一類解析函數(shù)的系數(shù)不等式

2010-10-09 07:49:38趙翠新

赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)·自然科學(xué)版 2010年2期

關(guān)鍵詞：書海赤峰內(nèi)蒙古

趙翠新

（赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰 024000）

一類解析函數(shù)的系數(shù)不等式

趙翠新

（赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰 024000）

本文引進(jìn)新解析函數(shù)類ZBλ（α，β，μ），利用從屬關(guān)系和初等方法得到類中函數(shù)的系數(shù)不等式.

近于凸函數(shù)；Fekete-Szeg?不等式；系數(shù)估計(jì)

1 引言

假設(shè)本文中出現(xiàn)的參數(shù)λ,α,β均滿足:λ＞-1,α∈[0，1）, β∈[0，1）.設(shè)A表示在單位圓盤U={z:|z|＜1}內(nèi)解析的函數(shù)f (z)=z+a2z2的全體構(gòu)成的族.以p(α)表示在U內(nèi)的α級(jí)正實(shí)部函數(shù)族，用S*(α)和K(α)分別表示α級(jí)星象函數(shù)族和α級(jí)凸象函數(shù)類：

設(shè)f(z)∈A，0≤β＜1，若存在g(z)∈S*(α)，使得Re[(zf'(z))/g (z)]＞β，則稱f(z)屬于β級(jí)近于凸函數(shù)類C(α,β).C(0,0)=C為熟知的近于凸函數(shù)類.

設(shè)f(z)∈A，F(xiàn)ekete-Szeg?首先提出A上的系數(shù)泛函|a3-ξa22|，并得到精確估計(jì)

且對(duì)任意的ζ(0≤ζ＜1)等號(hào)均能成立.

文[1]中引進(jìn)如下兩類函數(shù)：

定義A[1]若函數(shù)f(z)∈A滿足條件

定義B[1]若存在g(z)∈Sλ(α)，使得函數(shù)f(z)∈A滿足條件

則稱f(z)在Bλ(α,β)中.

文[1]和[3]分別討論了函數(shù)類Bλ(α,β)的極值問題和系數(shù)不等式.

本文引進(jìn)函數(shù)類：

定義2.1設(shè)μ∈R(-∞,1]，若存在g(z)∈Bλ(α,β)，使得f (Z)∈A滿足下列條件

則f(z)∈ZBλ(α,β,μ)，其中w=Dλf(z)

本文中利用ZBλ(α,β,μ)與Bλ(α,β)之間的關(guān)系，結(jié)合從屬關(guān)系和初等方法得到函數(shù)類ZBλ(α,β,μ)的系數(shù)估計(jì)和Fekete-Szeg?不等式.

2 函數(shù)類ZBλ(α,β,μ)的系數(shù)估計(jì)

定理1若f(z)=z+a2z2+…∈ZBλ(α,β,μ)，則有

證設(shè)f(z)=z+a2z2+…∈ZBλ(α,β,μ)，由定義2.1，存在g(z) =z+b2z2+…∈Bλ(α,β)使得（2.1）式成立.

比較(1)式兩邊系數(shù)得

由（2.3）可知，要想估計(jì)|an|只要求出|bn|的上界即可.由文[1]中定理5.1可知

由（2.3）、（2.4）式即得（2.2）式成立.證畢.

推論2.1若f(z)=z+a2z2+…∈ZB0(α,β,μ)，則有

3 函數(shù)類ZBλ(α,β,μ)的Fekete-Szeg?問題

引理3.1[3]設(shè)w(z)=d1z+d2z2+…在U={z:|z|＜1}內(nèi)解析且滿足|w(z)|≤|z|，則

引理3.2[3]設(shè)g(z)=z+b2z2+…∈Bλ(α,β),則對(duì)于α∈[0,1),

β∈[0,1),λ≥max{-α,-β}和任意實(shí)數(shù)μ，有

定理3.1若f(z)=z+a2z2+…∈ZBλ(α,β,μ)，則有

現(xiàn)在，Réhahn在越南安家了，他正在拍攝一個(gè)名為《寶貴遺產(chǎn)》的重要項(xiàng)目。他的目標(biāo)是拍下越南境內(nèi)所有54個(gè)民族的照片，記錄少數(shù)民族的服飾并了解他們的風(fēng)俗傳統(tǒng)。到目前為止，他已經(jīng)拍了49個(gè)民族的照片，接下來還會(huì)有更多作品。他在越南會(huì)安經(jīng)營著一個(gè)與“寶貴遺產(chǎn)”同名的文化博物館，其中展示了他拍攝的照片，以及民族服飾和手工制品。