●竺孟輝 (實(shí)驗(yàn)中學(xué) 浙江奉化 315500) ●應(yīng)立君 (實(shí)驗(yàn)學(xué)校 浙江余姚 315400)

好的試題猶如一篇經(jīng)典作品，時(shí)嘗時(shí)新.不久前，在準(zhǔn)備數(shù)學(xué)競賽的練習(xí)題時(shí)，有一道幾何證明題引起了師生的共同興趣.

題目如圖1，分別以銳角△ABC的3條邊AB，BC，CA為斜邊向外作3個(gè)等腰直角三角形△DAB，△EBC，△FAC.求證：

(2005年全國初中數(shù)學(xué)競賽B卷試題)

圖1

圖2

方法1 向外補(bǔ)作一個(gè)等腰直角三角形，從中尋覓出幾對(duì)相似三角形，推證出結(jié)論.

方法2 向內(nèi)補(bǔ)作一個(gè)等腰直角三角形，得一正方形(思路來源于拿破侖三角形的證明).在此構(gòu)圖中尋覓相似形，推得結(jié)論.

證明(1)如圖3，過點(diǎn)A，B分別作AG∥DB，BG∥AD，AG，BG 交于點(diǎn) G，連結(jié) GE，GF，易證四邊形ADBG是正方形.由

圖3

圖4

方法3 取AC的中點(diǎn)G，延長AD至點(diǎn)M，使得DM=AD，延長 CE至點(diǎn) N，使得 EN=CE，連結(jié)DG，EG，F(xiàn)G，MC，AN.通過證明△DFG≌△EAG，導(dǎo)出結(jié)論.

證明(1)如圖4，取AC的中點(diǎn)G，延長AD至點(diǎn)M，使DM=AD，延長CE 至點(diǎn)N，使 EN=CE，連結(jié) DG，EG，F(xiàn)G.MB，MC，NB，NA.易得△ABM，△CBN均為等腰直角三角形，則

根據(jù)三角形中位線定理可得

于是 DG=GE 且∠DGE=90°，從而△DFG≌△EAG，所以 DF=AE.

方法4 把△ADF繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到△BDG，可證明四邊形ADGE是平行四邊形.

證明如圖5，過點(diǎn)D作DG⊥DF，截取DG=DF，連結(jié) GB，GE.易證△ADF≌△BDG，得

得AD∥GE，因此四邊形ADGE是平行四邊形，從而AE∥DG，且 AE=DG，于是

圖5

圖6

方法5 建立平面直角坐標(biāo)系，運(yùn)用解析法，通過計(jì)算證明結(jié)論.

證明(1)如圖6，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)A(a，b)，C(c，0)，延長 AD 至點(diǎn) M 使得 DM=AD，連結(jié)BM.作AH⊥x軸交x軸于點(diǎn)H，MK⊥x軸交x軸于點(diǎn) K.易證△MKB≌△BHA，得

(2)設(shè)直線DF的斜率為k1，直線AE的斜率為 k2，則

本例的解法既匯集了證明線段相等的多種基本方法，更是全等三角形、相似三角形、特殊四邊形、三角形中位線、平行、垂直等知識(shí)與相關(guān)方法的一次綜合運(yùn)用.運(yùn)用解析法(方法5)求證線段相等與垂直，對(duì)初中生來說，更是一次全新的嘗試.