●凌云志 (黃山區(qū)教育局教研室 安徽黃山 245700)

我們知道“經(jīng)過(guò)平面上2個(gè)點(diǎn)的圓有無(wú)數(shù)個(gè)且圓心都集中在這2個(gè)點(diǎn)的中垂線上”，這也啟發(fā)我們?nèi)ヌ骄浚航?jīng)過(guò)平面上任意2個(gè)點(diǎn)的拋物線是否也有無(wú)數(shù)個(gè)?即便能夠明確經(jīng)過(guò)2個(gè)點(diǎn)的拋物線有無(wú)數(shù)個(gè)，那能否按照某種需求來(lái)選擇或明確經(jīng)過(guò)已知2個(gè)點(diǎn)的拋物線呢?順延這條思路，深挖下去，會(huì)顯出豐實(shí)的寶藏.

探究1 經(jīng)過(guò)平面上任意2個(gè)點(diǎn)的拋物線是否有無(wú)數(shù)條?

在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，若有一條曲線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)任意給定的2個(gè)點(diǎn) A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由c為參量，得c可以取到無(wú)數(shù)個(gè)不同的值使得a≠0，可知過(guò)點(diǎn)A，B的拋物線有無(wú)數(shù)條;

(2)當(dāng)x1x2(x1-x2)=0時(shí)，不能由方程(1)來(lái)明確a的解，這時(shí)雖然找到與y軸平行的對(duì)稱軸且過(guò)點(diǎn)A，B的拋物線很難，但可以適當(dāng)?shù)刂匦逻x擇坐標(biāo)系O'x'y'(將原坐標(biāo)系平移后再旋轉(zhuǎn))，使得點(diǎn)A，B 在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為 A(x1'，y1')，B(x2'，y2')，并滿足 x1'x2'(x1'-x2')≠0.仿照(1)的推導(dǎo)，如圖1所示，過(guò)點(diǎn)A，B的拋物線也有無(wú)數(shù)條.因?yàn)槭?2)可以看做a是c的一次函數(shù)，a與c是互定關(guān)系，所以取定a后，b，c也就隨之確定，于是得結(jié)論1.

結(jié)論1 經(jīng)過(guò)平面上任意2個(gè)點(diǎn) A(x1，y1)，B(x2，y2)的拋物線總有無(wú)數(shù)條.只要滿足條件：x1x2(x1-x2)≠0，則可以選擇任意開(kāi)口大小和開(kāi)口方向不同的拋物線經(jīng)過(guò)這2個(gè)點(diǎn)，但對(duì)明確了的開(kāi)口大小和開(kāi)口方向的拋物線有且只有1條.

探究2 對(duì)于滿足條件：x1x2(x1-x2)≠0的點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何選擇適度的開(kāi)口大小的拋物線，使得拋物線經(jīng)過(guò)這2個(gè)點(diǎn)時(shí)，不被其對(duì)稱軸分開(kāi).

圖1

圖2

圖3

若約定：點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊(x1＜x2)，則點(diǎn)A與點(diǎn)B的相對(duì)位置有3種情況：(1)如圖2，點(diǎn)A在點(diǎn)B的下方(y1＜y2);(2)如圖3，點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方(y1＞y2);(3)點(diǎn)A與點(diǎn)B一樣“齊”(y1=y2).

先就圖2所示的第1種情況展開(kāi)討論：為使過(guò)點(diǎn)A，B的拋物線的對(duì)稱軸不將2個(gè)點(diǎn)分開(kāi)，因拋物線開(kāi)口向上，點(diǎn)A，B只能位于對(duì)稱軸的右側(cè)(允許點(diǎn)A可以在對(duì)稱軸上)，這時(shí)

若選擇的拋物線開(kāi)口向下(圖3所示的第2種情況)，點(diǎn)A，B只能位居對(duì)稱軸的左側(cè)(允許點(diǎn)B在對(duì)稱軸上)，因?qū)ΨQ軸方程為

綜合式(3)和式(4)，不論拋物線開(kāi)口向上還是向下，對(duì)圖2中的情形，為使過(guò)點(diǎn)A，B的拋物線的對(duì)稱軸不將兩點(diǎn)分開(kāi)，拋物線開(kāi)口大小必須滿足：

最后，當(dāng)y1=y2時(shí)，顯然任何經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)的拋物線，點(diǎn) A，B 一定是拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，不可能找到滿足條件的拋物線.反映在式(5)上的要求：|a|≤0，解得a=0(拋物線不存在)，同樣得到說(shuō)明.

探究3 反過(guò)來(lái)，是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)的拋物線y=ax2+bx+c，滿足條件(5)就一定不被拋物線的對(duì)稱軸分開(kāi)呢?

就圖4所示的情況進(jìn)行分析：假定在開(kāi)口向上的拋物線的對(duì)稱軸的2邊任意取點(diǎn)A(x1，y1)，B因此可以將條件統(tǒng)一為(x2，y2)，設(shè)頂點(diǎn) M(m，l)，于是

由 y2=a(x2-m)2+l，得

圖4

圖5

說(shuō)明 落在拋物線上的對(duì)稱軸的2邊任意2個(gè)點(diǎn)是不會(huì)滿足條件(5)的.有興趣的讀者可以去研究圖5所示的情況，結(jié)果一樣.