李軍，冷小磊

固支半球殼的隨機(jī)響應(yīng)分析

李軍*，冷小磊

（南京航空航天大學(xué) 振動(dòng)工程研究所 飛行器結(jié)構(gòu)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210016）

在經(jīng)典薄殼理論的基礎(chǔ)上，采用數(shù)值計(jì)算分析了周邊固支半球殼的固有模態(tài)。算出了軸對(duì)稱自由振動(dòng)固有頻率和用勒讓德函數(shù)表示的固有振型。在模態(tài)疊加法基礎(chǔ)上，給出了橫向激勵(lì)下系統(tǒng)的響應(yīng)特性。最后結(jié)合隨機(jī)分析理論算出了殼體在橫向白噪聲激勵(lì)下的均方響應(yīng)，并給出了殼體各點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)均方響應(yīng)曲線和時(shí)變均方響應(yīng)曲線。

球殼；隨機(jī)振動(dòng)；均方響應(yīng)

1 引言

殼體結(jié)構(gòu)具有很好的空間傳力性能，廣泛應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)中。殼體結(jié)構(gòu)在實(shí)際使用中，經(jīng)常受到各種載荷的激勵(lì)，而這些激勵(lì)多是隨機(jī)的。因此，有必要研究殼體結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵(lì)下的隨機(jī)響應(yīng)。而近一個(gè)世紀(jì)來，球殼振動(dòng)問題，除了固有模態(tài)求解[1,2,7,13]，對(duì)于強(qiáng)迫振動(dòng)，大多數(shù)限于研究確定性振動(dòng)響應(yīng)問題[3,5,6]。由于20世紀(jì)50年代人們才開始隨機(jī)振動(dòng)的探討，因此有關(guān)隨機(jī)激勵(lì)下的半球殼的響應(yīng)，目前可見的文獻(xiàn)中，還難以看到相關(guān)的研究成果。

對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)問題，通常的做法是先求出固有模態(tài)，并根據(jù)精度要求進(jìn)行模態(tài)截?cái)?，即將連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)轉(zhuǎn)化為前幾階模態(tài)響應(yīng)的線性組合來研究。本文仍然采用上述傳統(tǒng)做法，采用文獻(xiàn)[1]的思想，借鑒了文獻(xiàn)[13]中的處理方法，算出了周邊固支半球殼的固有模態(tài)。然后結(jié)合模態(tài)疊加法[8]和隨機(jī)分析理論[10]，求出了殼體在橫向分布激勵(lì)下的響應(yīng)特性，進(jìn)一步算出了穩(wěn)態(tài)白噪聲激勵(lì)下殼體的均方響應(yīng)和突加白噪聲情況下殼體各點(diǎn)的時(shí)變均方響應(yīng)。

2 半球殼固有模態(tài)的求解

考察周邊固支的半球殼，如圖1所示，其中φ、θ分別表示殼體任一點(diǎn)的經(jīng)向角、緯向角，u、v、w分別表示該點(diǎn)處的經(jīng)向位移、緯向位移和橫向（法向）位移。按照經(jīng)典的勒夫薄殼理論，考慮殼

圖1 半球殼示意圖

體的薄膜剛度和彎曲剛度時(shí)，殼體的振動(dòng)微分方程可以用下面的方程（1）、（2）來表示：[8]

對(duì)于軸對(duì)稱情形，消去應(yīng)力函數(shù) f，結(jié)合分離變量法可得到關(guān)于橫向振型函數(shù)W的方程[9]。

3 橫向穩(wěn)態(tài)隨機(jī)白噪聲激勵(lì)下的殼體均方響應(yīng)求解

求出系統(tǒng)的固有模態(tài)后，根據(jù)模態(tài)疊加法，殼體的響應(yīng)可寫為：

式中，ui（i=1，2，3）是位移響應(yīng)在經(jīng)向（u）、緯向(v)和橫向(w)三個(gè)主方向的上的分量，Uik是第 k階固有振型在三個(gè)主方向的上的分量，模態(tài)坐標(biāo)ηk(t)是未知的待定函數(shù)。模態(tài)坐標(biāo) ηk(t)的方程可以寫為（具體推導(dǎo)可以參見文獻(xiàn)[8]）：

式中：

ζk稱為模態(tài)阻尼系數(shù)，q1、q2、q3表示激勵(lì)在三個(gè)主方向上的分量。由于本文只考慮軸對(duì)稱情況，U2k和q2為零，U1k和U3k只和φ有關(guān)。在不引起混淆的情況下，下文中縱向位移U1k用Uk表示，橫向位移U3k用Wk表示。

考察殼體只受橫向均勻分布激勵(lì)的情況下，方程（5）可以寫為：

由方程（8），可以求出模態(tài)坐標(biāo) ηk(t)對(duì)橫向均勻分布激勵(lì)的頻響函數(shù)。再結(jié)合方程（4）可以直接求出系統(tǒng)在橫向激勵(lì)下的頻響函數(shù)H(φ, ω)：

對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)，如果已知?dú)んw各點(diǎn)受到的激勵(lì)的功率譜密度，就可以根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論求出系統(tǒng)位移的均方響應(yīng)【10】。

這樣，知道了隨機(jī)激勵(lì)的功率譜密度，通過上述公式可以很方便地求出殼體任一點(diǎn)處的位移均方響應(yīng)。由于本模型的支撐條件為軸對(duì)稱（周邊固支），載荷也為軸對(duì)稱（橫向均勻分布激勵(lì)），所以響應(yīng)也必為軸對(duì)稱，即半球殼的響應(yīng)可以用任意一條經(jīng)線上的響應(yīng)來表示。在均勻分布橫向白噪聲激勵(lì)的功率譜密度為 S(ω) = 106kg2/m2/s3時(shí)，殼體位移均方響應(yīng)隨φ的變化如圖2所示。

（圖2）

從圖2中可以看出，在穩(wěn)態(tài)白噪聲激勵(lì)下，殼體中心對(duì)稱點(diǎn)的均方響應(yīng)遠(yuǎn)大于殼體其他各點(diǎn)。而除了中心對(duì)稱點(diǎn)，在緯向角大約0.4弧度和1.1弧度所對(duì)應(yīng)的圓上，各點(diǎn)的均方響應(yīng)也比鄰近的點(diǎn)的均方響應(yīng)要大。

4 橫向突加白噪聲隨機(jī)激勵(lì)下殼體的時(shí)變均方響應(yīng)

上面求出了殼體上各點(diǎn)在隨機(jī)平穩(wěn)白噪聲橫向激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)位移均方響應(yīng)，對(duì)于殼體在突加白噪聲激勵(lì)下的時(shí)變位移均方響應(yīng)，本文按虛擬激勵(lì)法進(jìn)行求解。假設(shè)方程（5）中，各模態(tài)響應(yīng)的初始條件為 ηk(0) =η˙k(0)= 0。q3( t)表示突加橫向白噪聲，q3( t) = g( t) · x( t)，x( t)表示零均值的隨機(jī)白噪聲，功率譜密度 S0= 106kg2/m2/s3為已知，g( t)為單位階躍函數(shù)。

采用虛擬激勵(lì)法[11]，求出方程（5）的解為：

此時(shí)，模態(tài)坐標(biāo)ηk( ω, t)的時(shí)變功率譜密度為：

其中，等號(hào)右邊的上橫線表示取復(fù)數(shù) ηk( ω, t)的共軛。

對(duì)上式在頻域上積分可得模態(tài)坐標(biāo) ηk(t)的時(shí)變方差為[11]：

其中，

由方程（6），在只考慮軸對(duì)稱情況下（軸對(duì)稱時(shí)，不考慮環(huán)向坐標(biāo)θ），可以推出：

因此，如果知道了模態(tài)坐標(biāo)的時(shí)變方差，結(jié)合振型函數(shù)，利用公式(14)，可以求出球殼任一點(diǎn)的均方響應(yīng)隨時(shí)間的變化情況。球殼極點(diǎn)處在突加橫向均勻分布白噪聲激勵(lì)下均方響應(yīng)的瞬態(tài)過程如圖3所示。

（圖3）

5 總結(jié)

本文借助經(jīng)典薄殼理論，結(jié)合隨機(jī)響應(yīng)問題的虛擬激勵(lì)方法，分析計(jì)算了橫向均勻分布的白噪聲激勵(lì)下周邊固支半球殼的均方響應(yīng)。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的計(jì)算結(jié)果表明，殼體極點(diǎn)（中心對(duì)稱點(diǎn)）的均方響應(yīng)為最大（見圖2）；而突加載荷作用時(shí)殼體極點(diǎn)處位移均方響應(yīng)的時(shí)變方差曲線表明，由于系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)阻尼的存在，使得均方響應(yīng)隨著時(shí)間的推移逐漸從下方趨向于穩(wěn)態(tài)值。上述結(jié)果符合客觀實(shí)際，也佐證了本文所述方法適用于軸對(duì)稱情形下殼體的隨機(jī)響應(yīng)分析。然而，如何將這類方法推廣到非軸對(duì)稱情形，尚有待進(jìn)一步的研究。

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Random Response Analysis of Semi-spherical Shell with Clamped Edge

LI Jun，LENG Xiao-lei
(Institute of Vibration Engineering Research, MOE Key Lab of Structural Mechanics and Control for Aircraft, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

Based on classical thin shell theory, intrinsic mode of a semi-spherical shell with clamped edge is analyzed by means of numerical calculation. Natural frequencies of free vibration under circumstances of axi-symmetry modes and natural modes of viberation expressed in terms of the Legendre functions are also calculated. Furthermore, based on the mode superposition method, response characteristics of horizontal excitation are presented. Finally, the mean square response of the shell excited by horizontal white noise is calculated in combination with the stochastic analysis theory, with transient/variable mean square response curves at each point of the shell presented.

spherical shell; stochastic vibration; mean square response

O383

A

1009－5160(2010)01－0035－04

*通訊作者：李軍（1970-），男，碩士，研究方向：板殼隨機(jī)振動(dòng)研究.基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10672074）.