馬士英，馬新惠，周任軍，張世海

（1.長(zhǎng)沙理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，長(zhǎng)沙市，410014；2.貴州電力試驗(yàn)研究院，貴陽(yáng)市，550002）

0 引言

近幾年，國(guó)內(nèi)外電力系統(tǒng)發(fā)生了多次大停電事故。特別是2003年8月14日的美國(guó)東北部、中西部和加拿大東部聯(lián)合電網(wǎng)發(fā)生的大停電，震驚了世界[1-4]。這些事故，引起了國(guó)內(nèi)外許多的學(xué)者對(duì)大停電的思索和研究，他們期望能找出一種簡(jiǎn)單易行的方法來(lái)研究電力系統(tǒng)大停電，從而可以進(jìn)一步對(duì)電網(wǎng)大停電的發(fā)生時(shí)間和規(guī)模進(jìn)行預(yù)測(cè)。

眾所周知，電力系統(tǒng)正常運(yùn)行過(guò)程中電力元件均要發(fā)熱[5]，若是電力系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中的溫度超過(guò)系統(tǒng)正常運(yùn)行時(shí)的溫度，則可能是系統(tǒng)設(shè)備中某個(gè)或某些元件發(fā)生了故障，從而使電力系統(tǒng)過(guò)載或過(guò)負(fù)荷，造成電力系統(tǒng)停運(yùn)，甚至是電網(wǎng)的崩潰。文獻(xiàn)[6]表明電力系統(tǒng)大停電具有自組織臨界特性。類(lèi)比電力系統(tǒng)過(guò)載或過(guò)負(fù)荷也可能具有基于自組織臨界理論中的協(xié)同學(xué)原理所揭示的規(guī)律。同時(shí)文獻(xiàn)[6]闡述了沙堆模型可以形象地說(shuō)明基于自組織臨界理論中的協(xié)同學(xué)原理。電力系統(tǒng)過(guò)載或過(guò)負(fù)荷也可以利用沙堆模型形象地進(jìn)行模擬仿真，對(duì)電力系統(tǒng)過(guò)載或過(guò)負(fù)荷現(xiàn)象進(jìn)行簡(jiǎn)單易懂地定性或理論方面的研究，從而可以提前判斷電力系統(tǒng)過(guò)載或過(guò)負(fù)荷現(xiàn)象，降低電力系統(tǒng)故障發(fā)生的機(jī)率，保障電力系統(tǒng)正常運(yùn)行。

沙堆模型可以形象化地說(shuō)明許多原理，并且能夠簡(jiǎn)單地模擬仿真這些原理，因而，在國(guó)內(nèi)外沙堆模型已經(jīng)被應(yīng)用在許多行業(yè)，近年來(lái)更是被越來(lái)越多地應(yīng)用到電力行業(yè)中，用來(lái)模擬仿真電力系統(tǒng)中的故障分布特性和嚴(yán)重程度。例如沙堆模型在文獻(xiàn)[6]，文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[8]中的應(yīng)用，等等。而且，根據(jù)沙堆模型的目前發(fā)展趨勢(shì)可以預(yù)測(cè)，在不久的將來(lái)，沙堆模型也可以應(yīng)用于模擬仿真電力系統(tǒng)過(guò)載或過(guò)負(fù)荷的分析研究上。

沙堆模型能夠描述電網(wǎng)的一些規(guī)律，在電力系統(tǒng)中具有潛在的應(yīng)用背景。鑒于沙堆模型在電網(wǎng)中的潛在應(yīng)用，本文主要依據(jù)沙堆模型的定義，對(duì)沙堆模型進(jìn)行仿真編程，為今后進(jìn)一步利用沙堆模型，研究其在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用打下基礎(chǔ)。

1 原理介紹

1.1 自組織理論

自組織理論是20世紀(jì)60年代末期開(kāi)始建立并發(fā)展起來(lái)的一種系統(tǒng)理論。自組織理論認(rèn)為：客觀(guān)實(shí)際存在的系統(tǒng)都是開(kāi)放系統(tǒng)，即系統(tǒng)與外界環(huán)境存在著物質(zhì)交換、能量和信息交換[6-8]。它的主要研究對(duì)象是復(fù)雜自組織系統(tǒng)（生命系統(tǒng)、社會(huì)系統(tǒng)）的形成和發(fā)展機(jī)制問(wèn)題，即在一定條件下，系統(tǒng)是如何自動(dòng)地由無(wú)序走向有序，由低級(jí)有序走向高級(jí)有序的。自組織現(xiàn)象是指把一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)部從無(wú)序變?yōu)橛行?，使其大量分子按一定?guī)律運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象。這種現(xiàn)象在自然界中是大量存在的，理論研究較多的典型實(shí)例有：貝納德（Baynard）流體的對(duì)流花紋，貝洛索夫一扎鮑廷斯基（Belousov-Zhabotinsky）化學(xué)振蕩花紋與化學(xué)波，激光器中的自激振蕩等。協(xié)同學(xué)（Synergetics）是自組織理論之一。

1.2 協(xié)同學(xué)原理

協(xié)同學(xué)亦稱(chēng)為協(xié)同論或協(xié)和學(xué)，是德國(guó)教授哈肯（Hermenn Haken）在1976年創(chuàng)立的。協(xié)同學(xué)是一門(mén)研究遠(yuǎn)離平衡態(tài)的系統(tǒng)如何通過(guò)各子系統(tǒng)之間的自我組織產(chǎn)生時(shí)間、空間或功能結(jié)構(gòu)的科學(xué)，其主要目的是在現(xiàn)實(shí)世界中探求各種不同現(xiàn)象的普遍規(guī)律[7]。協(xié)同學(xué)研究協(xié)同系統(tǒng)在外參量的驅(qū)動(dòng)下和在子系統(tǒng)之間的相互作用下，以自組織的方式在宏觀(guān)尺度上形成空間、時(shí)間或功能有序結(jié)構(gòu)的條件、特點(diǎn)及其演化規(guī)律。協(xié)同學(xué)的主要內(nèi)容就是用演化方程來(lái)研究協(xié)同系統(tǒng)的各種非平衡定態(tài)和不穩(wěn)定性（又稱(chēng)非平衡相變）。協(xié)同學(xué)認(rèn)為：世界的統(tǒng)一性不僅在于它們的微觀(guān)結(jié)構(gòu)的單一性，而且在宏觀(guān)結(jié)構(gòu)的形成中也遵從某些普遍規(guī)律[8]。同時(shí)哈肯在協(xié)同學(xué)中描述了臨界點(diǎn)附近的行為，闡述了慢變量支配原則和序參量概念，認(rèn)為事物的演化受序參量的控制，演化的最終結(jié)構(gòu)和有序程度決定于序參量。

1.3 沙堆模型

沙堆模型是自組織臨界理論中的協(xié)同學(xué)原理的形象化表述[6，8]，因而沙堆模型原理同樣遵循協(xié)同學(xué)原理。在沙堆模型中，設(shè)置漏斗功能，使每次只流下1粒沙粒。沙粒從漏斗中不斷流到平板上，隨著沙粒數(shù)的增多，逐漸在平板上形成了一種略呈圓錐形狀的沙堆，沙堆堆底不是完全對(duì)稱(chēng)的，而且堆體表面有些凸凹不均，坡角也不是一致的。在沙粒流下的初始階段，沙粒數(shù)量較少，各處坡角也比較小，這時(shí)即使坡角大的某一處發(fā)生滑坡，產(chǎn)生沙崩，對(duì)其周?chē)纳沉．a(chǎn)生了影響，增大了某些地方的坡角，但增大后的坡角一般與臨界安定角相差較遠(yuǎn)，此時(shí)還不至于引起新的沙崩。隨著流下沙粒數(shù)量的增加，沙堆各處的坡角逐漸增大，平均坡角開(kāi)始慢慢地向臨界安定角逼近，若這時(shí)發(fā)生沙堆滑坡，產(chǎn)生沙崩，情況就和上述狀況不同了。此時(shí)，某一處發(fā)生滑坡產(chǎn)生小沙崩，就會(huì)對(duì)周?chē)纳沉．a(chǎn)生影響，引發(fā)規(guī)模不同的沙崩。這種情況表明沙堆模型已經(jīng)開(kāi)始接近其自組織臨界狀態(tài)，即此時(shí)的沙堆模型很大程度上可以形象地表示協(xié)同學(xué)原理。

2 數(shù)學(xué)建模

應(yīng)用于模擬仿真的沙堆模型普遍熟知的是奧斯陸模型（Olso-model），而且這類(lèi)模型具有隨機(jī)更新規(guī)則，它的臨界坡度通過(guò)崩塌動(dòng)態(tài)調(diào)整[9]。在模型的最初的一維空間中，沙粒流入1個(gè)具有若干個(gè)位點(diǎn)的平板上。當(dāng)這個(gè)沙堆的局部邊坡在這個(gè)位點(diǎn)和它的鄰近的位點(diǎn)之間被賦予不同的高度，超過(guò)1個(gè)類(lèi)似的局部極限時(shí)，沙粒通過(guò)下滑1個(gè)沙粒傾覆到鄰近的位點(diǎn)（從位點(diǎn)i到位點(diǎn)i+1）重新分布。這種做法是由1粒沙通過(guò)降低位置i的高度并且通過(guò)這個(gè)沙粒來(lái)增加位置i+1的高度，而且，在這樣的傾覆事件中局部極限被重新選擇。這個(gè)程序被反復(fù)執(zhí)行，直到所有的位點(diǎn)都達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，在這個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)點(diǎn)，1個(gè)新的沙粒流入到它的左側(cè)。由于這種更新規(guī)則的隨機(jī)化，在模型中平均臨界坡度實(shí)際上自組織到1個(gè)固定的值。這個(gè)模型根據(jù)局部極限可以很容易地用公式表示成zi=hi-hi+1[9]的形式。如果是這樣的話(huà)，其規(guī)則如下所示：

當(dāng) zi＞zc[9]時(shí)，

在這個(gè)表達(dá)公式中，模型的最初的沙堆性質(zhì)不是直接地顯而易見(jiàn)的，然而，將其延伸到較高維數(shù)就會(huì)變得簡(jiǎn)單易懂。這種模型的較高維空間也可以有效地應(yīng)用在沙堆上，但在以下的敘述中，附加的維數(shù)將要考慮到空氣的特性，這種傾覆規(guī)則最簡(jiǎn)單可能延伸（方程（1））到二維，同時(shí)包括下列的更新規(guī)則[9]：

適合于這種二維空間的更新發(fā)生在x軸的x=0時(shí)，在各自的崩塌后，它的值被增加1個(gè)（例如，z0，j→z0，j+1[9]）。在y軸，周期的邊界條件是設(shè)定的，而在x軸的邊界條件是公開(kāi)的。

3 程序?qū)崿F(xiàn)

設(shè)定沙粒流入具有n×n個(gè)位點(diǎn)的板上，沙粒數(shù)量為l，規(guī)定每個(gè)位點(diǎn)的沙粒數(shù)不能超過(guò)4個(gè)，若有1個(gè)位點(diǎn)的沙粒數(shù)超過(guò)了4個(gè)，則遵循就近原則，沙粒數(shù)超過(guò)4個(gè)的位點(diǎn)將選擇和這個(gè)位點(diǎn)最近的位點(diǎn)，將多余的1個(gè)沙粒傾覆到它最近的位點(diǎn)，這個(gè)程序被反復(fù)執(zhí)行，直到所有的位點(diǎn)都滿(mǎn)足沙粒數(shù)不超過(guò)4個(gè)，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。沙堆模型的程序流程圖如圖1所示。

圖1 沙堆模型的程序流程圖Fig.1 Program flow chart of sand pile model

根據(jù)上面的程序流程圖可以很容易地編寫(xiě)出沙堆模型的程序，其部分源程序如下所示：

function sp=sandpile（n）

temp=0;

clc

k=-1;

l=0;

xtemp=linspace（k，k，100）;

ytemp=linspace（k，k，100）;

num=n;

%Numbers of grid

Sarray=zeros（num）;

while（l＜500）

xgrid=fix（rand*（num+0））+1;

ygrid=fix（rand*（num+0））+1;

Sarray（xgrid，ygrid）=Sarray（xgrid，ygrid）+1;

if Sarray（xgrid，ygrid）＞4

temp=1;

xtemp（1）=xgrid;

ytemp（1）=ygrid;

while（temp＞0）

xgrid=xtemp（1）

ygrid=ytemp（1）

if Sarray（xgrid，ygrid）＞4

Sarray=Saydear（num，xgrid，ygrid，Sarray）

[xtemp，ytemp，temp]=axidear（xgrid，ygrid，xtemp，ytemp，Sarray，temp）;

end

[xtemp，ytemp]=arrary（xtemp，ytemp，k）;

temp=temp-1;

end

end

l=l+1;

Sarray;

End

…………………………

根據(jù)編寫(xiě)的沙堆模型的程序，可以方便地計(jì)算沙堆模型。例如，設(shè)定板子上的位點(diǎn)數(shù)n=10，沙子的沙粒數(shù)量為500粒。執(zhí)行程序后，可以很容易得到此種情況下沙粒的分布特性，其分布特性簡(jiǎn)單易懂地表明了沙堆模型具有基于自組織臨界理論的協(xié)同學(xué)原理所揭示的規(guī)律。給定其他位點(diǎn)數(shù)和沙粒數(shù)，該沙堆模型同樣具有一致的模擬結(jié)果。所以說(shuō)沙堆模型可以很好地形象地說(shuō)明協(xié)同學(xué)原理。

4 結(jié)果討論

根據(jù)給定的沙堆模型的計(jì)算算例，總結(jié)出沙粒的分布特性是符合協(xié)同學(xué)原理的。其相似的分布特征可以在電力系統(tǒng)大停電數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)。類(lèi)比在電力系統(tǒng)過(guò)載或過(guò)負(fù)荷的數(shù)據(jù)中，具有與沙堆模型相似的分布特征，則沙堆模型所揭示的規(guī)律也能夠較好地反映電網(wǎng)的過(guò)載或過(guò)負(fù)荷過(guò)程，由此可以根據(jù)實(shí)際電網(wǎng)過(guò)載或過(guò)負(fù)荷前的有限數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)電網(wǎng)過(guò)載或過(guò)負(fù)荷的發(fā)生時(shí)間，為防止由于電力系統(tǒng)過(guò)載或過(guò)負(fù)荷引起的故障提供較充足的處理時(shí)間，從而可以減少故障發(fā)生的概率。

應(yīng)當(dāng)指出，沙堆模型能夠描述電網(wǎng)的一些規(guī)律，而本文所做的工作只是初步的，給出了沙堆模型的程序，演算了程序的執(zhí)行過(guò)程，分析了其分布特性，說(shuō)明了沙堆模型可以形象地闡明協(xié)同學(xué)原理的自組織過(guò)程，為其在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)。但并沒(méi)有過(guò)多地和電力系統(tǒng)進(jìn)行聯(lián)系，沙堆模型在電網(wǎng)大停電研究中的應(yīng)用也是結(jié)合國(guó)內(nèi)外近幾年的發(fā)展進(jìn)行定性的闡述，其在電力系統(tǒng)過(guò)載或過(guò)負(fù)荷上的應(yīng)用，只是提出了一種應(yīng)用可能性，因此沙堆模型在電力系統(tǒng)中的實(shí)用性需要今后做進(jìn)一步的深入研究。

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