何 美，劉小川

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,山西大同 037009）

23階及32階群的結(jié)構(gòu)

何 美，劉小川

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,山西大同 037009）

通過(guò)有限群中元素的階與群的階的關(guān)系，利用有限群的定義討論了23階及32階群的結(jié)構(gòu)，在同構(gòu)的意義下給出所有的23、32階群.

有限群定義 置換群 循環(huán)群

1 符號(hào)意義

＜a＞表示由a生成的循環(huán)群.Sn表示n元置換群，其中元素用（i1,i2,…,ik）表示，其中i1，i2，…，ik是1到n的自然數(shù).元素a的階用o(a)表示，群G的階用｜G｜表示.

2 理論基礎(chǔ)

定義1如果一個(gè)帶有一種二元運(yùn)算·的有限集合G滿(mǎn)足以下條件：

1）二元運(yùn)算·(也叫乘法)滿(mǎn)足結(jié)合律；2）二元運(yùn)算·滿(mǎn)足消去律.

則稱(chēng)集合G對(duì)于這個(gè)二元運(yùn)算是一個(gè)有限群.

定義2如果一個(gè)帶有一種二元運(yùn)算·的有限集合G滿(mǎn)足以下條件：

3）二元運(yùn)算·（也叫乘法）滿(mǎn)足結(jié)合律；

4）在代數(shù)運(yùn)算表中，同一行、同一列中沒(méi)有相同元素.則稱(chēng)集合G對(duì)于這個(gè)二元運(yùn)算是一個(gè)有限群.定理1在有限群中，元素的階是所在群的階的因子.

定理2任意一個(gè)有限群都與一個(gè)置換群同構(gòu).

3 階為23的群

｜G｜＝8

3.1 循環(huán)群

如果G中存在一個(gè)8階元素，則G與G0＝＜（1，2，3，4，5，6，7，8）＞同構(gòu).

3.2 非循環(huán)群

如果G中不存在8階元素，則G中任意非單位元的元一定是2階或4階的.

如果存在a∈G，且o（a）＝4，則H＝｛1，a，a2，a3｝是G的子群.?b∈G，b∈H，有Hb＝｛b，ab，a2b，a3b｝是G的子集，且H∩Hb＝Φ，H∪Hb＝G.

1)如果o（b）＝2，b2＝1，ba＝ab，則由如下運(yùn)算表1:

表1 有2、4階元素可換8階群的運(yùn)算表

于是得G與置換群G1＝｛（1），（1，2，3，4），（1，3）（2，4），（1，4，3，2），（1，3）（2，4）（5，6），（1，4，3，2）（5，6），（5，6），（1，2，3，4）（5，6）｝同構(gòu).

2)如果o（b）＝2，b2＝1，ba＝a3b，則由群的定義有以下運(yùn)算,見(jiàn)表2：

表2 有2、4階元素不可換8階群的運(yùn)算表

于是得G與置換群G2＝｛（1），（1，2，3，4），（1，3）（2，4），（1，4，3，2），（1，2）（3，4），（2，4），（1，4）（2，3），（1，3）｝同構(gòu).

3)如果o（b）＝2，b2＝1，ba＝a2b，則由群的定義的封閉性有以下運(yùn)算：

ba2b＝（ba）（ab）＝a2bab＝a2（ba）b＝a2a2bb＝1，得 a2b＝b，這是不可能的，所以不存在這樣的8階群.

4)如果G中存在兩個(gè)4階元a，b，且a4＝1，b2＝a2，ba＝a3b，由群的定義有以下運(yùn)算表3：

表3 有兩個(gè)4階元素的8階群的運(yùn)算表

于是，G與四元數(shù)群 G3＝｛（1），（1，2，3，4）（5，8，7，6），（1，3）（2，4）（5，7）（6，8），（1，4，3，2）（5，6，7，8），（1，5，3，7）（2，6，4，8），（1，6，3，8）（2，7，4，5），（1，7，3，5）（2，8，4，6），（1，8，3，6）（2，5，4，7）｝同構(gòu).

5)如果G中存在兩個(gè)4階元a，b，且a4＝1，b2＝a2，ba＝a2b，由群的定義的封閉性有以下運(yùn)算：（ba）2＝（ba）（ba）＝a2bba＝a2b2a＝a≠1，（ba）4＝（ba）2（ba）2＝a2≠1，這是不可能的，所以不存在這樣的8階群.

6)如果G中存在兩個(gè)4階元a，b，且a4＝1，b2＝a2，ba＝ab，則（ab）2＝1，即ab是2階元素，且是可交換的，于是的G與G1同構(gòu).

3.3 無(wú)4階元素群

如果G中不存在8、4階元素，則G中任意非單位元的元一定是2階的，從而得到群G一定是交換群.

設(shè)有三個(gè)不等的二階元素a，b，c，則a2＝1，b2＝1，c2＝1，ba＝ab，ca＝ac，cb＝bc，由群的定義有以下運(yùn)算表4：

從而得G與置換群G4＝｛（1），（1，2），（3，4），（5，6），（1，2）（3，4），（1，2）（5，6），（3，4）（5，6），（1，2）（3，4）（5，6）｝同構(gòu).

于是得到，8階群共有5個(gè)，即為G0，G1，G2，G3，G4.

表4 無(wú)8、4階元素的8階群的運(yùn)算表

4 階數(shù)為32的群

｜G｜＝9

4.1 9 階循環(huán)群

如果 G中存在一個(gè) 9階元素，則 G＝＜（1，2，3，4，5，6，7，8，9）＞.

4.2 9 階非循環(huán)群

如果G中不存在9階元素，則G中任意非單位元的元一定是3階的.

設(shè)a，b是兩個(gè)不同的3階元，則a3＝1，b3＝1，H1＝｛1，a，a2｝、H2＝｛1，b，b2｝是G的子群，且H1∩H2＝｛1｝，于是，G＝｛1，a，a2，b，b2，ab，a2b，ab2，a2b2｝，而且ba＝ab，否則，若ba＝a2b，則（ba）3＝（ba）（ba）（ba）＝（ba）（ba）（a2b）＝bab2＝a2bb2＝a2≠1；

若ba＝ab2，則（ba）3＝（ba）（ba）（ba）＝（ab2）（ba）（ba）＝a2ba＝a2ab2＝b2≠1；

若ba＝a2b2，則（ba）3＝（ba）（ba）（ba）＝（ba）（ba）（a2b2）＝baba3b2＝ba≠1；

所以ab＝ba.于是有如下運(yùn)算表5：

所以，G與置換群G＝｛（1），（1，2，3），（1，3，2），（4，5，6），（4，6，5），（1，2，3）（4，5，6），（1，3，2）（4，5，6），（1，2，3）（4，6，5），（1，3，2）（4，6，5）｝同構(gòu).

于是得到，9階群都是Abel群，共有兩個(gè).

表5 非循環(huán)9階群的運(yùn)算表

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The Structure of the Groups in Order 23and 32

HEMei,LIU X iao－chuan
（School ofMathematic and Computer Science，ShanxiDatong University，Datong Shanxi，037009）

Based on the relationship of the order of group and element in finite group，using the definition of finite group，this paper discusse all the structure of the groups in order 32and 23in isomorphism.

O152

A

〔編輯 高海〕

1674-0874(2010)04-0012-03

2010-01-25

何美（1966-），女，山西大同人，副教授，研究方向：有限群.

W ords：the definition of finite group；permutation groups；cycle group