江 華， 張 靜

（①海軍工程大學(xué) 裝備經(jīng)濟(jì)管理系，湖北 武漢 430033；②海軍萬壽路干休所，北京 100000）

0 引言

在光纖通信系統(tǒng)[1-2]中，單模光纖的彎曲損耗是使信號(hào)劣化的主要因素之一。在測(cè)量彎曲損耗時(shí)，早期的理論在假設(shè)光纖具有無限擴(kuò)展包層的條件下，給出了一個(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)算模型，這個(gè)模型預(yù)測(cè)彎曲損耗與彎曲半徑和波長(zhǎng)之間存在單調(diào)變化的關(guān)系[3]。然而近年來，實(shí)驗(yàn)顯示單模光纖中彎曲損耗隨彎曲半徑和波長(zhǎng)的變化都呈現(xiàn)出振蕩的現(xiàn)象[4-6]。這是因?yàn)榘鼘映叽绲挠邢扌院屯扛矊拥拇嬖?，致使纖芯中傳播的場(chǎng)和從包層與涂覆層的界面上反射回來的部分輻射場(chǎng)發(fā)生耦合，并不如傳統(tǒng)理論假設(shè)的那樣，所有的彎曲損耗都從基模中泄漏出去永遠(yuǎn)損耗了。為了解釋這一現(xiàn)象，Harris和Castle從射線理論的角度出發(fā)，認(rèn)為這是由基模和whispering gallery模之間的耦合引起的[7]。近年來，人們開始從波動(dòng)理論的角度出發(fā)，利用數(shù)值法來分析單模光纖的彎曲損耗。Valiente和Vassallo得出了關(guān)于彎曲損耗的線性方程組[8]。Vendeltrop－Pommer和Povlsen利用波束傳播法（BPM：Beam Propagation Method）對(duì)這一現(xiàn)象進(jìn)行了解釋[9]。只有Murakami和Tsuchiya把彎曲光纖看作五層平板波導(dǎo)[4]，在傳統(tǒng)損耗公式的基礎(chǔ)上，乘以一個(gè)修正因子，得到一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的損耗公式。

本文采用一個(gè)簡(jiǎn)單的模型，仿真和分析了單模光纖中彎曲損耗隨彎曲半徑和波長(zhǎng)變化的關(guān)系，并對(duì)關(guān)系曲線的特性進(jìn)行了討論，得出了一些有價(jià)值的結(jié)論。

1 理論模型

由于可將求解單模光纖的彎曲損耗轉(zhuǎn)化為求解彎曲光纖基模傳播常量的虛部，而傳播常量的虛部又與波動(dòng)方程后向場(chǎng)在軸芯上的強(qiáng)度有關(guān)，所以我們只要求解由彎曲光纖轉(zhuǎn)化而來的等效直光纖的波動(dòng)方程，得到后向場(chǎng)在光纖軸芯上的強(qiáng)度，進(jìn)而就可求得單模光纖彎曲損耗系數(shù)。

弱導(dǎo)近似時(shí)，彎曲光纖中的橫向場(chǎng)分布為(,)xyψ，它滿足二維標(biāo)量方程。根據(jù)以上的理論思路，通常采用的方法為通過修正折射率將彎曲光纖等效成直光纖。此時(shí)標(biāo)量方程對(duì)坐標(biāo)y的傅里葉變換為：

式中：k0=2πλ為真空中的波數(shù)；β0為未受擾動(dòng)直光纖基模的傳播常量；?為y分量的傅里葉變換共軛量； nq是q區(qū)域的折射率。

式（1）解為：

設(shè) Rc為彎曲半徑的臨界值，當(dāng) R ＜Rc時(shí)，損耗會(huì)急劇增加，振蕩現(xiàn)象也會(huì)充分顯現(xiàn)。其通過對(duì)艾利函數(shù)的近似，我們可以進(jìn)一步求取后向場(chǎng)軸芯上的強(qiáng)度，最后得到彎曲損耗系數(shù)。設(shè)L2=b RrRC，當(dāng)L的值較大時(shí)，繁瑣的無窮積分就能得到替代，得到一個(gè)簡(jiǎn)單的彎曲損耗系數(shù)的表達(dá)式：

其中：2Bα是傳統(tǒng)理論中具有無限延伸包層的單模光纖的彎曲損耗系數(shù)。對(duì)于纖芯折射率為1n的階躍型光纖，2Bα值為：

2 實(shí)驗(yàn)與分析

本文仿真實(shí)驗(yàn)采用的是 G.652型光纖，其參數(shù)如表 1所示。

表1 光纖參量

圖 1、圖 2分別是理論仿真得到的單模光纖彎曲損耗隨彎曲半徑及波長(zhǎng)變化的曲線以及實(shí)際測(cè)得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。圖中的虛線和實(shí)曲線分別是式（4）和式（3）的仿真結(jié)果，從中可以看到傳統(tǒng)理論所推導(dǎo)的彎曲損耗和彎曲半徑及波長(zhǎng)的關(guān)系是單調(diào)的。而實(shí)曲線隨著彎曲半徑的增大呈遞減趨勢(shì)的同時(shí)還伴隨著振蕩現(xiàn)象，并且彎曲半徑越小，振蕩越頻繁越劇烈。圖2中，橫坐標(biāo)數(shù)值應(yīng)乘以10-3單模光纖的彎曲損耗隨著波長(zhǎng)的增大呈現(xiàn)遞增趨勢(shì)的同時(shí)也伴隨著振蕩現(xiàn)象。由于實(shí)驗(yàn)條件有限，只取了較少的半徑值進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，所以實(shí)驗(yàn)顯示的振蕩現(xiàn)象不是很明顯，但是損耗曲線和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在所對(duì)應(yīng)的半徑值上還是基本一致的。

圖1 單模光纖中彎曲損耗隨彎曲半徑變化的曲線

圖2 單模光纖的彎曲損耗隨波長(zhǎng)變化的曲線

觀察式（3），因?yàn)?Z3＞Z2＞0，所以當(dāng)，式（4）可取得局部最大值，即波峰值；（m為任意正整數(shù)），式（4）取得局部最小值，即波谷值。對(duì)以上兩式進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，可得到如下條件等式（7）：

這一結(jié)論剛好與文獻(xiàn)[7]的分析相吻合：彎曲損耗的振蕩現(xiàn)象是由光纖中的基模和在包層和涂覆層中傳播的whispering gallery模之間的耦合引起的。當(dāng)兩種模的相位同步，即同相耦合時(shí)彎曲損耗振蕩曲線出現(xiàn)最大值；反之，當(dāng)兩模的相位異步，即異相耦合時(shí)，彎曲損耗振蕩曲線出現(xiàn)最小值。通過式（5），單模光纖彎曲損耗出現(xiàn)峰值和谷值時(shí)所對(duì)應(yīng)的彎曲半徑值就可以比較準(zhǔn)確地被預(yù)測(cè)。下頁圖3給出了式（5）的仿真結(jié)果，“▽”和“O”分別標(biāo)識(shí)的是峰值和谷值位置的預(yù)測(cè)值。由于實(shí)驗(yàn)中彎曲半徑取值的困難，這里取了三組數(shù)據(jù)，見下頁表2。

表2 波峰預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示，雖然半徑取值沒有完全與理論值相等，但是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)從大體趨勢(shì)上體現(xiàn)了理論預(yù)測(cè)的正確性。通過對(duì)彎曲損耗曲線峰－谷值位置特性的了解，我們可以更為深入地掌握單模光纖彎曲損耗的振蕩規(guī)律。

圖3 單模光纖的彎曲損耗波峰－波谷位置預(yù)測(cè)

3 結(jié)語

本文采用一簡(jiǎn)單的分析模型，對(duì)單模光纖的彎曲損耗和彎曲半徑、波長(zhǎng)的關(guān)系進(jìn)行了仿真和實(shí)驗(yàn),觀察到彎曲損耗隨彎曲半徑和波長(zhǎng)的變化具有單調(diào)變化趨勢(shì)的同時(shí)還呈現(xiàn)振蕩的現(xiàn)象。并在此基礎(chǔ)上，對(duì)關(guān)系曲線的特性進(jìn)行了深入地分析，得出了峰－谷值位置的計(jì)算式，分析表明，彎曲損耗的振蕩現(xiàn)象是由光纖中的基模和在包層和涂覆層中傳播的whispering gallery模之間的耦合引起的。這對(duì)我們?cè)趯?shí)際應(yīng)用中掌握單模光纖彎曲損耗的情況有相當(dāng)大的幫助。

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