周曉青，李合生，陶榮輝，蔡英武

(中國(guó)工程物理研究院 電子工程研究所，四川 綿陽(yáng) 621900)

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中，數(shù)字接收機(jī)是電子偵察系統(tǒng)的重要組成部分，它在廣大的作戰(zhàn)區(qū)域中準(zhǔn)確、快速、全面地獲得各種目標(biāo)信息的作用巨大，其地位是不可取代的。它可以捕獲、定位、分析和識(shí)別作戰(zhàn)區(qū)域內(nèi)的雷達(dá)輻射源，從而獲取有用信息。其中電磁波的頻率無疑是非常重要的一個(gè)參數(shù)，它反映了雷達(dá)的功能和用途、雷達(dá)的頻率捷變頻范圍和譜寬，是信號(hào)分選和威脅識(shí)別的重要參數(shù)之一[1]。為了實(shí)時(shí)、準(zhǔn)確地獲得該參數(shù)，需要對(duì)載波頻率進(jìn)行瞬時(shí)測(cè)量。在20世紀(jì)五六十年代，瞬時(shí)測(cè)頻技術(shù)IFM(Instantaneous Frequency Measurement)應(yīng)運(yùn)而生，瞬時(shí)測(cè)頻主要分為模擬瞬時(shí)測(cè)頻和數(shù)字瞬時(shí)測(cè)頻兩種。其中，模擬瞬時(shí)測(cè)頻設(shè)備簡(jiǎn)單易于實(shí)現(xiàn)，但測(cè)頻精確度不是很高，并且穩(wěn)定性差，容易受環(huán)境的影響，該技術(shù)較早在工程中得到應(yīng)用。數(shù)字瞬時(shí)測(cè)頻具有穩(wěn)定、精確度高、實(shí)時(shí)性好等優(yōu)點(diǎn)。90年代中期以后，隨著高速集成電路和數(shù)字算法的發(fā)展，數(shù)字瞬時(shí)測(cè)頻DIFM(Digital Instantaneous Frequency Measurement)技術(shù)得到飛速的發(fā)展，并且有逐漸取代模擬瞬時(shí)測(cè)頻的趨勢(shì)。

數(shù)字瞬時(shí)測(cè)頻即用數(shù)字信號(hào)處理的方法對(duì)信號(hào)的載頻進(jìn)行測(cè)量[2]。現(xiàn)代電子戰(zhàn)爭(zhēng)的主要特點(diǎn)為：(1)寬頻帶、大視場(chǎng)；(2)瞬時(shí)信號(hào)檢測(cè)、測(cè)量和高速信號(hào)處理[1]。所以要求數(shù)字測(cè)頻必須可以對(duì)大帶寬的信號(hào)進(jìn)行高速、高精度的測(cè)量。隨著數(shù)字接收機(jī)的發(fā)展，對(duì)數(shù)字測(cè)頻算法的研究也越來越多，這些方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，需要根據(jù)實(shí)際的應(yīng)用場(chǎng)合選擇使用。

本文主要按照算法所利用的信號(hào)的不同信息分量，對(duì)常用的一些算法進(jìn)行了分類介紹，并給出了算法的基本思想以及目前比較常用的改進(jìn)算法，對(duì)其中的直接計(jì)數(shù)法、相位推算法、頻率推算法、傅里葉變換法及譜估計(jì)等方法進(jìn)行了MATLAB仿真。總結(jié)了各算法的主要優(yōu)缺點(diǎn)及適用范圍，為設(shè)計(jì)者在工程實(shí)用中選擇合適的算法提供幫助。

數(shù)字測(cè)頻算法種類繁多，根據(jù)算法所利用的信號(hào)不同信息分量，數(shù)字測(cè)頻算法分為：利用幅度信息的測(cè)頻算法、利用相位信息的測(cè)頻算法、利用頻率信息的測(cè)頻算法、利用功率譜信息的測(cè)頻算法4類。下面將分別對(duì)這4類算法進(jìn)行詳細(xì)的分析研究。

1 利用幅度信息的測(cè)頻算法

利用信號(hào)的幅度信息進(jìn)行測(cè)頻的典型算法為直接計(jì)數(shù)法[3-6](也稱為過零計(jì)數(shù)法、過零檢測(cè)法)，是通過計(jì)算一定數(shù)量的信號(hào)周期總共占有多長(zhǎng)時(shí)間來推算信號(hào)頻率。其原理框圖如圖1所示。

圖1 直接計(jì)數(shù)法原理框圖

設(shè)采樣量化的時(shí)鐘頻率為fs，計(jì)算信號(hào)的n個(gè)半周期，即計(jì)算出一段信號(hào)極性變化n次的時(shí)間，總共的信號(hào)時(shí)間為m個(gè)時(shí)鐘周期，則信號(hào)的周期和頻率分別為：

由于計(jì)數(shù)結(jié)果總是整數(shù)，可能發(fā)生的最大誤差為1個(gè)時(shí)鐘周期，則可能的最大周期誤差為2/nfs?；蛘哂孟鄬?duì)誤差表述，測(cè)量信號(hào)周期和頻率的相對(duì)誤差均為1/m，當(dāng)m較小時(shí)，計(jì)數(shù)法的測(cè)頻誤差較大，要提高m的數(shù)值，只能是提高采樣頻率和信號(hào)存在時(shí)間。

圖2給出了直接計(jì)數(shù)法在有噪聲和無噪聲情況下的比較。圖 2(a)、圖2(c)分別為當(dāng)信噪比等于 10 dB時(shí)的待測(cè)信號(hào)和直接計(jì)數(shù)法的計(jì)數(shù)點(diǎn)；圖 2(b)和圖2(d)分別為沒有噪聲時(shí)的待測(cè)信號(hào)和直接計(jì)數(shù)法的計(jì)數(shù)點(diǎn)?？梢钥闯?，當(dāng)沒有噪聲時(shí)，計(jì)數(shù)點(diǎn)清晰可見，可完全滿足頻率計(jì)算的要求。但在信噪比為10 dB時(shí)，已經(jīng)很難利用計(jì)數(shù)法對(duì)待測(cè)信號(hào)進(jìn)行頻率測(cè)量了。

為了進(jìn)一步提高直接計(jì)數(shù)法的測(cè)頻精度，參考文獻(xiàn)[4]提出可以采用雙門限整形的方式來降低在較低信噪比情況下的計(jì)數(shù)誤差；參考文獻(xiàn)[3]提出引入等效時(shí)鐘來減小量化誤差。由于直接計(jì)數(shù)法本身的抗噪聲性能較差，所以這些方法雖然對(duì)算法有所改進(jìn)，但性能仍有待進(jìn)一步提高。

由以上分析可以看出，直接計(jì)數(shù)法的主要優(yōu)點(diǎn)為：測(cè)頻方法簡(jiǎn)單、運(yùn)算量小、速度快、工程實(shí)現(xiàn)的體積小、重量輕。而其主要缺點(diǎn)：抗噪聲性能差、測(cè)頻精度較低，并且只能用于單載頻測(cè)量。

2 利用相位信息的測(cè)頻算法

在信號(hào)處理中，信息調(diào)制一般在信號(hào)的幅度、相位和頻率上，在這三者中，將有用信息調(diào)制在幅度上的信號(hào)抗噪聲性能一般是最差的，所以希望其能夠從相位和頻率中提取所需要的有用信息。

相位推算法[7-9]先把信號(hào)幅度轉(zhuǎn)換為信號(hào)相位，再采用相位信息來計(jì)算頻率值，如圖3所示。實(shí)踐證明，相位推算法可以得到較高的測(cè)量精度。

圖3 相位推算法原理框圖

假設(shè)被測(cè)量的信號(hào)具有如下形式：

其中，A為信號(hào)幅度因子，ω為角頻率，φ為相位，記錄m個(gè)連續(xù)的采樣點(diǎn)為：

式中，T為采樣周期，經(jīng)過一系列推算[7]，可得信號(hào)頻率為：

其中 φi為：

式中，n為所使用的相位點(diǎn)數(shù)，fs為采樣率。

用MATLAB對(duì)相位推算法進(jìn)行了仿真，當(dāng)采樣頻率fs=500 MHz、脈沖寬度 τ=2 μs、信噪比 SNR=10 dB、量化位數(shù)為 8 bit時(shí)，對(duì) 100 MHz～150 MHz的頻率范圍，每隔1 MHz進(jìn)行1次測(cè)頻，測(cè)得的頻率誤差如圖4所示。

從仿真結(jié)果可以看出，測(cè)頻誤差最大不會(huì)超過3 kHz，達(dá)到了較高的測(cè)頻精度。同時(shí)，相位推算法的測(cè)頻實(shí)時(shí)性和抗噪聲性能均較好。但缺點(diǎn)在于測(cè)頻算法較為復(fù)雜，需要的硬件資源較多。

因此，相位推算法適用于對(duì)測(cè)頻精度及實(shí)時(shí)性要求較高，且信號(hào)信噪比較高，有較多硬件資源的情況。

3 利用頻率信息的測(cè)頻算法

利用頻率信息進(jìn)行測(cè)頻，包括在時(shí)域上和頻域上進(jìn)行測(cè)頻兩類算法。在時(shí)域上對(duì)頻率進(jìn)行推算的典型算法為頻率推算法，而在頻域上對(duì)頻率進(jìn)行推算的典型算法為傅里葉變換法。其中，對(duì)傅里葉變換法進(jìn)行的研究較多，發(fā)展較快，目前有很多改進(jìn)算法，同時(shí)也帶動(dòng)了對(duì)短時(shí)傅里葉變換以及小波變換在瞬時(shí)測(cè)頻方面的研究。

3.1 頻率推算法

頻率推算法[2，8-10]又稱為曲線擬合法，是在假設(shè)信號(hào)為一個(gè)單一載頻的情況下導(dǎo)出的一種算法，其原理框圖如圖5所示。

假設(shè)被測(cè)量的信號(hào)具有如下形式：

如果采樣周期為T，則信號(hào)變成如下序列：

則可推出：

采樣率fs=1/T，則信號(hào)頻率與采樣率之間的關(guān)系：

在已知采樣率情況下，只需要3個(gè)采樣點(diǎn)就可以得出信號(hào)的頻率。但必須強(qiáng)調(diào)的是，這一算法的前提是信號(hào)必須是單一載頻的。

如果要通過式(8)求取信號(hào)頻率，必須滿足2個(gè)條件：(1)si≠0，而且可以求取反余弦函數(shù)；(2)比較容易滿足求取反余弦函數(shù)(可以利用CORDIC算法來求取)。第1個(gè)條件比較困難，在量化精度較低的情況下，較小的信號(hào)往往也會(huì)被量化為0，因此在工程上往往采用其改進(jìn)算法，即用3點(diǎn)進(jìn)行測(cè)頻變?yōu)橛枚帱c(diǎn)進(jìn)行測(cè)量[8]。

令 yi=si+1+si-1，xi=2si，K=cos(ωT)，有：

對(duì)于某一個(gè)被測(cè)頻率，K=cos(ωT)是一個(gè)常數(shù)，則(9)式實(shí)際上是一個(gè)直線方程，直線的斜率為K。采用線性擬合，求一條直線，使這些點(diǎn)到直線的距離的平方和最小，這樣就得到一個(gè)優(yōu)化的K值，再用這個(gè)值去計(jì)算信號(hào)的頻率。

本文對(duì)頻率推算法進(jìn)行了MATLAB仿真，當(dāng)采樣頻率 fs=500 MHz、脈沖寬度 τ=2 μs、信噪比 SNR=10 dB、量化位數(shù)為 8 bit時(shí)，對(duì) 100 MHz～150 MHz的頻率范圍，每隔1 MHz進(jìn)行1次測(cè)頻，測(cè)得的頻率誤差結(jié)果如圖6(a)所示； 當(dāng)待測(cè)頻率 f=200 MHz、脈沖寬度 τ=2 μs、信噪比SNR=10 dB、量化位數(shù)為 8 bit時(shí)，對(duì) 400 MHz～800 MHz的采樣頻率范圍，每隔1 MHz進(jìn)行1次測(cè)頻，測(cè)得的頻率誤差結(jié)果如圖6(b)所示。

從仿真結(jié)果可以看出，頻率推算法的測(cè)頻精度受采樣頻率的影響較大。在相同條件下，用頻率推算法進(jìn)行測(cè)頻的最大誤差不超過300 kHz，測(cè)頻精度明顯差于相位推算法，但仍具有工程應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)瞬時(shí)性較好。另外，由于頻率推算法運(yùn)算量大，所以在硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)會(huì)耗費(fèi)較多的硬件資源。

因此，頻率推算法適用于對(duì)瞬時(shí)性及測(cè)頻精度要求稍高，同時(shí)有較高的信噪比和充裕的硬件資源的場(chǎng)合。

3.2 傅里葉變換法

用傅里葉變換法來求解信號(hào)的頻率是當(dāng)前研究最多的一種算法。 傅里葉變換法[2，9，11-13]是將一段信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換，將時(shí)域信息轉(zhuǎn)化為頻域信息，在頻域上的峰值點(diǎn)即對(duì)應(yīng)該信號(hào)的頻率。其測(cè)頻精度依賴于采樣點(diǎn)數(shù)的多少。

傅里葉變換法尤其適用于信噪比較低的情況，它的測(cè)頻精度隨著信噪比的降低并沒有明顯的降低。在時(shí)域上，當(dāng)信噪比為0 dB時(shí)，傅里葉變換法的測(cè)頻基本上還是正確的。此外，傅里葉變換法還可以對(duì)復(fù)雜信號(hào)進(jìn)行頻譜分析。本文對(duì)傅里葉變換法在不同信噪比的測(cè)評(píng)效果進(jìn)行了仿真，當(dāng)采樣頻率為10 MHz、FFT點(diǎn)數(shù)為2 048點(diǎn)、量化位數(shù)為8 bit時(shí)，仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7(a)、(b)中信號(hào)都是頻率為 1 MHz和2 MHz的多載頻信號(hào)，圖7(c)、(d)分別為其所對(duì)應(yīng)的頻譜。其中，圖7(a)的信號(hào)疊加了噪聲，信噪比為 0 dB，而圖 7(b)的信號(hào)沒有疊加任何噪聲，信噪比為無窮大。從仿真結(jié)果可以看出，盡管信號(hào)疊加的噪聲較大，但是在信號(hào)頻譜上仍然可以較好地分辨出信號(hào)譜線，這說明傅里葉變換法具有很好的抗噪聲性能。同時(shí)，傅里葉變換法還具有測(cè)量多載頻信號(hào)頻率的功能，圖中可以清楚看到，1 MHz和2 MHz分別對(duì)應(yīng)譜線。正是這些優(yōu)點(diǎn)使得傅里葉變換法成為當(dāng)今數(shù)字測(cè)頻應(yīng)用最為廣泛的一種算法。

但是，傅里葉變換法也有非常明顯的缺點(diǎn)：測(cè)頻精度及瞬時(shí)性較差，其測(cè)頻精度完全是依靠采樣點(diǎn)數(shù)的多少，采樣點(diǎn)數(shù)越多精度越高。這就要求要提高信號(hào)的采樣率，而這一點(diǎn)對(duì)于高頻信號(hào)來說非常困難，所以要求通過其他的方法來獲得測(cè)頻精度的提高。

但總體上來說，傅里葉變換法比較適用于信噪比低，對(duì)瞬時(shí)性和測(cè)頻精度要求不太高，具有足夠的硬件資源的場(chǎng)合。

4 利用功率譜信息的測(cè)頻算法

譜估計(jì)法測(cè)頻是通過求解信號(hào)的功率譜來確定信號(hào)的頻率，它對(duì)多載頻信號(hào)的分辨能力較強(qiáng)，對(duì)信噪比的要求較低，主要包括經(jīng)典功率譜估計(jì)法和現(xiàn)代譜估計(jì)法。經(jīng)典功率譜估計(jì)主要包括周期圖法(又稱直接法)和BT(Blackman-Tukey)法(又稱為間接法或相關(guān)圖法)。現(xiàn)代譜估計(jì)主要包括參數(shù)模型法(包括常用AR模型、最大熵法、最小熵法和線性預(yù)測(cè)法等)、最大似然法、自適應(yīng)法、高階譜估計(jì)等。下面將主要對(duì)經(jīng)典譜估計(jì)中的周期圖法和現(xiàn)代譜估計(jì)中的最大熵法進(jìn)行分析。

4.1 周期圖法

周期圖法[2，14-17]是將平穩(wěn)隨機(jī)序列 x(n)的 N點(diǎn)觀察數(shù)據(jù)xN(n)視為能量有限的信號(hào)，直接將離散信號(hào)xN(n)進(jìn)行傅里葉變換來求取功率譜估計(jì)的。即首先由采樣序列 x(0)，x(1)，…，x(N-1)，求得：

再由下式求得功率譜：

由于快速傅里葉變換(FFT)的提出，使DFT算法的運(yùn)算量顯著降低。因此，周期圖法得到廣泛應(yīng)用。該方法的測(cè)頻范圍由采樣率決定，測(cè)頻精度和頻率分辨率由采樣率和采樣序列長(zhǎng)度決定。其頻率分辨率為：fs/(2N)，fs為采樣率，N為序列長(zhǎng)度。在有限的信號(hào)樣本長(zhǎng)度下，為提高測(cè)頻精度可使用內(nèi)插法。

周期圖法最大的優(yōu)點(diǎn)在于可以對(duì)多載頻信號(hào)進(jìn)行測(cè)頻，并且抗噪聲性能較好。對(duì)信號(hào)x(n)=sin(2πf1n)+cos(2πf2n)+w(n)進(jìn) 行 了 仿 真 ， 其 中 ，f1為 0.2 Hz，f2為0.3 Hz，w(n)為白噪聲，信噪比為 0 dB，測(cè)頻結(jié)果如圖 8所示。

從圖8中可以看出，在頻率0.2 Hz和0.3 Hz處功率譜有2個(gè)峰值，說明信號(hào)中含有0.2 Hz和0.3 Hz的周期成分。并且，采樣點(diǎn)數(shù)的增加并沒有使周期圖的方差減小，而是采樣點(diǎn)數(shù)越多，周期圖上的隨機(jī)起伏反而越密集和劇烈。用有限長(zhǎng)樣本序列的FFT來表示隨機(jī)序列的功率譜是一種近似算法，必然存在著誤差。為了減小誤差，使功率譜估計(jì)更加平滑，可以采用分段求平均的方法，即 Welch法[18]和 Bartlett法[19]，當(dāng)前對(duì) Welch法的研究更為廣泛。參考文獻(xiàn)[17]采用Welch算法對(duì)在4種窗函數(shù)情況下進(jìn)行仿真，結(jié)合得到的結(jié)果，給出了選取合適的窗函數(shù)應(yīng)注意的一般原則。

從以上分析可以看出，周期圖法適用于需要測(cè)量多載頻信號(hào)頻率、且信噪比較低、對(duì)測(cè)頻精度和測(cè)頻實(shí)時(shí)性要求不高的情況。

4.2 最大熵法

由于周期圖法功率譜估計(jì)需要對(duì)信號(hào)序列“截?cái)唷边M(jìn)行處理，所以必然存在誤差。 最大熵功率譜估計(jì)[2，14-16，19-20]的目的是最大限度地保留截?cái)嗪髞G失的其他信號(hào)的信息，使估計(jì)譜的熵最大。

如果數(shù)據(jù)為 x(0)，x(1)，…，x(N-1)，其算法步驟為：

(1)計(jì)算預(yù)測(cè)誤差功率的初始值P0和前、后向預(yù)測(cè)誤差的初始值f0(n)。

并令 m=1。

(2)求反射系數(shù)。

式中，*表示取共軛。

(3)計(jì)算前向預(yù)測(cè)濾波器系數(shù)。

(4)計(jì)算預(yù)測(cè)誤差功率。

(5)計(jì)算濾波器輸出

(6)令 m←m+1，并重復(fù)步驟(2)～步驟(5)，直到預(yù)測(cè)誤差功率Pm不再明顯變小。

最大熵法最大的優(yōu)點(diǎn)在于可以較清晰地分辨相隔較近的兩個(gè)信號(hào)，而這一點(diǎn)正是周期圖法欠缺的，并且測(cè)頻精度較好。對(duì)信號(hào) x(n)=sin(2πf1t)+sin(2πf2t)+sin(2πf3t)+w(n)進(jìn)行了最大熵法測(cè)頻仿真，其中，f1為50 Hz、f2為 60 Hz、f3為 70 Hz、w(n)為白噪聲、信噪比為 10 dB，仿真結(jié)果如圖9所示。

在圖9中，可以非常清楚地分辨出3個(gè)頻率，這是最大熵法相較于周期圖法的優(yōu)勢(shì)所在，但是最大熵法仍然存在分辨率較低、頻偏等問題。參考文獻(xiàn)[20]提出了一種改進(jìn)算法，使得其分辨率和運(yùn)算速度有了一定的提高。參考文獻(xiàn)[21]提出了一種修正算法，該方法在階數(shù)估計(jì)時(shí)引入收斂因子，從而更為有效地估計(jì)了階數(shù)，這種算法減小了頻偏、提高了分辨率。

所以，最大熵法適用于需要測(cè)量頻率相隔較近的多載頻信號(hào)頻率，且信噪比較低、對(duì)測(cè)頻精度和測(cè)頻實(shí)時(shí)性要求不高的情況。

通過以上的分析研究，對(duì)各種算法性能的比較如表1所示。

表1 各種算法性能比較

由表1可以得出：在信噪比非常差的情況下，可以優(yōu)先考慮采用傅里葉變換法；在多載頻信號(hào)測(cè)頻時(shí)，可以考慮譜估計(jì)法；在對(duì)測(cè)頻精度要求較高的場(chǎng)合可以優(yōu)先考慮相位推算法；在對(duì)實(shí)時(shí)性要求較高，同時(shí)信號(hào)具有很高信噪比的情況下，可以采用直接計(jì)數(shù)法；在對(duì)實(shí)時(shí)性要求高，但信號(hào)的信噪比不太高時(shí)，可以采用相位推算法。

各種數(shù)字測(cè)頻算法都有其不同的優(yōu)缺點(diǎn)，需要在實(shí)際應(yīng)用時(shí)根據(jù)不同情況加以選擇使用。本文對(duì)這些算法加以總結(jié)，給出了各自的特點(diǎn)，其目的是為設(shè)計(jì)者在今后的實(shí)際工程應(yīng)用中選擇合適的算法提供參考。

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