丁 華，高莉莉，蔡愫穎

（1.安徽財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030；2.安徽財經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，安徽 蚌埠233030；3.安徽財經(jīng)大學(xué)外國語學(xué)院，安徽 蚌埠233030；）

CEV模型下平方障礙期權(quán)定價的數(shù)值算法

丁 華1，高莉莉2，蔡愫穎3

（1.安徽財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030；2.安徽財經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，安徽 蚌埠233030；3.安徽財經(jīng)大學(xué)外國語學(xué)院，安徽 蚌埠233030；）

討論一種變異期權(quán)-收益結(jié)構(gòu)為平方的障礙期權(quán)，在股票價格服從不變方差彈性（CEV）模型下，采用Crank-Nicolson差分格式，給出具體的數(shù)值算例，并驗證了算法的有效性，最后分析障礙對期權(quán)的影響.

CEV模型；向上觸銷平方期權(quán)；Crank-Nicolson差分格式

障礙期權(quán)是一種收益結(jié)構(gòu)依賴股票價格路徑的奇異期權(quán)，當(dāng)資產(chǎn)價格過高或過低時，就會觸發(fā)或觸銷期權(quán)和約而影響期權(quán)的價格.平方期權(quán)是一種改變標(biāo)準(zhǔn)收益結(jié)構(gòu)的新型期權(quán)，它對股票價格變化的敏感性明顯增加.由于平方期權(quán)具有很大的杠桿作用，投機(jī)者只要把股票價格抬高一點(diǎn)，期權(quán)價格就會發(fā)生很大的變化［1-3］.因此，為盡量避免投機(jī)者操縱市場，有必要設(shè)定一個價格障礙，當(dāng)股票價格超過這個障礙價格時，期權(quán)作廢.

這里討論的情況是這兩種期權(quán)性質(zhì)的期權(quán)定價問題，收益結(jié)構(gòu)為平方但在價格過程中設(shè)定了一個價格障礙，股票價格一旦等于或超過這個障礙，期權(quán)價格為零.對B-S模型下的障礙平方期權(quán)有定價公式且可以直接得出解析解［4-5］，若將B-S模型一般化，考慮在標(biāo)的股價服從不變方差彈性（CEV）模型下得到障礙平方期權(quán)價格所滿足的偏微分方程，利用分離變量法，將其化為拋物線型的Cauchy問題［8］，但最終求不出解析解.故在實(shí)際中不能直接應(yīng)用.本文用了Crank-Nicolson差分格式來求解CEV模型下的向上觸銷平方看漲期權(quán)定價方程，并給出具體的數(shù)值實(shí)例.實(shí)際上，CEV模型下障礙平方期權(quán)其余的三種可用類似方法得出.

1 定價模型

不變方差彈性模型（CEV）是Cox與Ross提出的［7］，他們認(rèn)為雖然幾何布朗運(yùn)動在許多情況下是資產(chǎn)收益率的一種很好的近似，但不同類別的資產(chǎn)有相當(dāng)大的離差.

設(shè)σ（St）表示股票價格St的波動率，則有：

其中a為常數(shù).由此得到：

這里σ為常數(shù).

在這個模型中，資產(chǎn)回報的波動率是資產(chǎn)價格的函數(shù).有：

其中μ為期望回報率，dWt為標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動.參數(shù)a∈[0，1]，決定了股價的變動對股票價格水平的敏感度.當(dāng)a=1時，（1）式即為經(jīng)典的B-S模型.這里考察了當(dāng)資產(chǎn)價格遵循CEV發(fā)散過程時某些路徑依賴期權(quán)的定價問題，這一過程具備資產(chǎn)的波動與其價格水平相聯(lián)系的優(yōu)點(diǎn)，它與股票波動趨于股票價格上漲和下跌變化的實(shí)證研究相一致.由Cox提出的CEV期權(quán)定價模型分離了這種負(fù)相關(guān)性［6-7］.這樣，將CEV過程應(yīng)用于路徑依賴期權(quán)以及標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)就應(yīng)該是一種明智的做法.

根據(jù)期權(quán)的定義，它可以用股票-債券交易策略來進(jìn)行復(fù)制，就得到關(guān)于V的偏微分方程：

對于向上觸銷平方看漲值期權(quán)（up-and-out options）Vuo而言，邊界條件：

其中，K為執(zhí)行價格，Smax代表有效期[0，T]內(nèi)資產(chǎn)的最高價格，B為障礙價格，且滿足條件：K＜B.

2 C-N差分格式建立

分別對時間（從現(xiàn)在0時刻到障礙平方期權(quán)到期日T時刻）股票價格進(jìn)行等間隔的分割.由于障礙對期權(quán)價格的影響，小于障礙水平的標(biāo)的資產(chǎn)價格對所對應(yīng)的期權(quán)價格可以認(rèn)為是零.于是，對向上觸銷平方期權(quán)價格的求解區(qū)域［9］A={0≤S≤B≤Smax，0≤ t≤ T}網(wǎng)格化.其中Smax為股票可達(dá)到的最高價格，在三叉樹中，標(biāo)的價格上升幅度為，因此可取Smax=SuN.假設(shè)△t=t/N，總共有 N+1 個時間點(diǎn)：0，△t，2△t，…，T.由于障礙對期權(quán)價格的影響，高于障礙水平的標(biāo)的資產(chǎn)價格所對應(yīng)的期權(quán)價格可以認(rèn)為是零.于是，令△S=min（B，Smax）/M，則考慮 M+1 個股票價格 0，△S，2△S，…，min（B，Smax），j=0，1，…，M.這樣就構(gòu)造了一個共有（M+1）（N+1）個點(diǎn)的坐標(biāo)方格（見圖1）.坐標(biāo)上的點(diǎn)（i，j）對應(yīng)時刻 i△t和股票價格 j△S，用變量 Vuo代表點(diǎn)（i，j）點(diǎn)的向上觸銷平方看漲期權(quán)價格.

對于坐標(biāo)方格內(nèi)部的點(diǎn)，利用Crank-Nicolson差分格式，取

把（11）代入（8）中，各項進(jìn)行合并，并考慮 Vuoij的終值條件（即 S=0，S=min（B，Smax）和 t=T 時的向上觸銷平方看漲期權(quán)值）得到如下的兩層隱式差分格式一組方程：

相應(yīng)的系數(shù)：

仔細(xì)考慮（12）的第一個方程，它實(shí)際準(zhǔn)確到o（（△t）2），而不是 o（△t）.對于顯式還是隱式格式都只準(zhǔn)確到o（△t），這也就是Crank-Nicolson差分格式優(yōu)越的地方.

首先求解與T-△t時刻相對應(yīng)的點(diǎn).利用（12）式和i=N-1可以給出M-1個同時成立的方程：

因此，可以求出 M-1 個未知數(shù)：VuoCN-1，1，VuoN-1，2，…，VuoN-1，M-1.與 T-2△t對應(yīng)的結(jié)點(diǎn)也按同樣方式處理，并以此類推.最后就會得到 Vuo0，1，Vuo0，2，…，Vuo0，M-1.一般地，不會恰好在格點(diǎn)上，當(dāng)不在格點(diǎn)上時，要采用線性插值方法來求得期權(quán)價格.

3 實(shí)例

基于不支付紅利的向上觸銷平方看漲期權(quán)，當(dāng)前股票價格 S0分別為 23，25，30，33，35 美元，執(zhí)行價格為32美元，期權(quán)有效期為6個月，即T=0.5年，無風(fēng)險利率r每年10%，瞬態(tài)波動為每年σ=20%，障礙值B為40美元，用三叉樹方法得到Smax=SuN，利用matlba編程計算，得出一系列的數(shù)據(jù).表1給出了使用三個a值來表現(xiàn)其對期權(quán)價格的影響.它們分別對應(yīng)對數(shù)正態(tài)模型（a=1），平方根模型（a=1/2）和絕對模型（a=0）.

由表1可知，Crank-Nicolson差分格式計算的價格在給定的股票價格、執(zhí)行價格和a值條件下迅速收斂于封閉形式的解.絕對模型和平方根模型下的期權(quán)價格的收斂過程可類比對數(shù)正態(tài)模型期權(quán)的收斂過程.并且對期權(quán)價格的影響可能是正方向的，也可能是負(fù)方向的，但是對某一給定期權(quán)，其影響看起來總是單調(diào)的.

表2展示了對數(shù)正態(tài)模型 （a=1）時利用Crank-Nicolson算法計算不同的股票價格所對應(yīng)的向上觸銷平方看漲期權(quán)價格.可見，它對股票價格變化的敏感性明顯超過一般期權(quán).由于平方期權(quán)具有很大的杠桿作用，投機(jī)者只要把股票價格抬高一點(diǎn)，期權(quán)價格就會發(fā)生很大的變化.在實(shí)際過程中，為盡量避免投機(jī)者操縱市場，有必要設(shè)定一個價格障礙，當(dāng)股票價格超過這個障礙價格時，期權(quán)作廢.同時，Crank-Nicolson算法與解析式定價結(jié)果進(jìn)行［3］比較，相對誤差都比較小，再一次說明該算法的有效性.

表1 CEV模型下向上觸銷平方看漲期權(quán)的收斂過程（S0=25）Tab.1 Convergence process of up and out power options following CEV model

表2 對數(shù)正態(tài)模型（a=1）下向上觸銷平方看漲期權(quán)價格（M=100，N=400）Tab.2 Price of up and out power options following lognormal model

表3比較了一般的向上觸銷障礙期權(quán)與平方觸銷平方看漲期權(quán)的價格巨大差異，再次說明平方期權(quán)的杠杠作用.而一般的障礙期權(quán)價格非常得低，這則說明由于障礙存在，期權(quán)要比常規(guī)期權(quán)（B→∞）便宜.另外，對于向上觸銷障礙期權(quán)來說，障礙越低，期權(quán)價格就越便宜；期權(quán)價格在股票價格S0比較接近障礙值的時候相差比較大，而S0在遠(yuǎn)離障礙時，價格就與一般期權(quán)比較接近.這同樣適用于平方障礙期權(quán).

表3 一般的障礙期權(quán)與平方障礙期權(quán)價格比較（S0=25，a=1）Tab.3 Comparison of the price of general barrier options with barrier power option

4 結(jié)語

為了分離股票價格變動與波動變化之間的負(fù)相關(guān)性，考察了當(dāng)資產(chǎn)價格遵循CEV發(fā)散過程時平方障礙期權(quán)定價問題，提供了一種有效的數(shù)值算法，并進(jìn)行了數(shù)值模擬，討論了障礙、平方對期權(quán)價格影響.可以用于期權(quán)交易的實(shí)際操作，具有實(shí)際的應(yīng)用價值.

［1］Black F,Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy,1973,81(1):637-659.

［2］陳盛雙,楊云霞.連續(xù)平方障礙期權(quán)的定價[J].統(tǒng)計與決策,2006,45(7):108-109.

［3］李小愛.障礙平方期權(quán)的定價 [J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用,2005,76(2):61-64.

［4］Merton R C.The theory of rational option pricing[J].Bell Journal of Economics and Management Science,1973,16(4):141-183.

［5］Cheuk T H F,Vorst T C F.The constant elasticity of Variance option pricing model[J].Journal of Portfolio Management,1996,87(22):15-17.

［6］Cox J C,Ross S A.The valuation of options for alternative stochastic processes[J].Journal of Financial Economics,1976,31(3):145-166.

［7］Cox J C.Notes on option pricing I:constant elasticity of variance diffusions[M].Unpubl.Note Stanford Univ,1975.

［8］Kwok Y k.Mathematical model of financial derivatives[M].Singapore:springer,1998.

［9］杜雪樵,丁華.CEV模型下兩值期權(quán)的數(shù)值解[J].南方經(jīng)濟(jì),2006,197(2):23-28.

責(zé)任編輯：畢和平

Numberical Solution for Barrier Power Option Following Constant Elasticity of Variance Model

DING Hua,GAO Lili,CAI Suying
（1.School of Statistics and Applied Mathematics，AnHui University of Finance and Economics，Bengbu 233030，China；2.School of Economics，AnHui University of Finance and Economics，Bengbu 233030，China；3.School of Foreign Language，AnHui University of Finance and Economics，Bengbu 233030，China；）

The barrier option with payoffs as a kind of exotic option is discussed.Supposing the underlying asset follows constant elasticity of variance model （CEV）,using C-N differential scheme,the partial differential equations,an algorithm and some numerical examples to verify the validity of the arithmetic were obtained,and the effects of barrier level on option price were discussed.

CEV mode l；barrier power option；C-N differential scheme

F 830.9

A

1674-4942（2010）03-0245-04

2010-05-23

教育部人文社會科學(xué)研究項目基金（09YJCZH001）；高校省級優(yōu)秀青年人才基金（2010SQRW056）；安徽財經(jīng)大學(xué)青年科研項目（ACKYQ0927）