唐耀平

（湖南科技學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，湖南 永州 425100）

用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)思想指導(dǎo)經(jīng)濟(jì)類專業(yè)《線性代數(shù)》課程的教學(xué)

唐耀平

（湖南科技學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，湖南 永州 425100）

提出了應(yīng)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)思想改進(jìn)經(jīng)濟(jì)類專業(yè)線性代數(shù)教學(xué)的幾點(diǎn)建議，即應(yīng)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)思想，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容；增加數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，體現(xiàn)學(xué)習(xí)的創(chuàng)造性；利用數(shù)學(xué)軟件，提高學(xué)生計(jì)算能力.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；線性代數(shù)；MATLAB

《線性代數(shù)》是經(jīng)濟(jì)類本科專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)必修課。作為一個(gè)數(shù)學(xué)工具，線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。著名的投入產(chǎn)出模型就是以線性代數(shù)理論為基礎(chǔ)的。學(xué)好這一門課程不僅對經(jīng)濟(jì)類專業(yè)課程是必不可少的，而且對掌握現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)理論并應(yīng)用于實(shí)際也是很有必要的，尤其是在計(jì)算機(jī)日益普及和廣泛應(yīng)用的今天，該課程的地位與作用更顯重要。然而由于《線性代數(shù)》課程本身的抽象性，使得許多經(jīng)濟(jì)類本科生在學(xué)習(xí)該門課程時(shí)覺得難而不感興趣，因而學(xué)不好。“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”是近年來高等數(shù)學(xué)教學(xué)中用到的新的教學(xué)方法，隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展及各種數(shù)學(xué)軟件的涌現(xiàn)，為在線性代數(shù)課程教學(xué)中增加數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)奠定了必要的基礎(chǔ)。將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入線性代數(shù)課程的教學(xué)，不僅能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。

一、用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)思想，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容

“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”就是從問題出發(fā)，借助計(jì)算機(jī)，通過學(xué)習(xí)者親自設(shè)計(jì)與動手操作，學(xué)習(xí)、探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律或運(yùn)用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識分析和解決實(shí)際問題的過程。換言之，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就是學(xué)習(xí)者自主探索數(shù)學(xué)知識及其實(shí)際應(yīng)用的實(shí)踐過程。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的目的，就是在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)過程，從而幫助學(xué)生在自主探索和合作交流的過程中理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，并獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，有效提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力。

在常規(guī)的線性代數(shù)教學(xué)中，教師在課堂上首先提出問題，然后引入新的知識和方法，最后解決問題，整個(gè)過程學(xué)生是在被動地接受知識。而當(dāng)代構(gòu)建主義教學(xué)觀認(rèn)為，應(yīng)將問題提出作為教學(xué)活動的一部分。全美數(shù)學(xué)教師委員會（NCTM，1991）指出：我們的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該給學(xué)生提供這樣的機(jī)會——從給定情境中提出問題，或通過修改已知問題的條件去產(chǎn)生新的問題。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是從給定情境中提出問題的最好的方法之一。經(jīng)濟(jì)學(xué)為線性代數(shù)的教學(xué)提供了大量的情境，比如：復(fù)雜數(shù)據(jù)的處理、銀行復(fù)利的計(jì)算、狀態(tài)的轉(zhuǎn)移等等。通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以幫助學(xué)生建立抽象數(shù)學(xué)和可視化的聯(lián)系，實(shí)際上先做可視化模擬，再建立抽象理論已經(jīng)是科學(xué)研究的一種重要途徑。

例如，關(guān)于線性方程組解的情況的討論，常規(guī)教學(xué)是通過對線性方程組的系數(shù)矩陣秩的討論來確定的，這對經(jīng)濟(jì)類的本科生來說是比較抽象的。如果通過數(shù)學(xué)軟件給出線性方程組的空間圖形，學(xué)生就有了一個(gè)直觀的理解。

這三個(gè)方程的幾何意義為空間的三個(gè)平面，兩兩消去z，意味著求兩者的交線，得到的兩個(gè)二元一次方程，對應(yīng)于求得的兩根交線。最后由這兩根交線得到的交點(diǎn)，該交點(diǎn)就是方程的解（見圖 1）。當(dāng)兩個(gè)平面平行，沒有交線，或者兩根交線平行，沒有交點(diǎn)時(shí)，方程組就不相容，因而無解；同樣也可能有無窮個(gè)解。

圖1

利用數(shù)學(xué)軟件給出抽象概念的直觀理解和提高線性代數(shù)問題的數(shù)值計(jì)算應(yīng)是在經(jīng)管類專業(yè)學(xué)生線性代數(shù)教學(xué)中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)思想。

二、增加數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，體現(xiàn)學(xué)習(xí)的創(chuàng)造性

目前經(jīng)管類線性代數(shù)的教學(xué)大部分是采用先講概念、性質(zhì)，然后舉例，最后讓學(xué)生做練習(xí)，其中刻意忽略掉抽象概念的理解和定理的證明。學(xué)生在整個(gè)學(xué)的過程中是被動的接受，學(xué)的效果不好。當(dāng)代的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該以“再創(chuàng)造”的方式來進(jìn)行，讓學(xué)生根據(jù)自己的體驗(yàn)，用自己的思維方式重新創(chuàng)造有關(guān)的數(shù)學(xué)知識，而不僅僅是學(xué)會教師講授的知識。荷蘭數(shù)學(xué)教育家費(fèi)賴登塔爾早就指出，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”。

波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想》第一卷的序言中也指出：“數(shù)學(xué)被人看作是一門論證的科學(xué)，然而這僅僅是它的一個(gè)方面?！瓟?shù)學(xué)的創(chuàng)造過程是與任何其他知識的創(chuàng)造過程是一樣的，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前,你先得猜測定理的內(nèi)容，…你先得把觀察到的結(jié)果加以綜合然后加以類比。你得一次又一次的嘗試。只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程稍微能反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明過程的話，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜想、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢谩?。而?yīng)用現(xiàn)行的線性代數(shù)的教學(xué)不需要學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)、觀察和猜測，學(xué)生是通過教師的“教”而掌握線性代數(shù)這一數(shù)學(xué)工具的，他們認(rèn)為線性代數(shù)就是數(shù)學(xué)，為什么要學(xué)，怎么學(xué)，怎么用都不知道。而其實(shí)線性代數(shù)作為一個(gè)將復(fù)雜多元方程簡單化求解的數(shù)學(xué)工具，對分析多種變量相互影響而產(chǎn)生復(fù)雜經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的經(jīng)濟(jì)學(xué)的貢獻(xiàn)可謂是不言而喻的。比如欲預(yù)測10年后某地區(qū)的房屋價(jià)格，可通過搜集人均收入、土地價(jià)格、建筑原材料價(jià)格等多種變量的基期數(shù)據(jù)，用假定和計(jì)量的方法、統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識分析房屋價(jià)格與各因素的相關(guān)程度并用線性代數(shù)的數(shù)學(xué)方法解多元線性方程組，從而計(jì)算出相應(yīng)公式，再加入通貨膨脹、利息率等現(xiàn)實(shí)因素，便可大致模擬出10年后該地的房屋價(jià)格。然而這些來源和背景在教學(xué)中往往被掩蓋了。

實(shí)際上，線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容中有很多經(jīng)濟(jì)問題的數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，將這些數(shù)學(xué)模型用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法來進(jìn)行求解與驗(yàn)證，其整個(gè)過程就是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的創(chuàng)造性過程。例如經(jīng)濟(jì)學(xué)諾貝爾獎(jiǎng)金獲得者Leontiff獲獎(jiǎng)的工作——投入產(chǎn)出模型和價(jià)格均衡模型就是很好的線性代數(shù)的應(yīng)用。在教學(xué)中可給出簡單的例子，讓學(xué)生自己建立數(shù)學(xué)模型，然后利用MATLAB軟件進(jìn)行求解，通過觀察分析計(jì)算結(jié)果，上升為一般的理論并與Leontiff的模型進(jìn)行對比，其過程就充分地體現(xiàn)了學(xué)生的創(chuàng)造性。這樣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的鍛煉對學(xué)生的創(chuàng)造性的培養(yǎng)是非常有效的。

三、利用數(shù)學(xué)軟件，提高學(xué)生計(jì)算能力

在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，要求學(xué)生掌握一些基本的線性代數(shù)計(jì)算問題。例如：行列式的計(jì)算，矩陣的運(yùn)算，求極大無關(guān)組，解線性方程組，求矩陣的特征值、特征向量，把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形等等。同時(shí)還有一些高階的線性代數(shù)問題需要準(zhǔn)確地進(jìn)行大量數(shù)據(jù)的數(shù)值計(jì)算。學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí)普遍感覺很抽象、很難，與微積分相比線性代數(shù)問題的計(jì)算十分繁瑣，尤其在解決高于三階的問題時(shí)其計(jì)算量是相當(dāng)大的。隨著個(gè)人計(jì)算機(jī)的迅速普及，各種計(jì)算軟件的開發(fā)使用，使得數(shù)值計(jì)算問題的計(jì)算能力大大提高，為線性代數(shù)的教學(xué)實(shí)踐帶來了巨大的推動。

目前流行較廣的數(shù)值計(jì)算軟件是美國的 MATLAB，它是Matrix LAB（矩陣實(shí)驗(yàn)室）的縮寫，可見開發(fā)它的初衷就是為了線性代數(shù)。所以，在線性代數(shù)教學(xué)實(shí)驗(yàn)中一般采用MATLAB為實(shí)驗(yàn)平臺。學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)軟件MATLAB解線性代數(shù)中的計(jì)算問題，過于繁雜的計(jì)算用計(jì)算機(jī)計(jì)算比用筆計(jì)算快得多。例如：求一個(gè)高階矩陣的逆矩陣，用計(jì)算機(jī)計(jì)算只要輸入一句命令就解決了，而用筆計(jì)算就比較麻煩。所以利用MATLAB進(jìn)行線性代數(shù)問題的求解有三大好處：

1、提高了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，加強(qiáng)了學(xué)生利用計(jì)算機(jī)軟件解決數(shù)學(xué)問題能力的鍛煉。

2、對于低階（三階及以下）的線性代數(shù)問題，能提供圖形幫助，這對于理解線性代數(shù)的理論和概念是很有利的。

3、對于高階的線性代數(shù)問題，通過調(diào)用函數(shù)或編程，幫助學(xué)生快速而準(zhǔn)確地進(jìn)行大量數(shù)據(jù)的數(shù)值計(jì)算。

[1]向雪萍、吳筠、王玉娟，《線性代數(shù)》實(shí)驗(yàn)化教學(xué)初探[J].九江學(xué)院學(xué)報(bào),2008,(3):116-118.

[2]高淑萍,線性代數(shù)課程MATLAB實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的教學(xué)與研究[J].中國電子教育,2007,(4):59-62.

[3]陳懷琛、龔杰民，線性代數(shù)實(shí)踐及MATLAB入門[M].北京:電子工業(yè)出版社,2005,(10).

[4]G.波利亞,數(shù)學(xué)與猜想:數(shù)學(xué)中的歸納和類比（第一卷）[M].北京:科學(xué)出版社,2003,(6).

（責(zé)任編校：何俊華）

G642.423

A

1673-2219（2010）08-0001-02

2010－05－10

湖南省教育廳教改課題（湘教通[2009]321）

唐耀平（1973－），男，湖南永州人，副教授，碩士，主要從事數(shù)學(xué)模型及矩陣反問題研究。