李偉義，張琪昌，何學(xué)軍

(天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津300072)

斜拉索風(fēng)雨激振面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的非線性分析

李偉義，張琪昌，何學(xué)軍

(天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津300072)

為深入研究斜拉索風(fēng)雨激振面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)特性，依據(jù)彈性力學(xué)和氣動(dòng)彈性理論建立了連續(xù)斜拉索風(fēng)雨激振面內(nèi)非線性振動(dòng)方程，利用伽遼金方法將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程．借助多尺度法得到面內(nèi)一階振動(dòng)方程的平均方程和定常解，利用奇異性理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分岔分析，確定了系統(tǒng)在零平衡點(diǎn)附近發(fā)生Hopf分岔對(duì)應(yīng)的風(fēng)速以及拉索發(fā)生風(fēng)雨激振時(shí)對(duì)應(yīng)的水線頻率的范圍．對(duì)拉索前四階模態(tài)的振幅進(jìn)行了數(shù)值模擬，考察了拉索以第一階模態(tài)振動(dòng)時(shí)風(fēng)速、結(jié)構(gòu)阻尼比等系統(tǒng)參數(shù)對(duì)拉索振幅的影響．研究表明，連續(xù)面內(nèi)振動(dòng)方程更能體現(xiàn)斜拉索風(fēng)雨激振完整的動(dòng)力學(xué)特性，同時(shí)系統(tǒng)中存在多種分岔行為．

風(fēng)雨激振；非線性振動(dòng)；水線；Galerkin方法；斜拉索

斜拉索作為主要受力構(gòu)件廣泛應(yīng)用于大跨度橋．但由于拉索的大柔性、低阻尼及相對(duì)小的質(zhì)量，在一定條件下極易發(fā)生由風(fēng)雨導(dǎo)致的振動(dòng)．風(fēng)雨激振現(xiàn)象由Hikami等[1]首次發(fā)現(xiàn)，隨后在許多國家和地區(qū)被觀測到．拉索在一定雨量和風(fēng)速范圍內(nèi)(約6～16 m/s)發(fā)生劇烈的大幅振動(dòng)，會(huì)嚴(yán)重毀壞拉索．

斜拉索風(fēng)雨激振已成為橋梁工程和風(fēng)工程領(lǐng)域備受關(guān)注的問題．Wilde等[2]建立了拉索單自由度截段風(fēng)雨激振模型，得到水線振幅與來流風(fēng)速的關(guān)系．Peil等[3]通過試驗(yàn)研究，得出上水線的運(yùn)動(dòng)是導(dǎo)致風(fēng)雨激振的主要原因．陳水生、趙躍宇等[4-5]研究了諧波激勵(lì)作用下斜拉索的非線性動(dòng)力學(xué)行為．禹見達(dá)等[6]進(jìn)行了現(xiàn)場實(shí)測．李壽英等[7]依據(jù)風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)建立了連續(xù)體拉索風(fēng)雨激振的理論模型，采用數(shù)值方法對(duì)偏微分方程直接進(jìn)行求解和分析．

上述研究為本文建立和完善斜拉索風(fēng)雨激振連續(xù)體模型并進(jìn)行理論分析提供了很好的借鑒．筆者建立和完善了連續(xù)斜拉索風(fēng)雨激振的面內(nèi)振動(dòng)方程，對(duì)拉索的面內(nèi)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了非線性分析，由分岔方程開展了系統(tǒng)的分岔研究，應(yīng)用奇異性理論得到轉(zhuǎn)遷集，畫出平衡點(diǎn)附近的分岔圖．利用數(shù)值模擬對(duì)理論分析的結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證；同時(shí)研究了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)拉索振幅的影響，并給出了實(shí)際工程解決方案．

圖2 拉索單元受力分析Fig.2 Force analysis of the cable element

1 建立系統(tǒng)力學(xué)模型

考慮幾何非線性和拉索垂度是建立斜拉索連續(xù)體模型的前提．鑒于問題的復(fù)雜性，做出如下假定：

(1)準(zhǔn)定常假設(shè)成立；

(2)不考慮拉索抗彎、抗扭及抗剪剛度的影響；

(3)拉索的變形本構(gòu)關(guān)系服從虎克定律且各點(diǎn)受力均勻；

(4)不計(jì)拉索的重力對(duì)拉索弦向張拉力的影響[4]．

建立如圖1所示的Oxyz坐標(biāo)系，斜拉索在x-y面內(nèi)的振動(dòng)稱為面內(nèi)振動(dòng)，在x-z面內(nèi)的振動(dòng)稱為面外振動(dòng)．索的長度為l，兩端點(diǎn)垂直及水平方向的距離分別為L′和L，拉索與水平方向的傾角為α．

截取一微段斜拉索[8]，如圖2所示．圖2中，T為靜態(tài)下拉索沿切向的張力；M為拉索單位長度的質(zhì)量；s為索的弧長坐標(biāo)；ds為索單元在靜態(tài)下的長度；u、v、w分別為索單元在x、y、z軸偏離靜平衡位置的位移，是x和t的函數(shù)；ds′為索單元發(fā)生變形后的長度；t′為振動(dòng)過程中切向的張力相對(duì)于初始張力的變化量．設(shè)c1、c2、c3分別為拉索沿x、y、z軸上單位長度的線性阻尼系數(shù)；fx、fy、fz分別為拉索在x、y、z軸上單位長度所受的氣動(dòng)力．索單元沿y軸的靜平衡方程為

圖1 考慮垂度的空間拉索示意Fig.1 Cable with small sag in space

靜態(tài)情況下，考慮拉索的小垂度，做出近似

將式(2)代入式(1)進(jìn)行積分，得到拉索在靜態(tài)下的垂度曲線

如不考慮軸向振動(dòng)和面外振動(dòng)，由牛頓第二定律建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

由公式[8]

將式(4)化簡為

式中：H′是靜態(tài)下拉索沿x軸的張力；h是振動(dòng)過程中沿x軸的張力相對(duì)于初始張力的變化量，

式中系數(shù)im(i=1，2，…，5)為積分常數(shù)．

2 水線的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

研究表明，上水線在臨界位置附近的微小變化引起拉索氣動(dòng)力的劇烈變化[9]，下水線對(duì)系統(tǒng)影響很小．因此忽略下水線，只考慮上水線對(duì)拉索振動(dòng)的影響．假設(shè)水線為正弦振動(dòng)且在運(yùn)動(dòng)過程中外形和大小保持不變，即

式中：ω是水線的振動(dòng)頻率；am是水線的振幅，度．a(chǎn)m與來流風(fēng)速的關(guān)系式[2]為

式中：1a、2a、maxU是與給定拉索有關(guān)的常數(shù)[7]；0U為來流風(fēng)速．

如圖3所示，在來流風(fēng)速U0作用下，拉索傾角α=30°，風(fēng)向角β=35°，該姿態(tài)最易發(fā)生風(fēng)振[10]．如圖4所示，Urel為拉索與來流的相對(duì)風(fēng)速，與z軸的夾角為φ；U為U0在垂直于拉索所在振動(dòng)平面的分量，與z軸的夾角為γ；水線在平衡位置附近的振動(dòng)角度為θ，順時(shí)針方向?yàn)檎?；?為水線在拉索表面的平衡位置角．當(dāng)α=30°、β=35°時(shí)θ0的表達(dá)式[10]為

拉索氣動(dòng)力的表達(dá)式為

圖3 拉索姿態(tài)Fig.3 Attitude of the cable

圖4 拉索、水線與風(fēng)速的關(guān)系Fig.4 Relationship among the cable，the rivulet and wind velocity

其中

式中：ρ為空氣密度；R為拉索半徑；LC、DC分別表示帶水線拉索30α=°、35β=°的平均升力和阻力系數(shù)[7]．

3 求解系統(tǒng)平均方程

拉索主要的振動(dòng)是面內(nèi)振動(dòng)．選取參數(shù)[6]l=, 121.91,m，拉索預(yù)緊力H0=3.15×106,N，M=,51.8,kg/ m，ξ=0.001，R=0.059,5,m，ρ=1.29,kg/m3，EA=,21.132× 108N，U0=12 m/s，式(10)經(jīng)高階泰勒展開得到

式中0ω是拉索的一階固有頻率．通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)零點(diǎn)為系統(tǒng)的非雙曲平衡點(diǎn)，并且系統(tǒng)滿足Hopf分岔定理[11]的條件，因此系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近發(fā)生Hopf分岔．當(dāng)0U＜4.02 m/s時(shí)，平衡點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的焦點(diǎn)；當(dāng)0U=4.02 m/s時(shí)，平衡點(diǎn)是中心；0U＞4.02 m/s時(shí)，平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的焦點(diǎn)，在其附近出現(xiàn)一漸近穩(wěn)定的極限環(huán)．

利用多尺度法[11]對(duì)式(13)進(jìn)行求解，令

式(13)的解可寫成

通過計(jì)算得到平均方程

式中：1b、2b及1d是方程(13)中部分非線性項(xiàng)的系數(shù)；系統(tǒng)發(fā)生自激振動(dòng)得拉索發(fā)生自激振動(dòng)對(duì)應(yīng)的水線頻率為ω＞6.463,58,rad/s或ω＞6.410,37,rad/s，此時(shí)ω0=6.436,92,rad/s，在上述水線頻率范圍內(nèi)取不偏離0ω很遠(yuǎn)的值6.41,rad/s和6.463,9,rad/s，定常解a分別為0.122,m和0.110,8,m．

4 進(jìn)行局部分岔分析

顯然detA(0,0,0,0)≠0，所以G( a,μ,α, β)是g( a,μ)的普適開折，余維數(shù)為2．應(yīng)用奇異性理論進(jìn)行持久性分析，得出分岔點(diǎn)集B；滯后點(diǎn)集H={(α, β)∈R2α=β3/27}；雙極限點(diǎn)集D=?(空集)；轉(zhuǎn)遷集Σ=B∪H∪D．如圖5(a)所示，轉(zhuǎn)遷集將平面α-β劃分為4個(gè)連通的分支；圖5(b)為G( a,μ ,α, β)在不同(α, β)數(shù)值下的靜態(tài)分岔圖．

圖5 普適開折分岔圖Fig.5 Bifurcation diagram of universal unfolding

HH是系統(tǒng)在不同的開折參數(shù)下所有可能的解曲線，實(shí)線是系統(tǒng)的穩(wěn)定解，而虛線是不穩(wěn)定解．通過對(duì)局部分岔行為的初步研究，表明斜拉索風(fēng)雨激振系統(tǒng)中存在多種分岔行為．對(duì)于原系統(tǒng)參數(shù)與開折參數(shù)之間的關(guān)系以及如何通過分岔研究對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)控制，還有待于進(jìn)一步深入研究．

19～

5 數(shù)值分析

多階模態(tài)的參與及高階模態(tài)的伴隨使拉索風(fēng)雨激振問題異常復(fù)雜．因此在實(shí)際研究中往往忽略高階模態(tài)，取以拉索發(fā)生單模態(tài)振動(dòng)為例，以第一階模態(tài)發(fā)生振動(dòng)時(shí)，振幅值與解析解吻合；以第三階模態(tài)發(fā)生振動(dòng)的振幅遠(yuǎn)小于第一階模態(tài)的幅值；第二或第四階模態(tài)時(shí)，拉索發(fā)生很微小的振動(dòng)．這主要是假設(shè)水線在全部拉索上形成，對(duì)稱的荷載不會(huì)引起對(duì)稱振型的振動(dòng)所致．拉索以第一和第三階模態(tài)發(fā)生風(fēng)雨振的相圖如圖6和圖7所示，振動(dòng)為穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，收斂于穩(wěn)定的極限環(huán)．由于篇幅的限制，不再給出第二、四階模態(tài)的相圖．

圖6 第一階模態(tài)拉索相圖Fig.6 Phase portrait of the first order mode of cable

圖7 第三階模態(tài)拉索相圖Fig.7 Phase portrait of the third order mode of cable

拉索以第一階模態(tài)發(fā)生風(fēng)雨振時(shí)，系統(tǒng)主要參數(shù)與拉索振幅的關(guān)系曲線如圖8和圖9所示．

圖8 來流風(fēng)速與面內(nèi)最大振幅的關(guān)系Fig.8 Relationship between wind velocity and the maximum amplitude

如圖8所示，拉索發(fā)生風(fēng)雨振的起振風(fēng)速為6 m/s，拉索振幅最大時(shí)的風(fēng)速為12 m/s．如圖9所示，阻尼比ξ體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的抑制程度，拉索的振幅隨阻尼比的增大迅速減?。疅o外加阻尼器時(shí)拉索的結(jié)構(gòu)阻尼很弱，ξ越大表示外加阻尼越大．這一特性對(duì)實(shí)際工程顯得尤為重要．實(shí)際工程中通過在固定端安裝阻尼器增大系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)阻尼以減小振動(dòng)，或者通過在拉索間連接輔助索從而減小索的有效長度、提高索的固有頻率達(dá)到抑振的目的．

6 結(jié) 論

(1)本文對(duì)已有理論模型做出改進(jìn)：將拉索的軸向與坐標(biāo)軸重合，這樣減少一個(gè)方程的同時(shí)能更方便、快捷地進(jìn)行理論分析；考慮了拉索振動(dòng)過程中張力的變化量中非線性項(xiàng)的影響．

(2)驗(yàn)證了系統(tǒng)在零平衡點(diǎn)附近發(fā)生Hopf分岔，并確定了系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔時(shí)對(duì)應(yīng)的風(fēng)速；確定了拉索發(fā)生風(fēng)雨振時(shí)對(duì)應(yīng)的水線頻率的范圍．證明斜拉索風(fēng)雨激振系統(tǒng)中存在多種分岔行為．

(3)針對(duì)拉索前4階模態(tài)振動(dòng)的振幅進(jìn)行了數(shù)值模擬，驗(yàn)證了面內(nèi)拉索一階模態(tài)振動(dòng)的振幅的解析解，并研究了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)拉索振幅的影響，提出了相應(yīng)的解決方案，對(duì)實(shí)際工程問題有一定的借鑒價(jià)值．

［1］ Hikami Y，Shiraishi N. Rain-wind induced vibrations of cables in cable stayed bridges[J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics，1988，29：409-418.

［2］ Wilde K，Witkowski W. Simple model of rain-wind induced vibrations of stayed cables [J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics，2003，91：873-891.

［3］ Peil U，Nahrath N. Modeling of rain-wind induced vibration[J]. Wind and Structures，2003，6(1)：41-52.

［4］ 陳水生，孫炳楠. 斜拉橋拉索模態(tài)耦合非線性共振響應(yīng)特性[J]. 工程力學(xué)，2003，20(1)：137-143. Chen Shuisheng，Sun Bingnan. Nonlinear internal resonance characteristics of modal interaction for stay cables of cable-stayed bridges[J]. Engineering Mechanics，2003，20(1)：137-143(in Chinese).

［5］ 趙躍宇，王連華，陳德良，等. 斜拉索面內(nèi)振動(dòng)和面外擺振的耦合分析[J]. 土木工程學(xué)報(bào)，2003，36(4)：65-69. Zhao Yueyu，Wang Lianhua，Chen Deliang，et al. Coupled analysis of out-of-plane oscillation and in-plane vibration for stay cable[J]. China Civil Engineering Journal，2003，36(4)：65-69(in Chinese).

［6］ 禹見達(dá)，陳政清，王修勇，等. 基于現(xiàn)場觀測的拉索風(fēng)雨振特性研究[J]. 湖南科技大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，21(2)：22-24，47. Yu Jianda，Chen Zhengqing，Wang Xiuyong，et al. Study on characterization of rain-wind induced stay-cable vibrations from field measurements[J]. Journal of Hunan University of Science & Technology：Natural Science Edition，2006，21(2)：22-24，47(in Chinese).

［7］ 李壽英，顧 明，陳政清. 準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)水線三維連續(xù)彈性拉索風(fēng)雨激振理論模型[J]. 工程力學(xué)，2007，24(6)：7-14. Li Shouying，Gu Ming，Chen Zhengqing. Analytical model for rain-wind-induced vibration of three-dimensional continuous stay cable with quasi-moving rivulet[J]. Engineering Mechanics，2007，24(6)：7-14(in Chinese).

［8］ Irvine H M. Cable Structure[M]. Cambridge，Massachusetts：The MIT Press，1981.

［9］ Gu Ming，Lu Qian. Theoretical analysis of wind-rain induced vibration of cables of cable-stayed bridges[J]. Journal of Wind Engineering，2001，89：125-128.

［10］ Gu Ming，Du Xiaoqin. Experimental investigation of rainwind-induced vibration of cables in cable-stayed bridges and its mitigation [J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics，2005，93：79-95.

［11］ 王洪禮，張琪昌，郭樹起，等. 非線性動(dòng)力學(xué)理論及應(yīng)用[M]. 天津：天津科學(xué)技術(shù)出版社，2002. Wang Hongli，Zhang Qichang，Guo Shuqi，et al. Theory and Application of Nonlinear Dynamics[M]. Tianjin：Tianjin Science and Technology Press，2002(in Chinese).

Nonlinear Analysis of In-Plane Motion of Rain-Wind-Induced Vibration of Stay Cable

LI Wei-yi，ZHANG Qi-chang，HE Xue-jun
(School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

For in-depth study of the characteristics of in-plane motion of rain-wind-induced vibration of the stay cable，the nonlinear equation of the in-plane vibration of continuous stay cable has been presented on the basis of elastic mechanics theory and aeroelasticity theory. The partial differential equation has been diverted into ordinary differential equation with Galerkin method. The averaged equation and the steady state solution have been obtained with the method of multiple scales and bifurcation analysis has been conducted with singularity theory，which determines the wind speed as Hopf bifurcation occurs at the origin point and the range of rivulet frequency when the rain-wind-induced vibration of stay cable happens. The vibration amplitudes of the first four order modes have been numerically simulated to study the impact of system parameters，such as the wind speed and the cable damping ratio on the vibration amplitude while the stay cable is vibrating in the first order mode. Study results show that the nonlinear equation can reflect the dynamic characteristics of the in-plane motion of rain-wind-induced vibration of stay cable better，and various bifurcation behaviors exist in the system.

rain-wind-induced vibration；nonlinear vibration；rivulet；Galerkin method；stay cable

O322

A

0493-2137(2010)02-0156-05

2008-12-12；

2009-04-16.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10872141)；教育部博士點(diǎn)基金資助項(xiàng)目(20060056005).

李偉義（1981— ），女，博士，liweiyi@tju.edu.cn.

張琪昌，qzhang@tju.edu.cn.