崔志偉 韓一平 李明磊

(西安電子科技大學(xué)理學(xué)院,陜西 西安710071)

1.引 言

近年來,由于等離子體隱身技術(shù)在軍事領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用,而使其成為國內(nèi)外廣泛關(guān)注的一個(gè)研究課題。等離子體既有損耗,又有色散,在有外加磁場(chǎng)作用時(shí)還表現(xiàn)出各向異性特性。當(dāng)電磁波在磁化等離子體中傳播時(shí),等離子體不僅能夠衰減入射波的能量,而且還能改變它的傳播方向和極化方向,因此,在突防飛行器表面覆蓋磁化等離子體可以吸收雷達(dá)波和形成波形畸變,從而減小雷達(dá)散射截面,使飛行器具有雷達(dá)隱身性能。要實(shí)現(xiàn)這種隱身方法,就需要定量分析磁化等離子體覆蓋目標(biāo)的電磁散射特性。磁化等離子體是一種特殊的各向異性介質(zhì),目前只有一些典型的磁化等離子體覆蓋目標(biāo)才可以得到嚴(yán)格的解析解,如球體目標(biāo)[1]。但對(duì)于任意形狀的三維復(fù)雜目標(biāo),解析方法往往無能為力,能夠廣泛發(fā)揮作用的唯有能夠分析含有各向異性介質(zhì)散射問題的各種數(shù)值方法,如積分方程法[2]、時(shí)域有限差分(FDTD)[3]方法和混合矢量有限元/邊界積分(FE/BI)[4-5]方法等。FDTD方法是分析各向異性磁化等離子體覆蓋導(dǎo)體目標(biāo)與電磁波的相互作用的主要數(shù)值方法[6],但是采用FDTD方法需要將無限求解域截?cái)?截?cái)噙吔缫３峙c等離子覆蓋層相當(dāng)距離,以保證吸收邊界的精度,這就擴(kuò)大了求解域,更為不利的是吸收邊界是近似的,其近似程度隨散射體形狀而變化。如果采用FE/BI方法分析這類問題,等離子體外邊界就可以作為截?cái)噙吔?等離子體內(nèi)的場(chǎng)由矢量有限元給出,邊界上的場(chǎng)由積分方程給出,兩者通過連續(xù)性邊界條件進(jìn)行耦合,這樣既利用了有限元法在處理復(fù)雜結(jié)構(gòu)方面的通用性和靈活性,又利用了邊界積分方程能夠自動(dòng)滿足輻射邊界條件,可以縮小求解域。雖然邊界積分方程離散的稠密矩陣破壞了有限元離散矩陣的稀疏性,但可以用快速多極子技術(shù)加速矩陣與矢量的相乘來彌補(bǔ)這一不足。

本文給出了各向異性磁化等離子體相對(duì)介電張量與入射波頻率、等離子體碰撞頻率、等離子體角頻率和電子回旋頻率的具體關(guān)系,利用不同坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣,推導(dǎo)了任意外磁場(chǎng)方向情況下磁化等離子體的相對(duì)介電常數(shù)張量。詳細(xì)推導(dǎo)了適用于分析各向異性磁化等離子體覆蓋導(dǎo)體目標(biāo)散射問題FE/BI公式。應(yīng)用該方法計(jì)算了各向異性等離子體覆蓋導(dǎo)體球的RCS,將計(jì)算結(jié)果與基于球矢量波函數(shù)得到的解析解進(jìn)行了對(duì)比。最后以磁化等離子體覆蓋導(dǎo)體圓柱目標(biāo)為例分析了等離子體厚度、密度、碰撞頻率和外磁場(chǎng)方向?qū)走_(dá)散射截面的影響。

2.理論分析

2.1 磁化等離子體的相對(duì)介電張量

磁化等離子體既有損耗,又有色散,同時(shí)也是各向異性的,其相對(duì)磁導(dǎo)率為一實(shí)數(shù),而相對(duì)介電常數(shù)為一張量,其表達(dá)形式與所選取的坐標(biāo)系有關(guān)。若以外加磁場(chǎng)B0的方向?yàn)閦′軸,建立局部坐標(biāo)系x′y′z′。在x′y′z′系中 ,磁化等離子體的相對(duì)介電張量(ω)為[7]

式中：

在外磁場(chǎng)局部坐標(biāo)系中磁化等離子體的相對(duì)介電張量有簡單的表達(dá)形式,而電磁測(cè)量往往是在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系下建立的。實(shí)驗(yàn)室全局坐標(biāo)系xyz中的相對(duì)介電張量(ω)可由外磁場(chǎng)局部坐標(biāo)系x′y′z′中的相對(duì)介電張量(ω)轉(zhuǎn)換而來[8],即

式中：U為xyz坐標(biāo)系和x′y′z′坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣;UT為U的轉(zhuǎn)置矩陣。

式中,θt,φt為外磁場(chǎng)局部坐標(biāo)系在實(shí)驗(yàn)室全局坐標(biāo)系中的方向角,如圖1所示。

圖1 外磁場(chǎng)在全局坐標(biāo)系中的方位角

2.2 磁化等離子體覆蓋導(dǎo)體目標(biāo)散射問題的FE/BI公式

采用矢量有限元/邊界積分(FE/BI)方法分析磁化等離子體覆蓋導(dǎo)體目標(biāo)散射問題的原理是將等離子體外邊界Se(如圖2所示)作為截?cái)噙吔?等離子覆蓋區(qū)域V內(nèi)的場(chǎng)用矢量有限元給出,外部區(qū)域的場(chǎng)用邊界積分方程給出,這兩個(gè)區(qū)域的場(chǎng)在邊界Se上通過連續(xù)性邊界條件耦合起來,從而得到一個(gè)內(nèi)部場(chǎng)和邊界場(chǎng)解的完備方程組。

圖2 磁化等離子體覆蓋導(dǎo)體目標(biāo)示意圖

等離子體區(qū)域V內(nèi)的電場(chǎng)滿足下面泛函的變分[9]

式中：μr和εr分別為磁化等離子體的相對(duì)磁導(dǎo)率和相對(duì)介電張量,μr=1,εr的具體表達(dá)式由式(1)給出;V表示Si和Se所包圍的區(qū)域;n表示Se邊界的外法向單位矢量;k0是自由空間的波數(shù)=Z0H,其中Z0是自由空間的波阻抗。

在邊界面Se上引入等效電流和等效磁流M,可建立如下的電磁場(chǎng)積分方程[9]

等效電流J和等效磁流M與邊界上的電磁場(chǎng)有下面簡單關(guān)系

方程中的兩個(gè)算子定義為

式中G0(r,r′)為自由空間中標(biāo)量格林函數(shù)。

為了離散泛函F和邊界積分方程,將等離子體區(qū)域V離散為許多小四面體單元,對(duì)應(yīng)的邊界面被離散為許多小的三角面元。通過使用Whitley矢量基函數(shù),每個(gè)體單元內(nèi)的場(chǎng)可展開為[10]

式中,Ni是Whitley矢量基函數(shù),而n×數(shù)恰好就是RWG基函數(shù),Ei,Hi表示基函數(shù)的展開系數(shù)。

將式(14)和(15)帶入式(7),對(duì)未知量采用全局編碼,并通過求和運(yùn)算,得到

按照里茲方法,取F對(duì)每個(gè)棱邊場(chǎng)Ei的偏導(dǎo)數(shù),并令其為零得到

式中：i=1,2,3,…,N,k=1,2,3…,Ns,N是所有未知量總數(shù),Ns是邊界面上未知量總數(shù)。式(19)可以寫為矩陣形式

式中：B是Ns×Ns方陣,具體表達(dá)式參考文獻(xiàn)[9];K是N×N方陣,由單元矩陣Ke=Ae-De組合而成,Ae和De的表達(dá)形式為

式中：Ae是6×6的對(duì)稱矩陣的具體表達(dá)形式可以參考文獻(xiàn)[10];De是6×6的非對(duì)稱矩陣,的具體表達(dá)形式可以參考文獻(xiàn)[4]。方陣K可以寫為

將式(16)和(17)代入式(8)和(9),并選取合適的測(cè)試函數(shù)對(duì)積分方程進(jìn)行離散可以得到聯(lián)立方程(20)和(24)可以得到一個(gè)完備方程組

式中：EⅠ是區(qū)域V內(nèi)的未知離散電場(chǎng)參量;Es和分別是區(qū)域邊界Se上的未知電場(chǎng)和磁場(chǎng)參量;P和Q為邊界積分方程阻抗矩陣;b為激勵(lì)源向量,具體表達(dá)形式可參考文獻(xiàn)[10]。

3.實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為了驗(yàn)證程序的正確性,首先計(jì)算了一個(gè)導(dǎo)體球表面覆蓋各向異性等離子體時(shí)的雷達(dá)散射截面。為了便于與已有的文獻(xiàn)比較,取導(dǎo)體球的尺寸以及等離子體的電參數(shù)與文獻(xiàn)[1]一致(見參考文獻(xiàn)[1]、圖4)。設(shè)導(dǎo)體球的半徑為a,等離子體覆蓋的厚度為d,兩者分別滿足關(guān)系k0a=π,k0d=0.15π。等離子體的電參數(shù)是 ε1=3.0,ε2=-1.0,ε2=5.0,這里假定外磁場(chǎng)局部坐標(biāo)系和實(shí)驗(yàn)室全局坐標(biāo)系一致,即外磁場(chǎng)沿+z軸方向。圖3給出了該各向異性等離子體覆蓋導(dǎo)體球的雙站雷達(dá)散射截面,從圖中可以看出FE/BI方法的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[1]中基于球矢量波函數(shù)得到的解析解吻合得非常好,說明本文方法及程序是正確的。

圖3 各向異性等離子體覆蓋導(dǎo)體球的雙站RCS

圖4給出的是外磁場(chǎng)沿不同方向時(shí)磁化等離子體覆蓋導(dǎo)體圓柱目標(biāo)的RCS。圓柱的底面直徑d=1.0λ0,高h(yuǎn)=1.0λ0,入射平面波從圓柱側(cè)面沿 +y方向入射,其電場(chǎng)沿+z方向極化。入射電磁波的頻率取3.0 GHz,對(duì)應(yīng)的角頻率 ω=3.0×2π×109rad/s。等離子體覆蓋厚度d=0.5λ0,等離子體參數(shù)分別取 ωp=2.0×2π×109rad/s,vc=5.0 GHz,ωc=2.0×2π×109rad/s。從圖4中可以看出,在導(dǎo)體圓柱表面覆蓋一定厚度磁化等離子體能夠有效地減小導(dǎo)體圓柱目標(biāo)的RCS,且外磁場(chǎng)沿不同方向時(shí)RCS會(huì)有所變化,雖然變化不是很大,但是可以看出：當(dāng)外加磁場(chǎng)方向與入射電磁波方向一致時(shí)(θt=90°,φt=90°),該目標(biāo)的 RCS 相對(duì)要小些。

圖4 外磁場(chǎng)沿不同方向時(shí)等離子體覆蓋導(dǎo)體圓柱的雙站RCS

下面以磁化等離子體覆蓋導(dǎo)體圓柱為例,分析等離子體密度、覆蓋厚度以及電子碰撞頻率對(duì)雷達(dá)散射截面的影響。圓柱的尺寸以及電磁波入射方向和上例相同。圖5給出了覆蓋厚度為0.3λ0,0.4λ0,0.5λ0三種情況下磁化等離子體覆蓋導(dǎo)體圓柱的RCS。等離子體參數(shù)取 ωp=2.8×2π×109rad/s,vc=5.0 GHz,ωc=2.0 ×2π×109rad/s,θt=90°,φt=90°。從圖5中可以看出磁化等離子體覆蓋厚度對(duì)導(dǎo)體圓柱的RCS影響很大。

圖6給出的是(等離子體密度與等離子體頻率的關(guān)系為 ωp≈56.4)磁化等離子體覆蓋導(dǎo)體圓柱在不同等離子體密度情況下的 RCS仿真結(jié)果。取等離子體覆蓋厚度d=0.3λ0,等離子體參數(shù)取ωc=2.0×2π×109rad/s,vc=5.0 GHz,θt=90°,φt=90°。從圖6中可以看出RCS隨著等離子體密度的增大而減小,這與已有的結(jié)論是吻合的。

圖7給出了等離子體碰撞頻率對(duì)RCS影響的仿真結(jié)果。等離子體參數(shù)取 ωp=2.8×2π×109rad/s,θt=90°,φt=90°,ωc=2.0 ×2π×109rad/s,覆蓋厚度取d=0.5λ0.從圖7中可以看出電子碰撞頻率對(duì)RCS有一定的影響,這一點(diǎn)很容易從等離子體碰撞機(jī)理得到解釋。

4.結(jié) 論

本文從有限元泛函出發(fā),根據(jù)里茲方法推導(dǎo)出了能夠計(jì)算各向異性磁化等離子體電磁散射問題的FE/BI公式,利用不同坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣,將該方法推廣到能夠分析外磁場(chǎng)沿任意方向情況下磁化等離子體覆蓋導(dǎo)體目標(biāo)的散射問題。該方法公式推導(dǎo)簡單、對(duì)外磁場(chǎng)沒有限制、還可以結(jié)合快速多極子技術(shù)求解電大尺寸磁化等離子體覆蓋導(dǎo)體目標(biāo)散射問題。應(yīng)用該方法計(jì)算了導(dǎo)體球表面覆蓋各向異性等離子體的RCS,計(jì)算結(jié)果與基于球矢量波函數(shù)得到的解析解吻合很好。以磁化等離子體覆蓋導(dǎo)體圓柱目標(biāo)為例分析了等離子體厚度、密度、碰撞頻率和外磁場(chǎng)方向?qū)CS的影響。數(shù)值結(jié)果表明：適當(dāng)選取等離子體參數(shù),可以使等離子體包層有效地減小目標(biāo)的雷達(dá)回波。

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