李敏靜，張彬林，田國(guó)華，郭秀穎

(黑龍江工程學(xué)院)

0 引言

Gantner等人于1978年在L-拓?fù)淇臻g中引入α-緊性的概念［1］．憑借 α-緊性，當(dāng) L=［0，1］時(shí)，Lowen 給出了強(qiáng)模糊緊性的概念［2］．在這之后，Li和 Wang又先后把強(qiáng)模糊緊性的概念推廣到一般的模糊集和 L-模糊集［3-5］．Starplus-緊性的概念于2001年被引入到一般的模糊集［6］．Starplus-緊性是一種概括化的強(qiáng)模糊緊性［2］，但是它又不同于強(qiáng)模糊緊性，具體討論可參考文獻(xiàn)［4，7］．盡管在文獻(xiàn)［4，7］中提到，Starplus-緊性并不如強(qiáng)模糊緊性那樣理想，但它仍有許多良好特性．

Starplus-緊性的定義是建立在這一事實(shí)基礎(chǔ)上，即假定在［0，1］拓?fù)渲卸皇且话阃負(fù)渲?，文獻(xiàn)［8］將Starplus-緊性的定義推廣到L-拓?fù)淇臻g中，并且給出了它的性質(zhì)及相關(guān)理論，可是并沒(méi)有給出它的本質(zhì)特征．因此，該文將給出Starplus-緊性的兩種刻畫．

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X為一個(gè)非空集合，LX為在X上所有L-模糊集的集合，由定義∨、∧、≤當(dāng)LX繼承了點(diǎn)陣L的結(jié)構(gòu)，則它也是一個(gè)模糊點(diǎn)陣．在LX中由0和1分別表示最大和最小的元素．在L中，P(L)表示所有非單位素元的集合，M(L)表示所有非零素元的集合．在LX中M(LX)表示所有非零素元的集合．

一個(gè)L-拓?fù)淇臻g也簡(jiǎn)記為L(zhǎng)-ts．假定e≤/P．一個(gè)封閉L-模糊集被稱作屬于e∈M的遠(yuǎn)鄰域．如果U'是一個(gè)屬于e的R-nbd，則一個(gè)開放的L-集U被稱作屬于e∈M(LX)的半開鄰域(或簡(jiǎn)記為 Q-nbd)．對(duì)于每一個(gè) e∈M(LX)，所有封閉的自然數(shù)(e)的R-nbd集合表示為n'(e)．

定義1．1［4］對(duì)于一個(gè)拓?fù)淇臻g(X，T)，如果WL(T)是所有從(X，T)到L的較低級(jí)的不完全連續(xù)的(W，WL(T))，那么WL(T)稱為在L上的L-拓?fù)洌?/p>

定義1．2［9-10］設(shè) A ∈ LX，且 α∈ L，定義:

A(α)={x∈ X|A(x)≥ α}，

A(α)={X ∈ X|A(x)≤ α}．

易知，對(duì)于每一個(gè)α∈M和每一個(gè)A∈LX，可得(A(α))'=(A')(α)．

定義1．3 設(shè)(x，δ)是一個(gè)L-ts，G∈LX，如果 G(α)在(X，δ(α))對(duì)于每一個(gè) α ∈ P(L)，則 G被稱為Starplus-緊．如果是Starplus-緊，(X，δ)被稱為Starplus-緊．

顯然，定義1．3是一種概括化的Starplus-緊性［6］．

定義1．4 對(duì)于A∈LX，若?n∈D，s(n)≤/A'，一個(gè)網(wǎng)絡(luò)系S={S(n)|n∈D}被叫做與A半相符．

定義 1．5 設(shè)(X，δ)是一個(gè) L-ts，α ∈M(l)，且 G∈ LX．若對(duì)于每一個(gè)模糊點(diǎn) Xα，且α≤G'(x)，屬于δ的A的分支A被稱作G的Qα-開的半封閉，存在A∈A，且 Xα≤A'．若β?A，且β也是G的Qα-開的半封閉，則β被稱作A的Qα-開的半準(zhǔn)封閉．

2 Starplus-緊性的特征

這一節(jié)中，給出了如下Starplus-緊性的刻畫．

定理2．1 設(shè)(X，δ)是一個(gè) L-ts，且 G∈LX．那么G是Starplus-緊的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每一個(gè)α∈M(L)，每個(gè)G的Qα-開的半封閉具有有限的Qα-開的半準(zhǔn)封閉．

證明 ?假定G是Starplus-緊的，且A是個(gè)G的Qa-開的半封閉，那么容易證明在(X，δ(α))內(nèi)，A(α')={A(α')|A ∈ A}是 G(α')的開封閉．根據(jù)G的Starplus-緊性，可知A具有有限的亞 β 體系，這樣 β(α')={B(α')|B ∈ B}是在(X，δ(α))內(nèi)的 G(α')的開封閉．這就意味著 β是 A 的有限的Qα-開的半準(zhǔn)封閉．

?假定對(duì)于每一個(gè)α∈M(L)，每個(gè)G的Qα-開的半封閉具有有限的Qα-開的半準(zhǔn)封閉，且μ是個(gè)G(α')的半封閉，那么存在一個(gè)δ的亞科A，這樣μ ={A(α')|A∈A}．顯而易見(jiàn)，A是 G的Qα-開的半封閉．所以，A具有有限的Qα-開的半準(zhǔn)封閉 β．由此可知 β(α')={B(α')|B ∈ B}是個(gè)μ的有限的開準(zhǔn)封閉．這就意味著在(X，δ(α))內(nèi)G(α')是緊的．因此，G是Starplus-緊．

定理2．2 設(shè)(X，δ)是一個(gè) L-ts，且 G∈LX．那么G是Starplus-緊的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每一個(gè)α∈M(L)，每個(gè)與G連續(xù)的半符合α-網(wǎng)格具有一個(gè)簇點(diǎn)Xα與G半符合．

證明 ?假定對(duì)于每一個(gè)α∈M(L)，每個(gè)和G的半符合連續(xù)的α-網(wǎng)格具有一個(gè)簇點(diǎn)Xα與G半符合．為了證明G是Starplus-緊的，將一個(gè)網(wǎng)格系統(tǒng){S(n)}n∈D放入 G(b)，b ∈ P(L)，那么{S(n)}n∈D是與G半符合的連續(xù)的b'-網(wǎng)格系統(tǒng)，其中，{S(n)}b'表示受點(diǎn)和高b'支持的一個(gè)模糊點(diǎn)．這樣，它就具有一個(gè)與G半符合的簇點(diǎn)xb'，顯然，x∈G(b)．現(xiàn)在證明x是一個(gè)在(X，δ(b))，中的{S(n)}∈D的簇點(diǎn):假設(shè)A是在(X，δ(b))中的x開鄰域，那么存在一個(gè)在(X，δ)內(nèi)的開L-集U，這樣A=U(b)．顯然，U是xb'的開半鄰域．既然xb'是一個(gè){S(n)}n∈D的簇點(diǎn)，{S(n)}n∈D經(jīng)常與 U 半符合，這就意味著{S(n)}n∈D時(shí)常在U(b)=A中．所以，x是一個(gè)在(X，δ(b))中的{S(n)}n∈D的一個(gè)簇點(diǎn)，這表明G(b)是緊性，因此，G是Starplus-緊．

?假定G是Starplus-緊的，α∈M(L)，且{S(n)}n∈D是與G半符合的連續(xù)的δ-網(wǎng)格系統(tǒng)．那么，{S(n)}n∈D是在 G(α')內(nèi)的一個(gè)網(wǎng)格系統(tǒng)．由于G是 Starplus-緊，可知，G(α')是緊的．這樣，{S(n)}n∈D有一個(gè)簇點(diǎn)x∈G(α')．由此，xα是在(X，δ)內(nèi)的{S(n)}n∈D的一個(gè)簇點(diǎn)，且它與G半符合．

［1］ Gantner T E，Steinlage R C，Warren R H．Compactness in fuzzy topological spaces［J］．J Math Appl，1978，62:547-562．

［2］ Lowen R A．Comparison of different compactness notions in fuzzy topological spaces［J］．J Math Appl，1978，64:446-454．

［3］ Li Z F．Compactness in fuzzy topological spaces［J］．Bulletin in China，1984，29:321-323．

［4］ Wang G J．Theory of L-fuzzy topological spaces［M］．Xian:Shanxi Normal University Publisher，1988．

［5］ Wang G J．Generalized topological molecular lattices［J］．Science in China，1983，A，26(12):1063-1072．

［6］ Kohli J K，Prasannan A R．Starplus-compactness and Starplus-compact open fuzzy topological on function spaces［J］．J Math Anal Appl，2001，254:87-100．

［7］ Liu Y M，Luo M K．Fuzzy topology［M］．Singapore:World Scientific Publishing，1997．

［8］ Shan J．Starplus-Compactness In L-topological spaces［J］．Natural Sciences Journal of Harbin Normal University，2005，21(5):11-13．

［9］ Shi F G．Theory of-nested sets and-nested sets and applications［J］．Fuzzy Systems and Mathematics，1995，9(4):65-72．

［10］ Shi F．G．L -Fuzzy set and prime element nest［J］．J Mathematical Research and Exposition，1996，16(3):398-402．