昌 霞，孫 瑜，冉 婕，李 靜，章秀君

(云南師范大學(xué) 計算機科學(xué)與信息學(xué)院，云南 昆明650092)

在很長的一段歷史時期內(nèi)，邏輯學(xué)中討論的主要是二值邏輯，隨著人工智能與認知科學(xué)等的不斷深入，人們認識到用二值邏輯來模擬人的思維是遠遠不夠的。因此，非經(jīng)典邏輯的產(chǎn)生成為必然。

時態(tài)邏輯包括命題時態(tài)邏輯和謂詞時態(tài)邏輯[1]，在計算機科學(xué)中應(yīng)用較為廣泛的命題線性時態(tài)邏輯系統(tǒng)PLTL，是由 PNUELI A和 MANNA Z給出的。PLTL包含可數(shù)無窮多個命題變元，以及邏輯聯(lián)結(jié)詞┐(否定)、∧(合 取)、∨(析 取)、?(蘊 含)與≡(等 價)和 時 態(tài) 算 子 □(意為“任一時刻”)、◇(意為“某一時刻”)、○(意為“下一時刻”)與＞(意為“直到”)[2]。模糊邏輯從研究模糊性出發(fā)，把元素屬于集合的觀念模糊化，承認論域上存在著既是又非的元素；它又把屬于概念量化，承認論域上的不同元素對同一集合有不同的隸屬度。模糊集合論著力研究模糊推理的規(guī)律，在{0，1}中取值，恰當(dāng)?shù)靥幚砟：?，以適應(yīng)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展。但模糊邏輯在表達知識的過程中并沒有與時間相關(guān)聯(lián)，將時態(tài)算子加入模糊描述邏輯中也是一個非常值得探討的課題。因此，本文在模糊描述邏輯中增加適當(dāng)?shù)臅r態(tài)算子□、◇和○得到一種新的時態(tài)模糊描述邏輯。

1 時態(tài)邏輯基礎(chǔ)和模糊描述邏輯

時態(tài)邏輯是關(guān)于隨著時間變化而不斷改變其值的動態(tài)變元(稱為時序變元)的一種模態(tài)邏輯。它除含有經(jīng)典邏輯的邏輯聯(lián)結(jié)詞和量詞外，還含有一些時態(tài)算子。時態(tài)邏輯包括命題時態(tài)邏輯和謂詞時態(tài)邏輯，選擇不同的時態(tài)算子將導(dǎo)致不同的時態(tài)邏輯系統(tǒng)。在時態(tài)邏輯中，時間的結(jié)構(gòu)可以是線性的或分支的、離散的或連續(xù)的、基于時間點的或時區(qū)的。基于不同的應(yīng)用背景，可采用不同的時間結(jié)構(gòu)。

針對模糊知識處理，Umberto Straccia結(jié)合模糊邏輯對傳統(tǒng)描述邏輯ALC進行了擴充，提出了一種模糊描述邏輯FALC，從而使得描述邏輯能表示和推理模糊或不精確知識[3]。在之后的模糊描述邏輯研究中，李言輝提出了一種支持?jǐn)?shù)量約束的擴展模糊描述邏輯EFALCN；Stoilos提出了比EFALCN表達能力更強的兩種模糊描述邏輯f-SHIN和f-SHOIN，并且給出了f-SHOIN的ABox約束下的可滿足性推理算法；蔣運承老師等人提出了一種新的面向語義Web語義表示的模糊描述邏輯FSHOIQ(fuzzy SHOIQ)[4]。

2 時態(tài)模糊描述邏輯

時態(tài)模糊描述邏輯是對模糊邏輯的擴充，模糊邏輯是針對二值邏輯表達能力不完備的一種擴展，是為解決現(xiàn)實世界中存在的模糊現(xiàn)象而發(fā)展起來的,它考慮被討論概念屬于某一類的程度,一個命題可能亦此亦彼,存在部分真和部分假。例如,張三身高1.74 m，在經(jīng)典邏輯中若把1.78 m定為高個子，那么張三就不是高個子[5]。事實上，經(jīng)常會這樣說：“張三個子比較高”，“比較高”這樣的不精確信息在二值邏輯中就無法表達。除帶模糊信息之外，在現(xiàn)實生活中，許多的信息具有時間屬性，比如說，有一個命題是“以后我將成為名人”[5]，在這個命題里，“名人”具有模糊性，并且“以后”是個時間屬性，所以主要來研究在已有的模糊邏輯的基礎(chǔ)上，增加時態(tài)算子□、◇和○，構(gòu)建時態(tài)模糊描述邏輯的語法、語義以及形式化公理體系。本文所研究的模糊描述邏輯是基于vague集的模糊描述邏輯，所增加的時態(tài)算子□表達的是在過去的任一時刻，◇表達的是在過去的某一時刻，比如指已過去的某一天，而○表達的是下一時刻，延伸為未來。

2.1 vague集

vague集[6]有獨特的特征來處理vague數(shù)據(jù)。與普通集合相比，它具有更好的表達能力。

定義1 設(shè)U是論域，u是論域U上的元素，U上的vague集V由真隸屬函數(shù)tV和假隸屬函數(shù)fV來刻畫。其中tV(u)是從支持u的證據(jù)中導(dǎo)出的u的隸屬度下界；而fV(u)是從反對u的證據(jù)中得到的u的否定隸屬度下界。tV(u)和 fV(u)都將區(qū)間[0，1]上的實數(shù)值與 U中的每一個元素相關(guān)聯(lián)。 tV：U→[0，1]，fV：U→[0，1]，tV(u)+fV(u)≤1。

設(shè) U={u1，u2，…，un}那么論域 U 上的 vague集 V 可以表示為：

其中，tV(ui)≤μV(ui)≤1-fV(ui)，?ui∈U，1≤i≤n。

這種方法是把u的隸屬度函數(shù)限定到[0，1]的子區(qū)間[tV(u)，1-fV(u)]上。u的隸屬函數(shù) μV(u)的隸屬值通過tV(ui)≤μV(ui)≤1-fV(ui)來限定。與u相關(guān)知識的精確差異度用1-fV(u)-tV(u)來表示。如果差異度較小，與u相關(guān)的知識就相對地更精確。如果tV(u)等于1-fV(u)，與u相關(guān)的知識就是精確的，此時，vague集退化為模糊集，其中如果 tV(u)和 1-fV(u)都等于 1或 0，則vague集退化為普通集合。例如，模糊集{0.6/u}可以表示成vague集{[0.6，0.6]/u},普通集合{u}也可以用 vague 集{[1，1]/u}表示[6]。

2.2 語法

時態(tài)模糊描述邏輯的語法是模糊描述邏輯ALCN的語法的擴充。

定義2 在時態(tài)模糊描述邏輯中,概念定義為：

(1)原子概念A(yù)、全概念 ┬、和空概念⊥都是概念；

(2)如果 C和 D 是概念，則┐C、C∩D、C∪D、□C、◇C、○C都是概念；

(3)如果R為關(guān)系，C為概念，則?R.C和?R.C都是概念。

定義3 在T-FALC中，關(guān)系定義為：

(1)原子關(guān)系P是關(guān)系；

(2)如果R是關(guān)系，則□R、◇R、○R也是關(guān)系。

定義 4 模糊術(shù)語公理有概念包含A?C[4]，其中A是原子概念，C是任意概念。

定義5 在時態(tài)模糊描述邏輯中，公式定義為(用<>來表達公式)：

(1)形如<π[m，n]>(又寫作 π?[m，n])的表達式，這類是不帶變元的，其中 π 為 C(a)、R(a，b)、□C(a)、◇C(a)、○C(a)、□R(a，b)、◇R(a，b)或 ○R(a，b)；a 和 b 是 個 體常元，□、◇和○為時態(tài)算子，0≤m≤n≤1；C為概念，R為關(guān)系，稱這樣的公式為斷言公式；

(2)形如<π[m，n]>(又寫作 π?[m，n])的表達式，它們是 帶 變 元 的 ， 其 中 π 為 C(x)、R(x，y)、 □C(x)、 ◇C(x)、○C(x)、□R(x，y)、◇R(x，y)或○R(x，y)；x 和 y 是個體變元，□、◇和○為時態(tài)算子，0≤m≤n≤1；C為概念，R為關(guān)系，稱這樣的公式為一般公式；

(3)斷言公式和一般公式都是公式；

(4)假設(shè) ψ 和 φ 是公式，形如┐ψ、ψ∧φ、ψ∨φ、φ→ψ、?xψ、?yψ 都稱為公式；

(5)假設(shè)φ是公式，則□φ、◇φ、○φ也是公式。

例如，<藍色（天空）[0.6,0.8]>、<優(yōu)秀學(xué)生(張三）[0.4,0.5]>、<◇天氣晴朗(昆明)[0.7,0.9]>、<◇萬里無云(昆明)[0.6,0.75]→◇天氣晴朗(昆明)[0.6,0.75]>，這些都為T-FALC的公式。

在該系統(tǒng)中，時間隱含了在某個可能世界里面狀態(tài)間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，一個時間片對應(yīng)一個狀態(tài)，對于某個概念或個體而言，它從一個狀態(tài)u到另一個狀態(tài)v，依賴于在狀態(tài)u和v處是否分別滿足公式集。例如，一塊農(nóng)田，現(xiàn)在處于輕微干旱階段，若當(dāng)前時期降雨量非常小，則該農(nóng)田到下一階段干旱現(xiàn)象會加重[7]。這樣的一個簡單狀態(tài)轉(zhuǎn)換可以描述為：當(dāng)前狀態(tài)u的公式集為{Drought(a)[0.2,0.4]，Rainfall(a)[0.1,0.3]}，下一狀態(tài) v 的公式集為{Drought(a)[0.5,0.7]}，其中Drought是一個概念（表示對于某個具體的個體的地理狀態(tài)），a代表一個個體。從狀態(tài)u到狀態(tài)v的推理在后面會詳細說明，通過當(dāng)前狀態(tài)u中的公式(前提條件)推導(dǎo)出下一狀態(tài)可能出現(xiàn)的概念的隸屬度，來綜合決策下一狀態(tài)具有哪些屬性（概念）。

2.3 語義

時態(tài)模糊描述邏輯的語義模型用一個三元組K=(Δ，D，I)來表示：

(1)非空集合Δ，是該系統(tǒng)中所討論的所有個體對象的集合，又稱為論域；

(2)非空集合D，是時態(tài)模糊描述邏輯模型中所有狀態(tài)的集合，稱為狀態(tài)集；

(3)對該系統(tǒng)中的個體常元、概念和關(guān)系加以解釋的映射 I。

在模糊描述邏輯中的語義是將概念解釋為一定論域的模糊子集，關(guān)系是該論域上的模糊二元關(guān)系[3，8]。本文應(yīng)用的是 vague 模糊解釋 FI=(ΔFI，·FI)，其中，解釋論域ΔFI是非空的個體集合，·FI是模糊解釋函數(shù)。其中解釋函數(shù)·FI是將概念解釋為論域 ΔFI的模糊子集，關(guān)系是該論域上的模糊二元關(guān)系。模糊解釋的定義為：

定義6 對于時態(tài)模糊描述邏輯時態(tài)模糊描述邏輯中的一個狀態(tài) α，該狀態(tài)下的模糊解釋為 FI(α)=(ΔFI(α)，·FI(α))， 其 中 ΔFI(α)是 解 釋 論 域 ， ·FI(α)為 解 釋 函 數(shù),并 且 解釋函數(shù)·FI(α)滿足以下幾點：

(1)對任意 個體 a 和 b，如果 a≠b，則 aFI(α)≠bFI(α)；

(2)對任意概念 C，解釋函數(shù)·FI(α)將 C映射為一個隸屬函數(shù)，即 CFI(α)：ΔFI(α)→[α，β]；

(3)對任意關(guān)系 R，解釋函數(shù)·FI(α)將R映射為一個隸屬函數(shù)，即 RFI(α)：ΔFI(α)×ΔFI(α)→[α，β]。 其中 α∈[0，1]，β∈[0，1]，α 和 β分別是從 vague集的真隸屬函數(shù) tv和假隸屬函數(shù)fv中得到的隸屬度。在狀態(tài)α下的概念C的模糊解釋 CFI(α)是相對于 FI(α)的模糊概念集 C的隸屬函數(shù) ， 例 如 d∈ΔFI(α)是 論 域 ΔFI(α)的 一 個 個 體 ， 則 CFI(α)(d)表示在模糊解釋FI(α)下個體d屬于模糊概念C的程度。

定義7 時態(tài)模糊描述邏輯概念和關(guān)系的語義如下(對任意 c，d∈ΔFI(α))：

其中χ，δ代表兩個不同的狀態(tài)，滿足在其所屬世界里直接可達關(guān)系，π是指□和◇。例如，現(xiàn)有兩個狀態(tài)u和v，在 u 狀態(tài)里只有一個公式{□Tall(張三)[0.7,0.9]，Tall(李四)[0.6,0.7]}，在 v狀態(tài)里有兩個公式{Tall(張三)[0.75,0.85]，Height(張三)[0.4,0.7]}，在通過 u狀態(tài)和 v狀態(tài)里，只有 Tall(張三)是相同的概念描述，就可以通過第9個算式對該概念的隸屬區(qū)間加以修正。

3 一個簡單的知識實例

現(xiàn)給出一個簡單的描述某地天氣狀況的實例，在這里總共有 4個狀態(tài)，依次定義為 t1，t2，t3，t4，再假設(shè)描述的地區(qū)對象為昆明，則通過專家系統(tǒng)可以獲取天氣在t1狀態(tài)下，有公式集{fine(a)[0.5,0.8]，wind(a)[0.35,0.55]，overcast(a)[0.45,0.6]}；t2 狀 態(tài) 下 ， 有 {fine(a)[0.45,0.65]，wind(a)[0.3,0.5]，cloud(a)[0.4,0.6]}；t3 狀 態(tài) 下 ， 有 {wind(a)[0.35,0.65]，rain(a)[0.3,0.5]，cloud(a)[0.4，0.6]}；t4 狀 態(tài) 下 ， 有 {rain(a)[0.4,0.7]，overcast(a)[0.45,0.6]}。每個狀態(tài)都有相應(yīng)的公式集，通過相應(yīng)的推理規(guī)則，可得到下一狀態(tài)的概念隸屬度。將所得到的概念與系統(tǒng)已有的同概念進行隸屬區(qū)間比較，綜合判定后得到下一狀態(tài)會具有的屬性（概念）。假設(shè)在t1狀態(tài)下，通過相應(yīng)的推理機制可得到 wind(a)[0.3,0.45]，overcast(a)[0.1,0.3]，fine(a)[0.2,0.4]，則通過將這些結(jié)論與 t2狀態(tài)下的公式集進行比較，可簡單地對t2狀態(tài)下公式進行修正，得到wind(a)[0.3,0.45]。

本文首先分析了現(xiàn)有描述邏輯的研究現(xiàn)狀,特別是時態(tài)邏輯和模糊描述邏輯，針對現(xiàn)實生活中，有許多的信息具有時間屬性并且?guī)в心：?、不精確的特點，在時態(tài)邏輯和模糊描述邏輯基礎(chǔ)上，提出一種新的描述邏輯，即時態(tài)模糊描述邏輯，在此基礎(chǔ)上給出了時態(tài)模糊描述邏輯的語法和語義。進一步的工作主要是完善語法、語義及知識庫的解釋，并研究時態(tài)模糊描述邏輯的推理機制，包括斷言公式集的一致性推理以及證明該可滿足性推理算法的正確性。

[1]ZADEH L A.Outline of a new approach to the analysis of complex systems and decision processes[J].IEEE Trans.Systems，Man and Cybernetics，1973(1)：28-44.

[2]玥璇.形式語義學(xué)簡介[EB/OL].[2006-03-03].http：//lunarxuan.bokee.com/cat.10070356.html.

[3]李龍澍，凌成.基于時態(tài)邏輯的知識表示研究[J].安徽大學(xué)學(xué)報，2002(6)：14-17.

[4]蔣運承，史忠植，湯庸，等.面向語義Web語義表示的模糊描述邏輯[J].軟件學(xué)報，2007(6)：1257-1269.

[5]王駒，蔣運承，唐素勤.一種模糊動態(tài)描述邏輯[J].計算機科學(xué)與探索，2007(2)：216-227.

[6]STRACCIA U.Reasoning within fuzzy description logics[J].Journal of Artificial Intelligence Research，2001(14)：137-166.

[7]王國俊.非經(jīng)典數(shù)理邏輯與近似推理[M].北京：科學(xué)出版社，2000.

[8]王星，馬宗民，呂艷輝，等.Vague ALC(D)：一種基于 vague集的模糊描述邏輯[J].東北大學(xué)學(xué)報，2008(11)：1556-1580.