于文新， 張 謙

（①湖南中移鼎訊通信有限公司,湖南 長(zhǎng)沙 410011; ②長(zhǎng)沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410011）

0 引言

在實(shí)際的應(yīng)用中，信號(hào)和噪聲總是同時(shí)出現(xiàn)的，信號(hào)在形成、傳輸過程中，常因外界噪聲干擾而導(dǎo)致其質(zhì)量退化，如何更好地保護(hù)信號(hào)和抑制噪聲一直是信號(hào)處理的熱點(diǎn)[1-2]。小波閾值去噪根據(jù)噪聲通常表現(xiàn)為高頻信號(hào)的特性，對(duì)小波分解的高頻系數(shù)進(jìn)行門限閾值處理，達(dá)到去噪的目的。

小波包分解是小波分析的進(jìn)一步推廣，它對(duì)小波分析沒有細(xì)分的高頻進(jìn)一步分解，因此可以將高頻噪聲和高頻信號(hào)區(qū)分開來(lái)，從而獲得更為理想的去噪效果。由于通常采用的硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性，以及軟閾值函數(shù)中估計(jì)小波系數(shù)與帶噪信號(hào)的小波系數(shù)之間存在著恒定的偏差的缺陷, 本文提出了一種基于小波包的新閾值函數(shù),并用Matlab仿真實(shí)驗(yàn)表明了該方法的優(yōu)越性。

1 小波包消噪原理

不論是多分辨分析還是小波包分析，其分解的最終目的是力求構(gòu)造一個(gè)在頻率上高度逼近Hilbert空間2()LR的正交小波基（或正交小波包基）。

但隨著尺度j的增大，相應(yīng)的正交小波基函數(shù)的空間分辨率越高，而其頻率分辨率越低，這正是正交小波基的一大缺陷。而小波包卻具有將隨j增大而變寬的頻譜窗口進(jìn)一步分割變細(xì)的優(yōu)良性質(zhì)，從而克服了正交小波變換的這一不足。在小波包標(biāo)架中，其信號(hào)消噪的算法思想與在小波標(biāo)架中的基本一樣，只是小波包分析對(duì)上一層的低頻部分和高頻部分同時(shí)進(jìn)行了細(xì)分。在閾值量化過程中，其方法與小波分析一樣。

1.1 小波包算法

1.2 無(wú)偏估計(jì)

其中：分別為小波系數(shù)和其估計(jì)值。

本文引入一個(gè)關(guān)于觀測(cè)值S的函數(shù)：

其中：

SURE為上述風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的無(wú)偏估計(jì)，表達(dá)式為：

2 閾值消噪原理

閾值的選取主要由小波變換的方法、小波函數(shù)的性質(zhì)以及信號(hào)和噪聲的性質(zhì)等因素所決定，閾值規(guī)則的選取有很多種。常見的閾值選擇分硬閾值和軟閾值[3-5]兩種處理方式。軟閾值處理即把信號(hào)的絕對(duì)值與閾值進(jìn)行比較,當(dāng)數(shù)據(jù)的絕對(duì)值小于或等于閾值時(shí),令其為零,大于閾值的數(shù)據(jù)點(diǎn)則向零收縮,變?yōu)樵擖c(diǎn)值與閾值之差;對(duì)于硬閾值處理,是把信號(hào)的絕對(duì)值與閾值進(jìn)行比較,小于或等于閾值的點(diǎn)變?yōu)榱?大于閾值的點(diǎn)不變。

2.1 改進(jìn)閾值函數(shù)及迭代運(yùn)算的實(shí)現(xiàn)

本文采取類Sigmoid函數(shù)作為改進(jìn)的軟閾值函數(shù)[6-9]。相對(duì)其他改進(jìn)的閾值函數(shù)，類Sigmoid函數(shù)二階可導(dǎo)，而且由于類Sigmoid函數(shù)本身對(duì)漸近線的快速逼近性，當(dāng)大于所取閾值時(shí)，根據(jù)類Sigmoid函數(shù)選取的小波系數(shù)保持與標(biāo)準(zhǔn)軟閾值收縮后的小波系數(shù)更近的相似性。

類Sigmoid函數(shù)所確定的閾值函數(shù)為[7]：

式中：x為小波系數(shù)，式（4）中，當(dāng)k=∞時(shí)，式（6）為標(biāo)準(zhǔn)軟閥值函數(shù)。在閥值函數(shù)式（6）的條件下，由此可得:

若采用正交小波，由式（2）把均方差分解到各尺度的小波系數(shù)中去，在針對(duì)每一尺度的小波系數(shù)及其估計(jì)值進(jìn)行迭代運(yùn)算，運(yùn)算式為：

2.2 小波包消噪處理步驟

信號(hào)消噪是小波包分析的一個(gè)最基本的應(yīng)用，通常,它按照如下幾個(gè)步驟進(jìn)行：

①信號(hào)的小波包分解。選擇一個(gè)小波并確定一個(gè)小波分解的層次N ,然后對(duì)信號(hào)S 進(jìn)行N 層小波包分解;

②計(jì)算最佳樹（即確定最佳小波包基）。對(duì)于一個(gè)給定的嫡標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算最佳樹。對(duì)于 GUI 方式,有一個(gè)專門的“Best Tree”按鈕用于計(jì)算最佳樹;

③小波包分解系數(shù)的閾值量化。利用式（6）的閥值函數(shù)對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行處理，得到各尺度小波系數(shù)的估計(jì)值，然后根據(jù)利用式（10）得到：

④小波包重構(gòu)。根據(jù)小波分解的第 N 層的低頻系數(shù)和經(jīng)過量化處理后的從1 到N 層的高頻系數(shù),進(jìn)行小波重構(gòu)。

由于對(duì)于一個(gè)給定的正交小波，一個(gè)長(zhǎng)度為 2LN= 的信號(hào)最多可以有2L種不同的分解方式，這恰好是一個(gè)深度為L(zhǎng)的完整二叉樹的二叉子樹的數(shù)目，是一個(gè)非常龐大的數(shù)目。因此，步驟②得出的最佳分解方式，只對(duì)最佳樹選中的高頻系數(shù)進(jìn)行下一層分解。在這4個(gè)步驟之中,最關(guān)鍵的就是如何選取閾值和如何進(jìn)行閾值的量化。從某種程度上說(shuō),它直接關(guān)系到信號(hào)消噪的質(zhì)量。

3 Matlab實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了說(shuō)明新閾值函數(shù)的有效性和優(yōu)越性，對(duì)某一含噪信號(hào)分 別應(yīng)用經(jīng)典的軟硬閾值函數(shù)和新閾值函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波包降噪處理。將原始信號(hào)作為標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)s(n)，含噪信號(hào)為f(n），信號(hào)長(zhǎng)度為L(zhǎng)，信噪比（RSN）公式定義為：

原始信號(hào)與估計(jì)信號(hào)之間的均方根誤差(RMSE)定義為：

仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 各種閾值函數(shù)降噪結(jié)果的比較

降噪信號(hào)的信噪比(SNR)和均方誤差（RMSE）如表1所示。研究表明，新閾值函數(shù)的小波包信號(hào)降噪在均方根誤差（RMSE）和信噪比（SNR）兩個(gè)性能指標(biāo)上均優(yōu)于經(jīng)典的軟硬閾值函數(shù)。

表1 各種方法的均方誤差(RMSE)和信噪比(RSN)(dB)

4 結(jié)語(yǔ)

信號(hào)的信噪比SNR越高，原始信號(hào)與估計(jì)信號(hào)的均方根誤差RMSE越小，則估計(jì)信號(hào)就越接近于原始信號(hào)，消噪效果越好。本文在經(jīng)典的小波軟、硬閾值消噪方法的基礎(chǔ)上提出了一種基于小波包分析的改進(jìn)方法即基于改進(jìn)閾值消噪算法的小波包降噪方法。通過Matlab仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文采用小波包的改進(jìn)閾值法克服了軟、硬閾值方法的缺點(diǎn)，更好地保護(hù)了信號(hào)并且抑制了噪聲，同時(shí)，應(yīng)用此消噪方法的效果比小波消噪方法要好。因而具有一定的工程意義和應(yīng)用價(jià)值。

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