趙萬春1，師 君

(1.中國人民解放軍駐157廠軍事代表室，四川 彭州 611930；2.電子科技大學 電子工程學院，成都 610054)

1 引 言

陣列理論廣泛應用于雷達、聲納及通信等領域,天線方向圖[1-3]描述的陣列天線的分辨率特征是陣列天線設計的重要指標之一。數(shù)學上，天線方向圖的分析可看作帶參數(shù)的振蕩積分的求解問題。但是，由于振蕩積分相位函數(shù)具有多樣性，可能為連續(xù)函數(shù)、周期函數(shù)或隨機函數(shù)，該振蕩積分的求解較為困難。目前，方向圖的優(yōu)化主要采用基于統(tǒng)計模型的優(yōu)化方法，如模擬退火算法(SA)[4-8]及遺傳算法(GA)[9-13]等。雖然上述方法可以對天線旁瓣進行優(yōu)化設計，但無法揭示天線陣元布局與方向圖之間的直接聯(lián)系。另外，對于高維陣列，當天線陣元數(shù)目較多時，上述方法運算量較大。

在實際工程中，陣列天線陣元的數(shù)目有限，振蕩積分的求解問題可近似為離散有限長復指數(shù)和的計算。通過引入分布函數(shù)的概念，本文介紹了離散有限長復指數(shù)和的計算方法，并將該方法應用于二維陣列天線方向圖的分析，揭示了二維陣列天線陣元布局與其方向圖的對應關系。然后，利用該關系分析了滿陣圓形陣列、稀疏圓形陣列及混合圓形陣列的布局與天線方向圖的關系，驗證了該分析方法的正確性。

在上述研究的基礎上，本文進一步分析了加權對天線方向圖的影響，并在此基礎上提出了一種基于分布函數(shù)的圓形陣列方向圖優(yōu)化方法。該方法通過對不同半徑陣元權重的設計使得其對應的天線方向圖達到與期望的窗函數(shù)相近的效果。

2 離散有限長復指數(shù)和的計算

陣列天線方向圖優(yōu)化問題數(shù)學上可以看作是振蕩積分求解問題，由于該問題分析較為復雜，目前主要采用駐定相位原理進行近似求解。但是對于離散有限長信號，其指數(shù)和的計算可以采用本節(jié)給出的方法進行計算。

假設已知離散有限長信號f(n)=(0,1/4,2/4,0,1/4,1/4)，需求解該信號的復指數(shù)和，其公式可表示為

ej·2π·0+ej·2π·1/4+ej·2π·1/4

(1)

根據(jù)加法的交換律和結合律，式(1)可改寫為

1·ej·2π·2/4+0·ej·2π·3/4(2)

式中，系數(shù)2、3、1和0表示各復指數(shù)項出現(xiàn)的頻率(概率意義上)。因此，通過引入密度(分布)函數(shù)D(i)={2,3,1,0}的概念，可得到：

(3)

(4)

類似地，帶有參數(shù)的離散有限長復指數(shù)和可表示為

(5)

根據(jù)上面的例子可看出，帶參數(shù)的離散有限長復指數(shù)和可通過對其分布函數(shù)進行傅里葉變換得到，該性質為本文提出的圓形陣列方向圖優(yōu)化方法的技術。實際上，采用Lebesgue測度等方法，該性質可很容易地擴展到連續(xù)函數(shù)的振蕩積分的計算。由于離散有限長復指數(shù)和的性質已經滿足陣列優(yōu)化問題的需要，連續(xù)函數(shù)的振蕩積分將在其它的研究中詳細論述。

3 陣列天線方向圖

天線方向圖是陣列天線的重要指標，反映了天線輻射電磁波在空間中的分布情況。陣列天線設計的一個關鍵問題為通過對陣型、陣元布局及權重系數(shù)的優(yōu)化以獲得期望的天線方向圖。本節(jié)將利用上節(jié)介紹的計算方法推導二維陣列天線的方向圖，并分析幾種典型圓形陣列的方向圖。

3.1 信號模型

二維陣列天線的幾何關系如圖1所示。

圖1 陣列天線幾何結構

假設陣元中心相對目標中心的位置為

(6)

式中，x0、y0和z0表示該位置在x軸、y軸和z軸的分量。則二維陣列相對目標中心的位置可表示為

(7)

(8)

式中，ΩSA描述了二維陣列天線相對觀測場景的位置。

(9)

(10)

通過接收系統(tǒng)去載波處理，則陣列天線的接收回波可表示為

(11)

式中，λ為載波波長。

3.2 方向圖

利用上節(jié)建立的信號模型，二維陣列天線的方向圖可表示為

(12)

(13)

(14)

(15)

θ?r/R0

(16)

(17)

根據(jù)式(8)，有：

(18)

則式(17)可寫為

(19)

(20)

(21)

(22)

圖2 二維陣列與方向圖的關系

對于圓形陣列，由于其陣列關于圓形對稱(或在統(tǒng)計學意義上對稱)，其任意方向的一維方向圖可完全描述該陣列的二維方向圖。

3.3 混合圓形陣列分析

上一節(jié)建立了任意陣列天線陣元布局和其對應的天線方向圖的對應關系，該對應關系可用于分析各種平面陣列的方向圖。由于篇幅所限，本節(jié)以混合陣列為例，說明該方法的有效性?；旌详嚵衃14]是一種新型陣列天線結構，本文將考慮一種較為簡單的混合圓形陣列，即陣列中部為滿陣子陣列，周圍為稀疏環(huán)形陣列，如圖3和圖4所示。

圖3 混合圓形陣列

圖4 混合圓形陣列分布函數(shù)

圖4為混合圓形陣列天線的方向分布函數(shù)?？梢钥闯觯摲植己瘮?shù)可看作某窗函數(shù)被噪聲調制后的結果，該窗函數(shù)可在一定程度上降低方向圖的旁瓣，而噪聲則在天線方向圖中引入了隨機性。圖5為混合圓形陣列天線的二維方向圖與一維方向圖，其峰值旁瓣比和積分旁瓣比分別為-21.77 dB(存在隨機性)和-15.45 dB。而圓形滿陣元陣列的其峰值旁瓣比和積分旁瓣比分別為-15.87 dB和-13.94 dB。因此，混合圓形陣列可在一定程度上降低圓形陣列的旁瓣，達到節(jié)省天線陣元并優(yōu)化陣列天線的方向圖的目的。

圖5 混合圓形陣列某方向的方向圖

4 基于分布函數(shù)的圓形陣列優(yōu)化

根據(jù)上面的分析可以看出陣列分布函數(shù)與方向圖存在對應關系，因此，可通過對分布函數(shù)的設計實現(xiàn)對方向圖的優(yōu)化。進一步分析表明，通過陣元分布優(yōu)化對方向圖的優(yōu)化效果與改變陣元權系數(shù)對方向圖的優(yōu)化效果等效。本節(jié)將通過對陣列系數(shù)的設計實現(xiàn)基于分布函數(shù)的圓形陣列優(yōu)化。

4.1 權系數(shù)對方向圖的影響

(23)

相應地，其方向圖可表示為

(24)

假設所有權系數(shù)均為自然數(shù)，則式(24)可表示為

(25)

該公式的物理意義如圖6所示，表明在某個陣元上調制權重系數(shù)w相當于在該位置放置w個權重系數(shù)為1的陣元。

圖6 權系數(shù)對方向圖的影響

當權重系數(shù)為正實數(shù)時，通過將式(25)乘以某個足夠大的正實數(shù)，并對所有權重系數(shù)進行取整近似，可很容易地將上述結論擴展到正實數(shù)的情況，即改變權重系數(shù)即可改變陣列天線陣元的等效分布。另外，與改變陣元數(shù)目相比，加權的方法可為任意正實數(shù)，更便于設計實現(xiàn)。下面將給出一種基于分布函數(shù)的圓形陣列天線優(yōu)化方法。

4.2 基于分布函數(shù)的優(yōu)化方法

由于圓形陣列關于圓點對稱，如果其權系數(shù)也關于圓點對稱，則其方向圖關于圓點對稱，此時，只需對其一維方向圖優(yōu)化即可實現(xiàn)對該圓形陣列的優(yōu)化。因此，本文假設其權系數(shù)關于圓點對稱，即其為半徑的函數(shù)r，而與角度無關θ。

假設該權重函數(shù)為w(r)，則加權累積函數(shù)的積分(即加權分布函數(shù)的積分，其關系于概率密度函數(shù)和概率累積函數(shù)的關系近似)Cwf(y)可表示為

顯然，Cwf(y)對應的加權分布函數(shù)為偶函數(shù)。

為了實現(xiàn)對圓形陣列的優(yōu)化，可通過對權重系數(shù)w(r)的設計，使得其對應的加權分布函數(shù)滿足特定的窗函數(shù)，即：

(28)

式中，ω(u)為期望的窗函數(shù)，如漢明窗、Chebyshev窗等。

由于Cwf(y)為偶函數(shù)，只需考慮y≤0的情況，則式(28)可表示為

(29)

為了求解權系數(shù)w(r)，可將式(29)離散化為矩陣形式：

G·W=C

(30)

(31)

(32)

(33)

式中，W為離散化的權系數(shù)向量，C為離散化的期望窗函數(shù)，G為離散化的積分矩陣。則最優(yōu)化權系數(shù)向量可求解為

W=G-1·C

(34)

式中，G-1為G的逆矩陣。

假設期望的窗函數(shù)為Chebyshev窗，其旁瓣高度為-70 dB旁瓣，可計算得到其對應的權系數(shù)。

圖7 優(yōu)化加權分布函數(shù)

圖8 一維方向圖

從圖7可以看出，其形狀與Chebyshev窗函數(shù)較為相似。從圖8可以看出，雖然該函數(shù)的峰值旁瓣比為-30.25 dB，高于Chebyshev窗(但優(yōu)于前面分析的各種圓形陣列)，但在第二旁瓣處出現(xiàn)了陡降，達到了將近-50 dB。另外，由于存在旁瓣的陡降，其積分旁瓣比為-30.44 dB，與峰值旁瓣比接近，要遠遠優(yōu)于其它各種圓形陣列(如混合圓形陣列、圓形滿陣元陣列等)。

5 結 論

通過引入分布函數(shù)，本文分析了二維陣列天線的方位圖，可得到如下結論：

(1)二維陣列任意方向的方向圖為其在該方向分布函數(shù)的離散傅里葉變換，該分布函數(shù)可通過統(tǒng)計其投影在某一方向的臨近區(qū)域處陣元數(shù)目獲得；

(2)該方法可較容易地分析各種二維陣列的方向圖特征；

(3)通過改變陣元權重系數(shù)即可改變陣列天線對應的分布函數(shù)，進而改變該陣列天線的方向圖，該方法與通過改變陣列天線陣元分布的方法等效；

(4)利用分布函數(shù)可實現(xiàn)對圓形陣列陣元權重系數(shù)的優(yōu)化，使其近似滿足特定的窗函數(shù)，從而大大改善圓形陣列的波束性能。

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