full Newton Raphson法求解,計算時采用自動時間步長和線性搜索以保證求解效率和穩(wěn)定性[4]。

有限元概率分析過程如下：首先根據設計變量初值對參數化有限元模型進行分析,提取輸出變量 SS及 UX,生成 APDL命令流文件 *.PDAN;然后初始化程序并重新讀入 APDL文件,進入Prob Design進行隨機輸入輸出變量設置、計算方法選擇、計算分析并處理結果。

3 計算分析

3.1 初始概率分析

采用 Monte Carlo計算方法中拉丁超立方(Latin Hypercube)方法抽樣100次,按表1所列參數值進行有限元概率分析,檢查變量 x1樣本,圖2表明其符合GAUSS分布,均值及標準差與表1要求相當,樣本抽樣數足夠;其余樣本檢查同此。計算輸出結果見表2,滿足可靠度要求并有一定的優(yōu)化空間。輸出靈敏度圖見圖3,在表1變量標準差確定的初始設計區(qū)間,對SS影響顯著的結構參數為x1,為正相關;對UX影響顯著的結構參數為x 3、x1、x4,其中 x3、x1為負相關,x4為正相關。在減小楔環(huán)厚度時,由于 x3、x4減小將增大UX(因x3影響大于x4影響),可以通過增大x1進行補償。

圖2 x1樣本分布及均值

表2 初始概率分析結果

3.2 概率優(yōu)化設計

圖3 SS及UX對輸入變量相對靈敏度直方圖

以隨機變量X=(x1,x2,x3,x4,x 5,x6)為輸入參數,其中包括4個設計變量均值和2個狀態(tài)變量均值;優(yōu)化目標為楔形環(huán)厚度。根據強度及剛度的可靠度要求,楔環(huán)結構屈服強度大于等于最大von Mises等效應力的概率不小于0.95,楔環(huán)結構最大橫向(徑向)位移小于等于0.2mm的概率不小于 0.95,由正態(tài)分布函數表查得

采用響應面中心組合(centrl composite)設計抽樣計算,6個隨機變量,循環(huán)計算出45個樣本點。運用向前分步回歸方法擬合輸出變量SS及UX的響應面,略去不顯著項,獲得在設計參數范圍內的二次多項式如下：

式中,x1,x2,x3,x4的取值均為以毫米為單位的數值;x5、x6的取值分別為以兆帕、牛為單位的數值。

根據式(2)～式(5)將隨機約束等價轉換為確定型約束,其中屈服強度x5、軸向力x6的均值及標準差在優(yōu)化求解中考慮為常量,優(yōu)化后設計參數均值為(10mm,9.25mm,1.81mm,1mm,450MPa,90000N),調整后見表3,楔環(huán)總厚度從10mm減小為6mm。根據表3優(yōu)化參數進行有限元概率分析驗算的結果見表4,滿足優(yōu)化約束條件。從表 2、表 4 對比可以看出,優(yōu)化后 x1、x 2、x3、x4參數變化對UX影響不大,主要原因是 x1、x2、x4引起的變化對x3引起的變化有相互抵消的趨勢,因此在優(yōu)化過程中主要是SS的約束在起作用。

表3 優(yōu)化后輸入變量及分布

表4 優(yōu)化后概率分析結果

4 結論及討論

本文綜合利用有限元概率分析、響應面設計、概率約束優(yōu)化設計對楔環(huán)結構進行優(yōu)化,在滿足楔環(huán)強度、剛度可靠度要求的條件下減小楔環(huán)厚度,使得楔環(huán)連接更加緊湊。本文方法在具體應用中應注意：

(1)有限元接觸分析的應力結果受計算參數設置、網格劃分影響較大,需要反復選擇并進行調試,使計算易于收斂,結果合理。

(2)要以響應面精度保證約束精度,這需要選擇具有代表性的樣本及合適的擬合方法,準確描述極限狀態(tài)曲面的概率特征。本文采用中心組合抽樣及最小二乘法擬合,SS響應面標準差約為9.2MPa,UX響應面標準差約為0.0022mm,不超過仿真最小應力及位移的3%,擬合精度滿足分析要求。更高精度的響應面擬合可采用高階擬合或神經網絡,但高階擬合計算量大,神經網絡不能顯式表達,需要處理與優(yōu)化計算的銜接問題。

(3)當輸出變量不為正態(tài)分布時,可以采用設計驗算點法中的R-F方法,反復迭代進行概率約束優(yōu)化計算。

[1] 劉善維.機械零件的可靠性優(yōu)化設計[M].北京：中國科學技術出版社,1993.

[2] 卜廣志,宋保維,張宇文,等.楔環(huán)連接的可靠性優(yōu)化設計[J].機械科學與技術,2000,19(1)：57-59.

[3] 毛昭勇,宋保維,胡海豹,等.基于可靠性的楔環(huán)連接模糊優(yōu)化設計[J].機械科學與技術,2004,23(9)：1019-1021.

[4] 黃鵬,莫軍,徐兵.楔環(huán)連接結構參數化有限元優(yōu)化設計[J].機械強度,2005,27(2)：191-195.

[5] 張建國,蘇多,劉英衛(wèi).機械產品可靠性分析與優(yōu)化[M].北京：電子工業(yè)出版社,2008.

[6] 朱文予.機械概率設計與模糊設計[M].北京：高等教育出版社,2001.

[7] 博弈創(chuàng)作室.ANSYS9.0經典產品高級分析技術與實例詳解[M].北京：中國水利水電出版社,2005.