馮井艷，張志強(qiáng)，李華鵬

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

變系數(shù)模型誤差方差的估計(jì)

馮井艷，張志強(qiáng)，李華鵬

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

變系數(shù)模型是由古典的線性模型發(fā)展而來(lái)，它們可以很好地檢驗(yàn)函數(shù)系數(shù)隨著協(xié)變量的變化程度.本文用PLR提出了變系數(shù)模型的誤差方差的估計(jì)，并研究了它的漸近正態(tài)性，進(jìn)一步用一個(gè)模擬例子來(lái)說(shuō)明估計(jì)的結(jié)果是有效的.

變系數(shù)模型 誤差方差 Profile最小二乘估計(jì) 漸近正態(tài)性

變系數(shù)模型產(chǎn)生于實(shí)際需要，它可以很好地探索動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)特征使得模型更好地?cái)M合數(shù)據(jù)，因此廣泛應(yīng)用到各科學(xué)領(lǐng)域中，比如：經(jīng)濟(jì)學(xué)，政治學(xué)，醫(yī)藥學(xué)，生態(tài)學(xué)等.

Hastie和Tibshirani[1]提出了變系數(shù)模型，其定義如下

到目前為止，對(duì)于具有不同光滑變量的變系數(shù)模型的研究還是比較少[4]，其定義如下

其中，X＝（X1，X2，…，XP）T∈RP，Z＝（Z1，Z2，…，ZP）T∈RP為協(xié)變量，Y∈R為響應(yīng)變量，ε為隨機(jī)誤差，且ε與（X，Z）獨(dú)立，滿足E（ε）＝0，Va（rε）＝σ2.{aα(·)}pα＝1是從R到R上的未知可測(cè)函數(shù).文獻(xiàn)[4]已經(jīng)估計(jì)了函數(shù)系數(shù){aα(·)}pα＝1，類(lèi)似的討論還有文獻(xiàn)[5].但是，有時(shí)候，對(duì)誤差方差σ2＝E（ε2）的估計(jì)的研究也是很有必要的，它可以有利于置信區(qū)間的建立，模型檢驗(yàn)及選擇等.在本文中，由最小二乘法得到了誤差方差σ2的估計(jì)，并得到了它的漸近性質(zhì).

1 估計(jì)

假定{Yi，Xi，Zi，i＝1，…，n}是模型(2)的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，{aα(·)}pα＝1是Lipschitz連續(xù)的，那么a（αXα）在Xα的支撐內(nèi)的一點(diǎn)xα附近能夠用一個(gè)線性函數(shù)表示，即

關(guān)于{aα}pα＝1和{bα}pα＝1極小化，其中，Xiα，Ziα分別是X，Z的第i個(gè)觀測(cè)值的第α個(gè)分量；Kα，hα(·)=h-1αKα(·/ hα)，Kα(·)是一個(gè)有緊支撐的關(guān)于0對(duì)稱的有界非負(fù)的Lipschitz連續(xù)的概率密度函數(shù)；hα＝hnα是一個(gè)正數(shù)數(shù)列，稱作窗寬.設(shè)（αx），α＝1，…，p，是使(3)式達(dá)到極小化的前p個(gè)值.由最小二乘理論，可得

其中x＝（x1，…，xp）T，eα，2p是第α個(gè)分量為1的單位向量，U是一個(gè)n×2p矩陣，它的i行是

在(4)式的基礎(chǔ)上，使用平均方法定義函數(shù)系數(shù)aα（Xα）的平均估計(jì)為

其中，a＝（a1（X1），…，ap（Xp））T.我們可以定義誤差方差σ2的估計(jì)為

2 誤差方差的漸近性質(zhì)

假設(shè)：A1隨機(jī)變量X是有緊支撐的，它的密度函數(shù)f(·)是Lipschitz連續(xù)有界的，且大于某一正數(shù).

A3存在s，k分別有s＞2滿足E‖z‖2s＜∞，k＜2-s-1滿足n2k-1h→∞.

A4{aα(·)，α＝1，…，p}有二階導(dǎo)數(shù).

A5核函數(shù)K(·)是有緊支撐的，關(guān)于0對(duì)稱的，有界非負(fù)的Lipschitz連續(xù)的概率密度函數(shù)；窗寬h滿足nh8→0，nh2（／log n）2→0.

定理1若假設(shè) A1～A5成立，如果Eε41＜∞，E‖X1‖4＜∞，當(dāng)n→∞時(shí)，則有

定理2若假設(shè) A1～A5成立，如果Eε41＜∞，當(dāng)n→∞時(shí)，則

推論1在定理1和定理2的條件下有

3 模擬

這一節(jié)我們應(yīng)用Monte Carlo模擬方法來(lái)說(shuō)明如上提出的估計(jì)方法的有效性.假定模擬例子為：

4 證明過(guò)程

它的證明類(lèi)似于Zhou和You[6]的定理3.2的證明.則有I3＝οp(1).定理1證畢.

表1 2的均值和標(biāo)準(zhǔn)誤差

表1 2的均值和標(biāo)準(zhǔn)誤差

■ σ）σ2 0.04 0.25 0.64 0.04 0.25 0.64 Mean 0.057 0.072 0.533 0.073 0.836 0.065 SD 0.009 0.038 0.085 0.006 0.029 0.075 ε～N（0，σ2） ε～U（－ 3■ σ， 3

則，J3＝οp(1)，J4＝οp(1)，J5＝οp(1).則只需證明 J2＝οp(1)，它的證明類(lèi)似于I2＝οp(1)的證明，則定理2證畢.

[1]Hastie T，TibshiraniR.Varying-coefficientmodels[J].Royal Statistical Society，2003，55(4)：757－796.

[2]Hoover D R，Rice JA，Wu C O，et al.Nonparametric smoothing estimates of time-varying coefficientmodels with longitudinal data[J].Biometrika，1997，85：809－822.

[3]Fan J，Zhang J.Functional linearmodels for longitudinal data[J].JRoy Statist Soc B，2000，62：303－322.

[4]Zhang Riquan，Li Guoying.Efficient estimation of functional-coefficient regression models with different smoothing variables[J].Acta Mathematica Scientia，2008，28B(1)：989－997.

[5]張日權(quán)，張志強(qiáng)，馮井艷.一類(lèi)新的變系數(shù)模型的積分估計(jì)[J].山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，23(5)：1－5.

[6]Zhou X，You J.Waveletestimation in varying coefficientpartially linear regressionmodels[J].Statist probab Lett，2004，68：91－104.

Error V ariance E stimation of V arying C oefficient M odels

FENG Jing-yan，ZHANG Zhi-qiang，LIHua-peng
(School ofMathematics and Computer Science，ShanxiDatong University，Datong Shanxi，037009)

Varying coefficientmodels are a useful extension of classical linear models.These models can easily examine how regression coefficient change over different groups characterized by certain covariates.In this article，the estimator of error variance by profile least-squares procedure is proposed and its asymptotic normality is studied.Furthermore，some simulations are conducted to examine the performance of our estimating approach and the results are substantial.

varying coefficientmodels；error variance；profile least-squares estimation；asymptotic normality

O212.7

A

〔編輯 高?！?/p>

1674-0874(2010)01-0005-03

2009-11-30

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目[10871072]；山西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目[2007011014]

馮井艷(1982-)，女，山西太原人，碩士，助教，研究方向：數(shù)理統(tǒng)計(jì).