李 峰， 王新龍， 王起飛

(1.北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100191;2.中國空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471009)

0 引言

中、末制導(dǎo)交接班時(shí)，空空導(dǎo)彈雷達(dá)導(dǎo)引頭成功截獲目標(biāo)是導(dǎo)彈最終命中目標(biāo)的重要前提［1－2］。

導(dǎo)彈對目標(biāo)的截獲性能可用目標(biāo)截獲概率來描述。導(dǎo)引頭目標(biāo)截獲概率包括距離截獲概率、速度截獲概率、角度截獲概率。在上述3個因素中，對導(dǎo)彈末制導(dǎo)截獲概率影響最大的是角度截獲概率［3－4］。為了保證角度截獲，必須把導(dǎo)引頭位標(biāo)器預(yù)定到計(jì)算出的目標(biāo)視線方向上。然而，工程中存在著理論上無法確定的各種誤差因素會造成位標(biāo)器指向與實(shí)際的目標(biāo)方向之間的不一致，這種不一致被稱為導(dǎo)引頭指向誤差［5］。在對截獲概率的研究中，許多文獻(xiàn)圍繞著近、中程空空導(dǎo)彈慣性+指令修正中制導(dǎo)的角度截獲問題，對載機(jī)雷達(dá)的測量誤差、初始對準(zhǔn)誤差和導(dǎo)彈慣性元器件誤差等對導(dǎo)引頭指向誤差的影響進(jìn)行了分析［1－7］。

當(dāng)前，捷聯(lián)慣性/衛(wèi)星組合導(dǎo)航已成為AIM-120D、流星等新一代中遠(yuǎn)程空空導(dǎo)彈普遍采用的導(dǎo)航方式。因此，具體分析空空導(dǎo)彈采用捷聯(lián)慣性/衛(wèi)星組合導(dǎo)航時(shí)對目標(biāo)截獲概率的影響具有重要理論意義及工程應(yīng)用價(jià)值。為此，本文以中遠(yuǎn)程空空導(dǎo)彈為對象，系統(tǒng)分析了目標(biāo)位置測量誤差、導(dǎo)彈位置、姿態(tài)測量誤差對導(dǎo)引頭目標(biāo)截獲概率的影響。

1 速度截獲概率

導(dǎo)彈的速度截獲概率是指導(dǎo)引頭雷達(dá)對目標(biāo)多普勒信號的捕獲概率。影響速度截獲概率的因素主要有:1)目標(biāo)回波多普勒頻率落入接收機(jī)多普勒濾波器頻帶內(nèi)的概率Pfd;2)在回波落入濾波器的條件下導(dǎo)引頭接收機(jī)正確檢測到目標(biāo)的概率Pd。

導(dǎo)彈的速度截獲概率Pv為

在整個中制導(dǎo)過程中，導(dǎo)引頭的截獲系統(tǒng)根據(jù)導(dǎo)彈和目標(biāo)的接近速度確定末制導(dǎo)開始時(shí)導(dǎo)彈與目標(biāo)間信號傳輸?shù)亩嗥绽疹l移，以便為速度跟蹤系統(tǒng)的濾波器進(jìn)行頻率定位，保證使目標(biāo)回波信號落入濾波器通帶。而由于多普勒頻移是根據(jù)導(dǎo)航系統(tǒng)解算出的導(dǎo)彈-目標(biāo)接近速度而得到的，所以與實(shí)際頻移之間存在誤差。目標(biāo)落入導(dǎo)引頭雷達(dá)濾波器組內(nèi)的概率Pfd服從瑞利分布［7］:

式中:Δf為導(dǎo)引頭雷達(dá)濾波器組的頻寬;σrH為機(jī)載雷達(dá)的測速精度;σrm為彈載慣導(dǎo)的測速精度;λ為雷達(dá)導(dǎo)引頭的工作波長。

設(shè)導(dǎo)引頭雷達(dá)濾波器組的頻寬為6 kHz，機(jī)載雷達(dá)的測速精度為10 m/s，彈載慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的測速精度為5 m/s，雷達(dá)導(dǎo)引頭的工作波長為0.03 m，根據(jù)式(2)、式(3)計(jì)算得到 Pfd≈1。

導(dǎo)引頭正確檢測到目標(biāo)的概率是信噪比SNR的函數(shù)。假設(shè)目標(biāo)雷達(dá)截面積的起伏模型是施威林Ⅰ型，則檢測概率為［8］

設(shè)虛警概率為10－8，信噪比為10 dB，積累脈沖數(shù)為 50，根據(jù)式(4)得到 Pd=0.92。

將式(2)和式(4)代入式(1)得到導(dǎo)彈的速度截獲概率為 Pv=0.92。

2 角度截獲概率

2.1 導(dǎo)引頭指向誤差模型

定義導(dǎo)引頭坐標(biāo)系如圖1所示，圖中:Oxbybzb表示導(dǎo)彈本體坐標(biāo)系;Oxsyszs表示導(dǎo)引頭視線坐標(biāo)系;Oxs軸為導(dǎo)引頭位標(biāo)器指向;θs，ψs分別為導(dǎo)引頭坐標(biāo)系相對于彈體坐標(biāo)系的俯仰角和方位角。

圖1 導(dǎo)引頭坐標(biāo)系Fig.1 Seeker coordinate systems

式中:C1= ［－ sinθscosψscosθssinθssinψs］;C2=［sinψs0 cosψs］;δTb表示目標(biāo)的位置測量誤差;δMb表示導(dǎo)彈的位置測量誤差;φ表示導(dǎo)彈的姿態(tài)誤差角;R表示導(dǎo)彈與目標(biāo)的距離;下標(biāo)b，s分別表示導(dǎo)彈本體坐標(biāo)系和導(dǎo)引頭坐標(biāo)系。

從式(5)可以看出，影響導(dǎo)引頭指向誤差的主要誤差源包括:雷達(dá)測量誤差、初始對準(zhǔn)誤差和慣性元器件誤差等。指向誤差與這3個誤差源的關(guān)系見圖2。從圖2中可以看出，雷達(dá)測量誤差產(chǎn)生了目標(biāo)位置測量誤差;初始對準(zhǔn)誤差與陀螺儀測量誤差產(chǎn)生了導(dǎo)彈姿態(tài)的測量誤差;這兩種誤差又與加速度計(jì)的測量誤差一起產(chǎn)生了導(dǎo)彈的位置測量誤差。目標(biāo)位置測量誤差與導(dǎo)彈的位置、姿態(tài)測量誤差共同組成了導(dǎo)引頭指向誤差。

圖2 導(dǎo)引頭指向誤差的分解Fig.2 Disassembling of the pointing-angle error of seeker

2.2 雷達(dá)測量誤差對指向誤差的影響

在導(dǎo)彈的中制導(dǎo)飛行過程中，載機(jī)雷達(dá)測量并計(jì)算的目標(biāo)運(yùn)動信息，此信息通過數(shù)據(jù)鏈發(fā)送給導(dǎo)彈。雷達(dá)測量目標(biāo)位置的誤差會引起導(dǎo)彈－目標(biāo)視線角誤差，從而使導(dǎo)引頭的指向偏離目標(biāo)實(shí)際的方向。

雷達(dá)測量目標(biāo)位置通常用方位、俯仰和斜距3個量來描述。將雷達(dá)坐標(biāo)系中的目標(biāo)位置矢量轉(zhuǎn)換到導(dǎo)航坐標(biāo)系，得到載機(jī)與目標(biāo)的相對位置矢量為

式中:D表示載機(jī)與目標(biāo)的距離;θat表示目標(biāo)相對于載機(jī)的俯仰角;ψat表示目標(biāo)相對于載機(jī)的方位角;下標(biāo)n表示導(dǎo)航坐標(biāo)系。

載機(jī)的位置矢量與載機(jī)－目標(biāo)的相對位置矢量之和為目標(biāo)在導(dǎo)航坐標(biāo)系中的位置矢量。當(dāng)忽略載機(jī)位置的測量誤差，載機(jī)雷達(dá)的測量誤差就是目標(biāo)位置的測量誤差。

機(jī)載雷達(dá)系統(tǒng)的測量誤差主要有:測距誤差δD和測角誤差(包括方位角誤差 δψat和俯仰角誤差δθat)。對式(6)進(jìn)行微分得到:

將式(7)、式(8)代入式(5)，即可得到雷達(dá)測量誤差造成的導(dǎo)引頭指向誤差為

2.3 初始對準(zhǔn)誤差對指向誤差的影響

導(dǎo)彈在發(fā)射后，需要接收載機(jī)發(fā)送的目標(biāo)信息。這就要求導(dǎo)彈必須建立一個與載機(jī)發(fā)送的信息所用坐標(biāo)系一致的坐標(biāo)系，這個坐標(biāo)系通常采用載機(jī)慣性坐標(biāo)系?？湛諏?dǎo)彈在發(fā)射前通過動基座對準(zhǔn)可以建立一個導(dǎo)彈慣性坐標(biāo)系，這個坐標(biāo)系與載機(jī)慣性坐標(biāo)系之間存在著一個對準(zhǔn)誤差。在慣導(dǎo)解算過程中，慣導(dǎo)初始對準(zhǔn)誤差將作為四元數(shù)初值代入到慣性導(dǎo)航計(jì)算方程，造成導(dǎo)彈的位置和姿態(tài)測量誤差。

忽略其他誤差因素，只考慮導(dǎo)彈初始對準(zhǔn)誤差的影響，導(dǎo)彈的姿態(tài)測量誤差φb為

式中:φn0為載機(jī)慣性坐標(biāo)系中的初始對準(zhǔn)誤差角。

將式(10)代入式(5)得到導(dǎo)彈姿態(tài)誤差產(chǎn)生的導(dǎo)引頭指向誤差為

由于初始對準(zhǔn)誤差的存在造成計(jì)算的導(dǎo)航系n'與真實(shí)的導(dǎo)航系n不重合，有:

φx，φy，φz即為 φn在導(dǎo)航坐標(biāo)系 3 個軸上的分量;，分別為本體系到計(jì)算導(dǎo)航系和真實(shí)導(dǎo)航系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。

由于導(dǎo)彈的位置是在導(dǎo)航坐標(biāo)系中對導(dǎo)彈速度進(jìn)行積分得到，設(shè)初始速度沒有誤差，則導(dǎo)彈的位置測量誤差只與加速度對時(shí)間的二重積分有關(guān)，即:

式中:amb為導(dǎo)彈加速度在本體坐標(biāo)系中的投影。

設(shè)發(fā)射導(dǎo)彈后，載機(jī)開始作勻速直線運(yùn)動，直到彈上導(dǎo)引頭截獲目標(biāo)，可以近似認(rèn)為導(dǎo)彈加速度在導(dǎo)航坐標(biāo)系中的二重積分是導(dǎo)彈到載機(jī)的距離，即:

式中:Ramn為載機(jī)到導(dǎo)彈的距離向量。

將式(14)代入式(13)并進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，得到初始對準(zhǔn)誤差造成的導(dǎo)彈位置誤差為

于是，由導(dǎo)彈位置誤差產(chǎn)生的導(dǎo)引頭指向誤差為

2.4 慣性元器件誤差對指向誤差的影響

捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的元器件誤差主要包括加速度計(jì)測量誤差和陀螺儀測量誤差。

1)加速度計(jì)測量誤差對指向誤差的影響。

由于慣導(dǎo)系統(tǒng)是利用加速度計(jì)提供的比力數(shù)據(jù)計(jì)算導(dǎo)彈的位置。因此，加速度計(jì)的誤差會造成導(dǎo)彈位置的測量誤差。

加速度計(jì)的誤差模型可表示為

式中:Ka為加速度計(jì)一次項(xiàng)系數(shù);fb為比力;▽a為加速度計(jì)常值偏置;wa為加速度計(jì)驅(qū)動白噪聲。

將式(17)代入式(18)得:

式中:fn為比力在導(dǎo)航坐標(biāo)系中的投影，且fn=Cnbfb。

由于比力是載體慣性加速度與地心引力加速度之差，式(19)可以轉(zhuǎn)化為

式中:amn表示導(dǎo)彈加速度在導(dǎo)航系中的投影;Gn表示地心引力加速度在導(dǎo)航坐標(biāo)系中的投影。

由式(14)可知:

假定導(dǎo)彈飛行彈道為直線，導(dǎo)彈本體系與導(dǎo)航系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣保持不變，則有:

式中:tf表示中制導(dǎo)飛行時(shí)間。

將式(21)和式(22)代入式(20)，忽略白噪聲誤差，可得到:

將式(23)代入式(5)得到加速度計(jì)測量誤差造成的導(dǎo)引頭俯仰和偏航方向指向誤差為

2)陀螺儀測量誤差對指向誤差的影響。

陀螺儀是導(dǎo)彈角運(yùn)動的測量器件，對慣導(dǎo)系統(tǒng)的姿態(tài)誤差產(chǎn)生直接影響。由陀螺儀造成的姿態(tài)測量誤差會導(dǎo)致導(dǎo)航系統(tǒng)計(jì)算出的導(dǎo)航坐標(biāo)系與真實(shí)的導(dǎo)航坐標(biāo)系不重合。導(dǎo)彈位置的計(jì)算是在導(dǎo)航坐標(biāo)系下進(jìn)行的，因此陀螺儀的誤差也會造成導(dǎo)彈位置的測量誤差。

陀螺儀的誤差模型可以表示為

式中:KG為陀螺儀一次項(xiàng)系數(shù);ωb為導(dǎo)彈的角速度;εG為陀螺儀的常值漂移;wG為陀螺儀驅(qū)動白噪聲。

陀螺儀的誤差造成導(dǎo)彈的姿態(tài)、位置測量誤差。設(shè)陀螺儀量測的角速度為ω?b，此時(shí)導(dǎo)彈的姿態(tài)誤差φb為

將式(27)代入式(5)得到陀螺儀測量誤差導(dǎo)致的導(dǎo)彈姿態(tài)誤差造成的指向誤差為

由陀螺儀誤差造成的導(dǎo)彈位置測量誤差為

為簡化計(jì)算，假設(shè)amn為常數(shù)，則陀螺儀的刻度因數(shù)誤差為零。將式(27)代入式(29)得到:

εGx，εGy，εGz為 εG在導(dǎo)彈本體坐標(biāo)系中的 3 個分量;Rmn(t)表示導(dǎo)彈在導(dǎo)航坐標(biāo)系中的飛行距離。

將式(30)代入式(5)，可得到由陀螺儀的測量誤差引起的導(dǎo)彈位置誤差造成的導(dǎo)引頭指向誤差為

3 空空導(dǎo)彈采用純慣導(dǎo)情況下的導(dǎo)引頭指向誤差

綜合考慮初始對準(zhǔn)誤差、雷達(dá)測量誤差、導(dǎo)彈慣性元器件誤差3種誤差源，為了直觀地反映出3種誤差源對指向誤差大小的影響，采用方差分析法對指向誤差進(jìn)行研究。設(shè) σsyj，σszj(j=1，…，6)是 ηsyj和 ηszj(j=1，…，6)的標(biāo)準(zhǔn)差。

根據(jù)文獻(xiàn)［7］，由目標(biāo)位置測量誤差造成的導(dǎo)引頭指向誤差的標(biāo)準(zhǔn)差為

導(dǎo)彈姿態(tài)測量誤差造成的導(dǎo)引頭指向誤差的標(biāo)準(zhǔn)差為

導(dǎo)彈位置測量誤差造成的導(dǎo)引頭指向誤差的標(biāo)準(zhǔn)差為

利用合適的參數(shù)計(jì)算 σsyj，σszj(j=1，…，6)并將其代入式(32)～式(34)，得到 σT，σa和 σm隨導(dǎo)彈攻擊距離的變化，如圖3所示。

圖3 3種誤差因素對導(dǎo)引頭指向誤差的影響Fig.3 Effect of the three element errors on pointing-angle error of seeker

從圖3可以看出:

1)導(dǎo)彈攻擊的距離越遠(yuǎn)，導(dǎo)引頭指向誤差越大，其中σm隨距離的增長最快，σT的增長在其次，σa增長最慢;

2)當(dāng)導(dǎo)彈攻擊較近距離(50 km以內(nèi))的目標(biāo)時(shí)，σT最大，σa其次，σm最小;

3)當(dāng)導(dǎo)彈攻擊50～100 km的中距目標(biāo)時(shí)，目標(biāo)位置測量誤差仍然是造成導(dǎo)引頭的指向誤差的主要因素，但σm已經(jīng)超過σa，并且隨距離的增長逐漸接近σT;

4)當(dāng)導(dǎo)彈攻擊100 km以上的遠(yuǎn)距離目標(biāo)時(shí)，由導(dǎo)彈的位置測量誤差造成的導(dǎo)引頭指向誤差最大，σT其次，σa最小。其中，當(dāng)導(dǎo)彈的攻擊距離達(dá)到180 km時(shí)，σm與σT相比超出20%，與σa相比超出75%。

可見，對于中遠(yuǎn)程空空導(dǎo)彈，導(dǎo)彈位置的誤差是造成導(dǎo)引頭指向誤差的重要因素。為了減小指向誤差，提高導(dǎo)引頭角度截獲概率，需要采用先進(jìn)的導(dǎo)航系統(tǒng)能夠?yàn)閷?dǎo)彈連續(xù)提供高精度的位置信息。

4 捷聯(lián)慣性/衛(wèi)星組合導(dǎo)航系統(tǒng)對截獲概率的影響

以慣性系統(tǒng)為基礎(chǔ)的捷聯(lián)慣性/衛(wèi)星組合導(dǎo)航系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢互補(bǔ)、取長補(bǔ)短。用衛(wèi)星接收機(jī)提供的高精度定位信息通過組合濾波器來標(biāo)定和補(bǔ)償捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)隨時(shí)間積累的誤差，提高導(dǎo)航精度。同時(shí)，利用捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的速度和加速度信息對衛(wèi)星接收機(jī)進(jìn)行速度輔助，以提高衛(wèi)星接收機(jī)的抗干擾能力和動態(tài)性能［11］。

捷聯(lián)慣性/衛(wèi)星組合導(dǎo)航由于可以同時(shí)提供高精度的位置和速度信息，因此，在新一代中遠(yuǎn)程空空導(dǎo)彈上得到了廣泛應(yīng)用。根據(jù)表1所選中等精度的慣性元器件和GPS接收機(jī)誤差參數(shù)，對捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)與捷聯(lián)慣性/衛(wèi)星組合導(dǎo)航系統(tǒng)在中遠(yuǎn)程空空導(dǎo)彈中應(yīng)用時(shí)導(dǎo)航系統(tǒng)性能進(jìn)行了仿真比較，結(jié)果如圖4所示。

圖4 彈上導(dǎo)航系統(tǒng)的位置測量誤差Fig.4 Locating error of navigation systems on missiles

表1 蒙特卡羅仿真參數(shù)Table 1 Parameters of Monte Carlo simulation

從圖4可以看出，捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的位置測量誤差隨時(shí)間積累?？湛諏?dǎo)彈飛行180 s，捷聯(lián)慣導(dǎo)位置測量誤差超過600 m。捷聯(lián)慣性/衛(wèi)星組合導(dǎo)航系統(tǒng)的位置測量誤差小于15 m，而且不隨時(shí)間積累。由于導(dǎo)彈的位置測量誤差是造成導(dǎo)引頭指向誤差的主要因素，捷聯(lián)慣性/衛(wèi)星組合導(dǎo)航系統(tǒng)通過提高導(dǎo)彈的位置測量精度能夠增加中遠(yuǎn)程空空導(dǎo)彈的截獲概率。

下面采用蒙特卡羅方法，仿真驗(yàn)證空空導(dǎo)彈采用捷聯(lián)慣性/衛(wèi)星組合導(dǎo)航系統(tǒng)時(shí)，對導(dǎo)引頭目標(biāo)截獲性能的影響情況。具體的仿真參數(shù)如表1所示。

圖5中虛線代表導(dǎo)引頭視場的范圍，目標(biāo)在視場范圍內(nèi)時(shí)表示可以被截獲，否則無法被截獲。利用蒙特卡羅仿真方法，根據(jù)300次仿真結(jié)果，將截獲目標(biāo)的次數(shù)與總的仿真次數(shù)之比作為目標(biāo)的角度截獲概率Pα。

圖5 目標(biāo)在導(dǎo)引頭視場中的分布Fig.5 Distributing of target in FOV of seeker

從圖5可以看出，單獨(dú)采用捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的情況下，目標(biāo)在導(dǎo)引頭視場中的分布范圍大，在300次仿真過程中，只有250次落在導(dǎo)引頭視場范圍內(nèi)，這種情況下目標(biāo)角度截獲概率的95%置信區(qū)間為(0.7870，0.8712);而當(dāng)采用慣性/衛(wèi)星組合導(dǎo)航系統(tǒng)時(shí)，目標(biāo)落入導(dǎo)引頭的視場299次，且集中分布在導(dǎo)引頭視場中心周圍，此時(shí)導(dǎo)引頭的角度截獲概率的95%置信區(qū)間為(0.9814，0.9994)?？梢姡c采用純慣性導(dǎo)航系統(tǒng)相比，采用慣性/衛(wèi)星組合導(dǎo)航系統(tǒng)時(shí)導(dǎo)引頭的角度截獲能力有很大提高。

導(dǎo)引頭截獲目標(biāo)的概率P可以表示為

其中:Pr為距離截獲概率。在彈載設(shè)備正常工作的情況下，通常認(rèn)為Pr≈1。

結(jié)合速度截獲概率和角度截獲概率的計(jì)算結(jié)果，由式(35)可以得到采用捷聯(lián)慣性/衛(wèi)星組合導(dǎo)航系統(tǒng)，可使空空導(dǎo)彈在中、末制導(dǎo)交接時(shí)目標(biāo)截獲概率的95%置信區(qū)間由(0.7156，0.8110)提高到(0.8802，0.9431)。從而，慣性/衛(wèi)星組合導(dǎo)航系統(tǒng)可以有效地減小導(dǎo)引頭指向誤差，并顯著地提高了中、末制導(dǎo)交接時(shí)導(dǎo)引頭對目標(biāo)的截獲概率。

5 結(jié)論

本文采用方差分析法對導(dǎo)引頭指向誤差進(jìn)行了分析，利用蒙特卡羅仿真方法研究了慣性/衛(wèi)星組合導(dǎo)航系統(tǒng)對空空導(dǎo)彈截獲概率的影響。通過理論研究與具體分析，可得到以下結(jié)論:

1)隨著導(dǎo)彈飛行距離的延長，導(dǎo)彈位置測量誤差造成的導(dǎo)引頭指向誤差的增長速度超過雷達(dá)測量誤差和初始對準(zhǔn)誤差造成的指向誤差;

2)對于發(fā)射距離在100 km以上的遠(yuǎn)距空空導(dǎo)彈，導(dǎo)彈位置測量誤差是造成導(dǎo)引頭指向誤差最重要的原因;

3)利用捷聯(lián)慣性/衛(wèi)星組合導(dǎo)航系統(tǒng)提高導(dǎo)彈中制導(dǎo)過程中的位置測量精度，可以有效地減小遠(yuǎn)程空空導(dǎo)彈中、末制導(dǎo)交接班時(shí)導(dǎo)引頭的指向誤差，提高對目標(biāo)的截獲概率。

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