謝禹鈞, 王 偉, 王曉華, 蔡永梅

(遼寧石油化工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,遼寧撫順 113001)

平面壓痕開裂極限臨界載荷與開裂角

謝禹鈞, 王 偉, 王曉華, 蔡永梅

(遼寧石油化工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,遼寧撫順 113001)

平面壓痕的開裂在材料機(jī)械性能的研究、破巖機(jī)理的研究中有著廣泛的應(yīng)用。當(dāng)剛性壓頭作用在半平面彈性體的表面時,會產(chǎn)生一個平面壓痕,該壓痕的兩端將出現(xiàn)I型奇異壓應(yīng)力場,該奇異應(yīng)力場的應(yīng)力集中達(dá)到一定程度時,即達(dá)到臨界條件時,該奇異應(yīng)力場所在的邊界將開裂。壓痕邊界的開裂問題是一個新型的斷裂力學(xué)問題,通過邊界移動的能量釋放率的分析定量地給出了平面壓痕邊界開裂能量釋放率數(shù)學(xué)表征,給出了邊界開裂的極限臨界載荷和臨界開裂角。

斷裂力學(xué); 接觸力學(xué); 應(yīng)力強(qiáng)度因子; 壓痕開裂

平面壓痕開裂問題實(shí)際上是特殊的接觸力學(xué)問題,即剛性壓頭作用在半平面彈性體的邊界上,形成一個平面壓痕,即研究壓痕邊界開裂問題。與其它類型的壓頭不同,在平面壓痕的邊緣會產(chǎn)生一個I型奇異壓應(yīng)力場,該應(yīng)力場的分布與奇異性與I型裂紋裂尖應(yīng)力場的奇異性相同,兩類問題的奇異應(yīng)力場應(yīng)力集中程度均可由漸進(jìn)應(yīng)力場的應(yīng)力強(qiáng)度因子來表示。彈性體中出現(xiàn)奇異應(yīng)力場時,如裂紋問題,必然導(dǎo)致斷裂。文獻(xiàn)[1]給出了理想光滑邊界平面壓痕的開裂問題,本文將討論邊界開裂極限條件下的臨界載荷上界和開裂角的下界,以下各節(jié)將給出詳細(xì)的分析過程。

1 邊界移動的能量釋放率

本節(jié)將給出邊界移動能量釋放率的定義。如圖1所示,對于邊界S+s包圍的二維彈性體,其中邊界s為自由邊界,S邊界上作用有外力。令s邊界是“時間變量t”的函數(shù),如果s產(chǎn)生一個位移u,不難得出其單位時間內(nèi)邊界移動的能量釋放率?Π/?t為[2-4]:

其中,w為應(yīng)變能密度;vi表示速度;mi是邊界s上的外向單位法矢量。

如果令vi=ei=Δi/Δ表示單位位移在坐標(biāo)方向上的分量,即e1=cosα,e2=sinα,α為位移Δ與x1的夾角。若引進(jìn)ni=-mi表示路徑s內(nèi)法線單位向量,即代表邊界向彈性體內(nèi)部方向移動。于是邊界移動的能量釋放率可定義為:

如果邊界s上的各點(diǎn)均以同一個方向運(yùn)動,如圖2所示,(2)式可由守恒積分Ji表示[1],即

式中,sin為彈性體內(nèi)的積分路徑,且路徑s+sin構(gòu)成一個閉合路徑。

Fig.1 Two-dimensional deformation fields and in tegration path圖1 二維彈性體和積分路徑

Fig.2 Model of boundary cracking when s→0圖2 s→0時邊界開裂模型

2 邊界開裂的能量釋放率

從幾何觀點(diǎn)看,邊界開裂,無論發(fā)生在壓痕邊界還是在裂紋尖端,均為圖2和圖3中s→0條件下的邊界移動。于是邊界開裂的能量釋放率可定義為[1]:

當(dāng)極限存在時,(J1)|s→0表示x1方向的邊界開裂驅(qū)動力;(J2)|s→0為x2方向的邊界開裂驅(qū)動力。

3 極限開裂角和臨界載荷

3.1 半平面彈性體平面壓痕的應(yīng)力強(qiáng)度因子

半平面觸壓問題如圖4(a)所示,泊松比μ。剛性平端壓頭寬為2 l,作用在壓頭上的載荷為P。壓痕表面壓應(yīng)力分布的經(jīng)典解為[5]:

該應(yīng)力的分布特征與圖4(b)裂紋韌帶裂尖近場的應(yīng)力場相同。因此基體近表面壓頭角點(diǎn)處的漸近應(yīng)力場為[5]:

該應(yīng)力場為奇異壓應(yīng)力場,比照裂紋問題,其中KI-ind定義為基體近表面壓頭角點(diǎn)處的奇異應(yīng)力場的應(yīng)力強(qiáng)度因子,或壓痕邊緣處奇異應(yīng)力場的應(yīng)力強(qiáng)度因子,表示為:

與裂紋情形相比較,(9)式給出的應(yīng)力場的奇異性與裂尖同階,只是符號相反,即I型壓應(yīng)力場,其應(yīng)力強(qiáng)度因子為這一應(yīng)力場強(qiáng)度的唯一度量,是描述觸壓表面近場的關(guān)鍵參量。如同裂紋問題一樣,壓痕角點(diǎn)表面近場存在K-控制區(qū)。

3.2 半平面彈性體平面壓痕邊界的開裂

理想光滑邊界的平面壓痕的邊界開裂問題在文獻(xiàn)[1]中已經(jīng)討論過。本節(jié)將討論一種極限情況下的邊界開裂問題,即假設(shè)在壓痕邊緣的角點(diǎn)外側(cè),存在一個無窮小的幾何缺陷,如圖5所示。這種缺陷模型在實(shí)際結(jié)構(gòu)中是可能存在的,代表了一種不光滑,因此具有實(shí)際意義。

首先,計算(6)式中的J1|soa→0。令(4)式中的s =soa,如圖3、5、6所示。于是在路徑soo′上Ti=0和n1≠0,于是有[6]其中,sin=socba如圖3、5、6所示。在此基礎(chǔ)上,不難得出

Fig.3 Boundary translation and crack embryo圖3 壓痕邊界的移動與開裂

Fig.4 Half-plane indentation problem and crack model圖4 半平面觸壓問題與裂紋模型

Fig.5 Integration pathsadjacent to right punch corner圖5 壓痕邊緣的積分路徑進(jìn)而由(6)式得壓痕邊界沿α角開裂的能量釋放率為:其中的αc為壓痕邊界開裂最大能量釋放率所對應(yīng)的開裂角,即為臨界開裂角。對照文獻(xiàn)[1]的研究結(jié)果,該臨界值表現(xiàn)為平面壓痕開裂角的下界,對應(yīng)最大的能量釋放率G為:

Fig.6 Integration path adjacent to punch cornerwithin the K-dom inant region圖6 K-控制區(qū)內(nèi)的積分路徑

按照Griffith’s理論[11],彈性固體產(chǎn)生新的斷裂表面所需要的能量來自彈性體的能量釋放。Griffith’s理論給出的臨界載荷為最小的邊界開裂載荷,開裂方向?yàn)樽畲竽芰酷尫怕实姆较?。?dāng)壓痕沿αc=arctan(2/π)開裂的能量釋放率達(dá)到臨界值即開裂韌性Gc時,邊界將開裂,即

如果將壓痕邊界開裂所需的能量理解為與裂紋開裂的情形相同,即為裂紋擴(kuò)展的斷裂韌性,進(jìn)而可以給出K-型臨界開裂條件:

類似的,已知載荷條件下壓痕開裂的臨界壓頭寬度,即:

4 結(jié) 論

文中給出了一個壓痕極限開裂的研究方法,建立了半平面壓痕開裂的K-型臨界開裂條件,導(dǎo)出了臨界開裂角和臨界載荷。指出壓痕邊界極限開裂的臨界應(yīng)力強(qiáng)度因子為裂紋開裂的4 1+4/π2倍。

更為重要的是,本文結(jié)論可以直接應(yīng)用于超硬工件的超高速磨削技術(shù)、巖石切割工具的設(shè)計以及新的材料斷裂韌性微創(chuàng)檢測技術(shù)研究等。

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(Ed.:W YX,Z)

謝禹鈞,男,1960年2月出生,1996年華東理工大學(xué)博士研究生畢業(yè)并獲工學(xué)博士學(xué)位,教授、博士生導(dǎo)師,現(xiàn)任遼寧石油化工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院院長。牛津大學(xué)(Oxford University)高級訪問學(xué)者、西澳大學(xué)(The University of Western Australia)Gledden高級訪問學(xué)者,延世大學(xué)(Yonsei University)韓國BK-21計劃客座研究員,韓國延世大學(xué)(Yonsei University)BK-21(第二期)微/納米機(jī)械加工與力學(xué)國際學(xué)術(shù)顧問,遼寧省力學(xué)學(xué)會副理事長,遼寧石油化工大學(xué)學(xué)術(shù)委員會主任。遼寧省教育廳和遼寧省科技廳石油化工承壓設(shè)備安全工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室主任。近三年分別主持了國家自然科學(xué)基金項目2項;主持省部級科研項目4項、先后主持省級重點(diǎn)教改項目2項;2007年獲遼寧省科技進(jìn)步三等獎1項、2009年獲遼寧省教學(xué)成果一、二、三等獎各1項;在國際、國內(nèi)各類期刊發(fā)表論文30余篇,累計EI、SCI收錄20篇次;2008年應(yīng)邀在韓國舉辦的微/納米機(jī)械加工與力國際會議上做特約學(xué)術(shù)報告。

Critical Load and Cracking Angle fo r Flat Indentation

XIE Yu-jun,WANGWei,WANG Xiao-hua,CA I Yong-mei
(School of M echanical Engineering,L iaoning Shihua University,Fushun L iaoning 113001,P.R.China)

6 June 2010;revised 10 July 2010;accepted 15 July 2010

The indentation fracture can be used w idely in the areas including rock breakage and test of fracture toughness of materials.When an elastic half-p lane substrate is subject to indentations by a rigid,flat-ended punch,a singular stress field and K-dominant region should arise adjacent to the punch edges.When the intensification of such singular stress fields reaches its critical value,fracture w ill take place on the surface of the contact boundary.The cracking of indentation is a new type of f racture p roblem.By using the energy release rate of boundary translation the fracture of indentation has been formulized and critical load and critical cracking angle of the indentation have been found in the p resent paper.

Fracturemechanics;Contact mechanics;Stress intensity facto rs;Indentation fracture

.Tel.:+86-413-6865160;fax:+86-413-6865160;e-mail:yjxie@lnpu.edu.cn

O343.3

A

10.3696/j.issn.1006-396X.2010.03.016

1006-396X(2010)03-0068-04

2010-06-06

謝禹鈞(1960-),男,江蘇靖江市,教授,博士。

國家自然科學(xué)基金項目(50771052,50971068);遼寧省自然基金項目(20082188);遼寧省教育廳重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室項目(LS2010100)。