曾 奮， 董英凝， 鄧維波

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 電子與信息工程研究院，黑龍江 哈爾濱 150001）

0 引言

波達(dá)方向的估計(jì)是智能天線的核心技術(shù)之一，MUSIC等超分辨算法是常用的高性能的波達(dá)方向估計(jì)的方法。然而陣列的幅相誤差和互耦效應(yīng)嚴(yán)重影響了超分辨算法的性能，在使用這些算法前，必須采取合適的方法校正這些誤差。目前采用的校正方法主要分為校正源方位精確已知的有源校正法和校正源方位未知的自校正法[1]。對(duì)于工作波長(zhǎng)很長(zhǎng)的大型陣列，由于環(huán)境所限，往往不能通過放置方位精確已知的校正源來(lái)實(shí)現(xiàn)校正，同時(shí)環(huán)境的變化會(huì)導(dǎo)致陣列誤差參數(shù)的變化，這時(shí)需要實(shí)時(shí)性更強(qiáng)而且不需要校正源方位信息的自校正算法。

自校正算法通常根據(jù)某種優(yōu)化函數(shù)對(duì)信號(hào)源方位和陣列誤差參數(shù)進(jìn)行聯(lián)合的估計(jì)[1-2]；對(duì)于均勻線陣，其特殊的結(jié)構(gòu)決定了自校正過程中必然存在相位誤差和方位參數(shù)之間的耦合[3-5]。當(dāng)僅存在幅相誤差時(shí)，可利用陣列輸出協(xié)方差矩陣的特殊結(jié)構(gòu)建立各陣元間幅相誤差的關(guān)系，并利用約束條件來(lái)解除相位誤差和方位參數(shù)之間的耦合[6-10]。然而互耦效應(yīng)同時(shí)存在時(shí)，會(huì)導(dǎo)致這種解模糊方法失效，這使得對(duì)均勻線陣幅相誤差和互耦效應(yīng)的同時(shí)自校正成為一個(gè)難題。

本文分析了自校正算法對(duì)均勻線陣失效的原因，指出算法對(duì)相位誤差的估計(jì)和DOA的估計(jì)存在耦合，但仍然能夠正確地估計(jì)陣列的幅度誤差和互耦系數(shù)。基于這個(gè)特點(diǎn)，本文首先利用自校正算法對(duì)這兩種誤差進(jìn)行估計(jì)，將得到的估計(jì)值用來(lái)修正陣列輸出的協(xié)方差矩陣；然后利用修正后的陣列輸出協(xié)方差矩陣的特殊結(jié)構(gòu)和陣列相位誤差的約束條件，解除相位誤差估計(jì)的模糊，從而實(shí)現(xiàn)幅相誤差和互耦誤差的自校正。

1 信號(hào)模型

假定由M個(gè)無(wú)方向性的傳感器組成的均勻線陣，陣元的間距為d，N個(gè)互不相關(guān)的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)從不同的方向入射到陣列，信號(hào)的波長(zhǎng)為λ。當(dāng)陣列同時(shí)存在幅相誤差和互耦誤差，陣元的輸出可表示為

其中， S ( j)表示信號(hào)源輸入的 N ×1維向量； V (j)表示陣列噪聲的 M ×1維向量，每個(gè)陣元上的噪聲都是功率相同的高斯白噪聲； X ( j)表示陣列輸出的 M ×1維向量；A是線陣的M×N維理想陣列流型矩陣，a(θN) 為陣列的導(dǎo)向矢量。 Γ =Γγ· Γθ表示陣列的幅相誤差矩陣，表示陣列的幅度誤差，而表示陣列的相位誤差；C表示陣列的互耦誤差矩陣，根據(jù)陣列的不同結(jié)構(gòu)，互耦矩陣的形式可作不同的假設(shè)，均勻線陣的互耦矩陣結(jié)構(gòu)為一帶狀、對(duì)稱Toeplitz矩陣。信號(hào)、噪聲和陣列輸出的協(xié)方差矩陣如下：

對(duì)XR 進(jìn)行特征分解，有：

其中，SU 是信號(hào)子空間，NU 是噪聲子空間。

2 改進(jìn)的均勻線陣幅相誤差和互耦效應(yīng)校正算法

2.1 均勻線陣自校正存在的問題

自校正算法根據(jù)某種優(yōu)化函數(shù)對(duì)信號(hào)源的方位和陣列的誤差參數(shù)進(jìn)行聯(lián)合的估計(jì)，現(xiàn)在以Friedlander和Weiss提出的經(jīng)典自校正算法[2]為例，說(shuō)明均勻線陣在自校正中存在的多值性問題。經(jīng)典的自校正算法利用陣列實(shí)際的導(dǎo)向矢量與陣列輸出協(xié)方差矩陣的噪聲子空間正交的特點(diǎn)，通過最小化代價(jià)函數(shù)式(4)來(lái)完成對(duì)陣列誤差參數(shù)和信號(hào)源DOA的估計(jì)[2]。

假設(shè) { A1, C1, Γ1}是使代價(jià)函數(shù) JC最小的一組解，對(duì)于均勻線陣，由于：

則必然存在一個(gè)對(duì)角矩陣：

使得：

2.2 改進(jìn)的均勻線陣幅相誤差和互耦效應(yīng)校正算法

如上文所分析，由于均勻線陣的特殊結(jié)構(gòu)并不影響自校正算法對(duì)互耦矩陣和幅度誤差矩陣的估計(jì)，所提出的改進(jìn)算法首先利用經(jīng)典自校正算法[2]，得到陣列的互耦矩陣C和幅度誤差矩陣γΓ，然后用這兩個(gè)估計(jì)量修正陣列輸出的協(xié)方差矩陣：

這時(shí)，我們只需要考慮計(jì)算陣列的相位誤差。

在沒有陣列誤差和噪聲的理想狀況下，陣列輸出的協(xié)方差矩陣xrR 應(yīng)該具有Hermitian Toeplitz結(jié)構(gòu)，xrR 的元素為

利用xrR 的Hermitian Toeplitz結(jié)構(gòu)和式(7)，建立起各陣元的相位誤差之間的關(guān)系。

式(8)中，i- j = k - l 表示元素 r?ij與 r?kl位于同一條對(duì)角線上。利用所有上對(duì)角線的元素能得到類似式(8)的方程的個(gè)數(shù)為，但實(shí)際上獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)只有M- 2 個(gè)，經(jīng)過分析證明，僅利用第一上對(duì)角線元素組成的M- 2 個(gè)獨(dú)立方程得到的參數(shù)估計(jì)的性能最好[7]。選定第一號(hào)陣元為相位參考點(diǎn)，則待估計(jì)的相位誤差參數(shù)為 M -1個(gè)，現(xiàn)在只有 M - 2 個(gè)獨(dú)立的方程，仍需一個(gè)約束條件來(lái)確定一組唯一的解。文獻(xiàn)[8]分析了多種約束條件，并指出最小模約束條件對(duì)于常見的陣列相位誤差的校正效果最好。這樣，我們利用第一上對(duì)角線的 M - 2 個(gè)獨(dú)立的方程和最小模約束條件，便可以完成對(duì)相位誤差的無(wú)模糊估計(jì)，它可以表示成一個(gè)帶線性約束的最小二乘問題，如式(9)所示：

幅相誤差和互耦效應(yīng)同時(shí)存在時(shí)的自校正算法可描述為以下的三步：

① 利用經(jīng)典自校正算法得到互耦矩陣C和幅度誤差矩陣γΓ的估計(jì)；

② 利用式(6)修正陣列輸出的協(xié)方差矩陣；

③ 利用式(9)完成對(duì)相位誤差θΓ的估計(jì)。

3 計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果

本文通過兩個(gè)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證校正算法的性能。

實(shí)驗(yàn)一 蒙特卡洛仿真。實(shí)驗(yàn)選擇 10M= 的均勻線陣，d取半波長(zhǎng)，N =3，分別位于-20°, 0°和25°，取512個(gè)快拍，信噪比從0 dB到40 dB變化，蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)的每一個(gè)信噪比下，做200次的獨(dú)立實(shí)驗(yàn)。假設(shè)陣元間只有相鄰單元存在互耦，其互耦系數(shù)為 c=0. 2+0.12i，幅度誤差的取值為：1.20，1.13，0.81，0.80，0.94，0.81，0.78，1.09，0.80，1.01；相位誤差的取值為（單位為度）：3.0，-0.6，-13.2，-11.4，-0.4，2.0，-11.4，13.7，-7.2，-11.6。仿真結(jié)果如圖1到圖5所示。

圖1 對(duì)陣列幅度誤差估計(jì)的性能

圖 1所示的平均偏差是對(duì)各陣元幅度誤差估計(jì)偏差的絕對(duì)值的平均，而平均均方根誤差是對(duì)各陣元的相位誤差估計(jì)均方根誤差的平均。圖1到圖3說(shuō)明經(jīng)典自校正算法可以對(duì)均勻線陣的幅度誤差和互耦系數(shù)作出正確的估計(jì)；圖4給出了經(jīng)典自校正算法[2]對(duì)陣列相位誤差的估計(jì)，由于多解性的存在，算法不能收斂于正確的相位誤差上，從而導(dǎo)致了錯(cuò)誤的估計(jì)。圖5是使用了式(9)解模糊后的相位誤差估計(jì)，算法很好地去除了相位估計(jì)的模糊性，可以看出算法對(duì)相位誤差的估計(jì)是有偏的，高信噪比的時(shí)候平均偏差在1.2度左右，平均均方根誤差在0.3度以內(nèi)。

實(shí)驗(yàn)二 利用實(shí)驗(yàn)一的實(shí)驗(yàn)條件，校正源的信噪比固定為10 dB，利用本文提出的校正算法對(duì)陣列的誤差進(jìn)行校正。觀察校正前后陣列對(duì)位于-2度和2度兩個(gè)相距很近的信號(hào)源的分辨能力，信號(hào)源的信噪比為10 dB，對(duì)未校正的MUSIC譜和校正后的MUSIC譜分別做20次獨(dú)立的實(shí)驗(yàn)，將這些實(shí)驗(yàn)的MUSIC譜作于圖6中。

從圖6可以看出，未經(jīng)校正的陣列完全不能分辨出這兩個(gè)相距很近的信號(hào)源，然而經(jīng)過本文提出的算法校正后，MUSIC譜上可以很清楚地分辨出兩個(gè)分別位于-1度和1度的信號(hào)源。這說(shuō)明了本文所提出的自校正算法對(duì)陣列超分辨性能有很大的改善。

圖2 對(duì)互耦系數(shù)幅度估計(jì)的性能

圖3 對(duì)互耦系數(shù)相位估計(jì)的性能

圖4 經(jīng)典自校正算法對(duì)相位估計(jì)的性能

圖5 本文改進(jìn)的自校正算法對(duì)相位估計(jì)的性能

圖6 算法對(duì)超分辨測(cè)角性能的改善

4 結(jié)語(yǔ)

由于均勻線陣的特殊結(jié)構(gòu)，在自校正過程中必然存在相位誤差估計(jì)和信號(hào)源方位估計(jì)的耦合，使得算法出現(xiàn)多解性，導(dǎo)致自校正算法的失效。本文用蒙特卡洛仿真驗(yàn)證了這種多解性只出現(xiàn)在相位誤差估計(jì)和信號(hào)源方位估計(jì)上，而自校正算法仍然能正確地對(duì)幅度誤差和互耦系數(shù)進(jìn)行估計(jì)。在此基礎(chǔ)上，利用最小模約束條件很好地解決了相位誤差估計(jì)的模糊問題。本文提出的改進(jìn)的自校正算法不需要陣列誤差以及DOA的先驗(yàn)知識(shí)，對(duì)幅度誤差和互耦誤差的估計(jì)有很高的精度，同時(shí)也很好地解決了自校正算法對(duì)均勻線陣相位估計(jì)和DOA估計(jì)模糊的問題，陣列用該算法校正以后，超分辨的性能得到了很大的改善。

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