李慶芳

(河南化工職業(yè)學(xué)院公共課教學(xué)部,河南鄭州450042)

一類不具有連續(xù)性和緊性條件的反向混合單調(diào)算子方程解的存在性定理＊

李慶芳

(河南化工職業(yè)學(xué)院公共課教學(xué)部,河南鄭州450042)

在半序空間中,研究了不具有連續(xù)性和緊性條件的一類反向混合單調(diào)算子方程解的存在與惟一性,并給出迭代序列收斂于解的誤差估計,所得結(jié)果是某些已有結(jié)果的本質(zhì)改進(jìn)和推廣.

正規(guī)錐;反向混合單調(diào)算子;算子方程;方程解

混合單調(diào)算子和反向混合單調(diào)算子是兩類重要的算子,關(guān)于Banach空間中非線性混合單調(diào)算子方程A(x,x)=x的迭代求解問題,已有許多研究[1～7],并得到了一批好的結(jié)果,但對于反向混合單調(diào)算子方程A(x,x)+u0=x解的存在性問題卻涉及甚少.本文利用了非對稱迭代法解決了半序空間中慣用的對稱迭代法所無能為力的問題,討論了反向混合單調(diào)算子方程A(x,x)+u0=x解的存在惟一性,并給出了迭代序列收斂于解的誤差估計,改進(jìn)和推廣了已有文獻(xiàn)中的相應(yīng)結(jié)果.

1 預(yù)備知識

本文總假設(shè)E為具有正規(guī)錐P的半序?qū)岯anach空間,θ表示E中的零元素,N為P的正規(guī)常數(shù),關(guān)于錐和半序理論參見文獻(xiàn)[8].設(shè)u0,v0∈E且u0

定義1[1]稱二元算子A:D×D→E為混合單調(diào)算子,如果A(x,y)對每一個固定的y∈D關(guān)于x是增的,對每一個固定的x∈D關(guān)于y是減的.

定義2[8,9]稱二元算子B:D×D→E為反向混合單調(diào)算子,若:

1)對每個固定的v∈D,B(u,v)在D上關(guān)于u是單調(diào)遞減的,即?u1

2)對每個固定的u∈D,B(u,v)在D上關(guān)于v是單調(diào)遞增的,即?v1

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)P是實(shí)Banach空間E中正規(guī)錐,A:D×D→E是反向混合單調(diào)算子,且滿足: 1)存在

2)存在正有界線性算子L:E×E→E且其譜半徑r(L)<1,使得對任意的x,y∈D,x≤y有

則當(dāng)0<α+r(L)<1時,方程A(x,x)+u0=x在[u0,v0]中有惟一解且對迭代序列

有誤差估計式中γ=α+r(L).

證明 運(yùn)用歸納法易證

事實(shí)上,當(dāng)n=1時,由式(1)、(2)及A是反向混合單調(diào)算子,我們有

v1-u1=A(u0,v0)-A(v0,u0)+α(v0-u0)≥θ,即u0≤u1≤v1≤v0,式(5)成立.

假設(shè)n=k時,式(5)也成立,即uk-1≤uk≤vk≤vk-1,則當(dāng)n=k+1時,有

即 uk≤uk+1≤vk+1≤vk,故n=k+1時式(5)成立.

由式(2)、(3)和(5)可得

式中H=αI+L,I是恒等算子,對任給的0

存在n0,使得‖Hn‖<γn,n≥n0,考慮到P的正規(guī)性知

故由式(6)知,對任意正數(shù)n,p有θ≤un+p-un,vn-vn+p≤vn-un≤Hn(v0-u0),

從而由式(7)與P的正規(guī)性知

所以{un}是Cauchy序列,由E的完備性及{un}∈[u0,v0],存在

同理可證{vn}也是Cauchy序列.于是存在

又由式(3)、(8)及A是反向混合單調(diào)算子有

可得

故有

即x＊是方程A(x,x)+u0=x在[u0,v0]中的解.

再證不動點(diǎn)的惟一性:設(shè)y＊也是A在[u0,v0]中的不動點(diǎn),則仿上述證明由歸納法易得令 n→∞得是方程A(x,x)+u0=x在[u0,v0]中的惟一解.

誤差估計式(4)由式(7)易得.

定理2 設(shè)P是實(shí)Banach空間E中正規(guī)錐,A:D×D→E是反向混合單調(diào)算子,且滿足:

1)存在α∈[0,1],(1-α)(u0-v0)≤A(v0,u0),A(u0,v0)≤θ;

2)存在正有界線性算子L:E×E→E且其譜半徑r(L)<1,使得對任意的x,y∈D,x≤y,有

則當(dāng)0<α+r(L)<1時,方程A(x,x)+v0=x在[u0,v0]中有惟一解有誤差估計

證明 類似于定理1的證明,略.

定理3 設(shè)P是實(shí)Banach空間E中正規(guī)錐,A:D×D→E是反向混合單調(diào)算子,且滿足:

1)存在α∈[0,1],∈[0,1],有

2)存在正有界線性算子L:E×E→E且其譜半徑r(L)<1,使得對任意的x,y∈D,x≤y有

則當(dāng)0<α+β+r(L)<1時,方程A(x,x)=x在[u0,v0]中有惟一解且對迭代序列有誤差估計其中γ=α+β+r(L).

下面討論A未必反向混合單調(diào)時的一些結(jié)論.

定理4 設(shè)P是實(shí)Banach空間E中正規(guī)錐,A:D×D→E是二元算子,且滿足:

1)若存在α∈[0,1],滿足初始條件θ≤A(v0,u0),A(u0,v0)≤(1-α)(v0-u0);

2)存在b>0,使得b(y1-y2)≤A(x1,y1)-A(x2,y2),u0≤x1≤x2≤v0,u0≤y2≤y1≤v0;

3)存在正有界線性算子L:E×E→E且其譜半徑r(L)<1,使得對任意的x,y∈D,x≤y有

則當(dāng)0<[α+r(L)-b]/(1-b)<1時,方程A(x,x)

證明 令B(x,y)=[A(x,y)+u0-by]/(1-b),x,y∈D.由1)知,

又由2)知,對任給的ui,vi∈D,(i=1,2),當(dāng)u2≥u1,v2≤v1時,

所以B(u1,v1)≥B(u2,v2),即B:D×D→E是反向混合單調(diào)算子.

再由3)知,

構(gòu)造迭代序列un+1=B(vn,un),vn+1=B(un,vn)+α(vn-un)/(1-b),則仿文獻(xiàn)[6]中定理的證明可得B(x,x)=x在D中有惟一解(1-b)的惟一解.仿上證明可得下面結(jié)論.

定理5 設(shè)P是實(shí)Banach空間E中正規(guī)錐,A:D×D→E是二元算子,且滿足:

1)存在α∈[0,1],滿足初始條件(1-α)(u0-v0)≤A(v0,u0),A(u0,v0)≤θ;

2)存在b>0,使得b(y1-y2)≤A(x1,y1)-A(x2,y2),u0≤x1≤x2≤v0,u0≤y2≤y1≤v0;

3)存在正有界線性算子L:E×E→E且其譜半徑r(L)<1,使得對任意的x,y∈D,x≤y有

則當(dāng)0<[α+r(L)-b]/(1-b)<1時,方程A(x,x)+v0=x在[u0,v0]中有惟一解x＊.

注1 本文定理4,5中研究了算子A未必反向混合單調(diào)時仍有相應(yīng)的結(jié)論,拓寬了定理的適用范圍.

注2 本文結(jié)論對算子A在連續(xù)性和緊性方面沒有作任何假定.

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Existence Theorem of Solution of Anti-m ixedMonotone Operator Equation without the Conditions of Cont inuity and Compactness

LIQing-fang

(Dept.of Public Courses,Henan Vocational College of Chemical Technology,Zhengzhou Henan 450042,China)

The paper discusses the existence and uniqueness of solution of anti-mixed monotone operator equation in semi-ordered space without the conditions of continuity and compactness,and the error estimations that iterative sequences converge to solutions are given.The results presented here improve and generalize some correspondingresults for anti-mixed monotone operators.

normal cone;anti-mixed monotone operator;operator equation;equation solution

book=9,ebook=375

O 177.91

A

1673-2103(2010)05-0032-04

2010-06-11

河南省教委科研基金資助項目(200810483004)

李慶芳(1973-),女,河南鄭州人,講師,研究方向:非線性泛函分析及其應(yīng)用.