王明剛，許 華

（南京師范大學(xué)泰州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，江蘇 泰州 225300）

利用數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維能力

王明剛，許 華

（南京師范大學(xué)泰州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，江蘇 泰州 225300）

結(jié)合自己在講授數(shù)學(xué)建模課程中遇到的一些實(shí)例并總結(jié)前人的研究碩果，針對(duì)以往相關(guān)研究的不完整性，與現(xiàn)行的新課程改革相結(jié)合，針對(duì)如何充分利用數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力進(jìn)行全面的研究，分別對(duì)六種不同的思維能力，運(yùn)用設(shè)計(jì)不同的教學(xué)情境，來(lái)引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

數(shù)學(xué)建模；課堂教學(xué)；思維能力；課程改革

1 .引言

數(shù)學(xué)建模這門(mén)課程將抽象的、枯燥的定理公式滲透到活生生的實(shí)際問(wèn)題中，要求學(xué)生積極參與數(shù)據(jù)的設(shè)計(jì)、收集和分析。以數(shù)學(xué)為基調(diào)，形成理論實(shí)際相結(jié)合的思維方式，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是一切科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)，學(xué)會(huì)怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述具體的問(wèn)題，學(xué)會(huì)怎樣用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際中存在的問(wèn)題[1]。數(shù)學(xué)建模是連接數(shù)學(xué)與實(shí)際問(wèn)題的橋梁，對(duì)數(shù)學(xué)模型而言，數(shù)學(xué)是工具，解決問(wèn)題是目的。數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)知識(shí)與應(yīng)用能力共同提高的最佳結(jié)合點(diǎn)。

思維能力是培養(yǎng)學(xué)生各種能力的核心，如何培養(yǎng)學(xué)生的思維能力已經(jīng)成為現(xiàn)階段教育研究人員紛紛探討的熱門(mén)話(huà)題。而數(shù)學(xué)建模全過(guò)程（圖1）[2]中的每一步都從不同的方面鍛煉了學(xué)生的思維能力（如將現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息抽象成數(shù)學(xué)模型的抽象思維能力；對(duì)不同的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析求解時(shí)的邏輯思維能力等），因此 ，研究如何利用數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力就顯得尤為重要。

圖1

2 .利用數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維能力

數(shù)學(xué)課程的基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展。它不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律。數(shù)學(xué)在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創(chuàng)造力等方面都有著獨(dú)特的作用[3]，下面我就結(jié)合自己在講授數(shù)學(xué)建模課程中遇到的一些實(shí)例并總結(jié)前人的研究碩果，針對(duì)以往相關(guān)研究的不完整性，與現(xiàn)行的新課程改革相結(jié)合，針對(duì)如何充分利用數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力進(jìn)行全面的研究，分別對(duì)六種不同的思維能力，運(yùn)用設(shè)計(jì)不同的教學(xué)情境，來(lái)引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

2.1 培養(yǎng)思維的積極性

興趣是學(xué)習(xí)的最好老師，也是每個(gè)學(xué)生自覺(jué)求知的內(nèi)在動(dòng)力。教師應(yīng)該注重在課堂教學(xué)中對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，為學(xué)生設(shè)計(jì)好一個(gè)激發(fā)思考和創(chuàng)造的課堂環(huán)境，設(shè)置誘人的懸念，激發(fā)學(xué)生發(fā)散思維的火花和求知的欲望，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的積極性。

（1）在新授課的導(dǎo)入或講解的過(guò)程中，設(shè)置一些懸念來(lái)引起學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)思維的積極性來(lái)引發(fā)探求的欲望。例如：數(shù)學(xué)建模課程的引言部分，可以選擇一些能夠用建模解決的一些有趣的生活中的問(wèn)題，如“如何設(shè)計(jì)高跟鞋的高度問(wèn)題”，“人帶著雞、貓、米過(guò)河的問(wèn)題”等等，用這些生動(dòng)的生活實(shí)例來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的興趣，這樣使學(xué)生在解決一個(gè)個(gè)“懸念”問(wèn)題中探究，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而在講解公平的席位分配一節(jié)內(nèi)容時(shí)，課本上定義了相對(duì)不公平度這個(gè)概念，即設(shè)A，B兩方人數(shù)分別為 p1和p2，兩方分配的席位為 n1和n2，

因?yàn)橄鄬?duì)不公平度是人為定義的一個(gè)數(shù)量指標(biāo)，它并沒(méi)有嚴(yán)格的定義，因此，我們就可以引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)動(dòng)腦筋，尋求其他的定義方法。此時(shí)，我們適當(dāng)?shù)募右砸龑?dǎo)、提示，學(xué)生很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)A的相對(duì)不公平度如下兩種新的定義方法：掌握數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)。

（2）在新課結(jié)束時(shí)，也要適當(dāng)對(duì)某一些問(wèn)題做一些延伸發(fā)展，設(shè)計(jì)一些懸念問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，為學(xué)習(xí)后面的內(nèi)容做好鋪墊，留下懸念。

再例如講“人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)模型”這節(jié)新內(nèi)容時(shí)，可以講講世界及中國(guó)人口發(fā)展概況及趨勢(shì)，同時(shí)介紹為什么中國(guó)要實(shí)行計(jì)劃生育，國(guó)家是以什么為依據(jù)來(lái)制定這項(xiàng)國(guó)策的，留下這樣一個(gè)學(xué)習(xí)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)模型知識(shí)的懸念，學(xué)生對(duì)本節(jié)的學(xué)習(xí)將會(huì)特別的投入，學(xué)習(xí)成果將會(huì)很明顯。因?yàn)樗膽夷钜l(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，引起了學(xué)生對(duì)下次課的好感，對(duì)后面的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了向往，盼望的急切心情，將被動(dòng)的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向了主動(dòng)。

2.2 培養(yǎng)思維的求異性

在數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度來(lái)觀(guān)察和思考，以尋求不同的解題路徑，開(kāi)拓學(xué)生的解題思路。并在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生進(jìn)行多次訓(xùn)練，這樣既增長(zhǎng)鞏固了知識(shí)，又培養(yǎng)了學(xué)生的求異性思維能力。因此在教學(xué)中，要注意抓住一道典型題目，努力尋求多種途徑的解法，促使學(xué)生多方位、多層次的思考分析，打開(kāi)學(xué)生的解題思路。例如，

又如在講解完用 Q值方法進(jìn)行席位分配時(shí)，又可以引導(dǎo)學(xué)生去探討“D ’Hondt”法、“D ’Hondt + Q ”值法等其他形式的分配方法，并對(duì)這些方法進(jìn)行比較，不僅要讓學(xué)生掌握更多的知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生求異性的思維能力，同時(shí)要重視引導(dǎo)學(xué)生對(duì)多種方法進(jìn)行比較，優(yōu)化方法，提高解決問(wèn)題的速度并注意找出同一問(wèn)題存在多種方法的條件與原因，挖掘其內(nèi)在規(guī)律。這樣將能很好的達(dá)到教學(xué)雙贏(yíng)了，提高了教學(xué)質(zhì)量又培養(yǎng)了思維能力，何樂(lè)而不為呢？

2.3 培養(yǎng)思維的連續(xù)性

在數(shù)學(xué)建模這門(mén)課程中的，許多模型的得到都是一類(lèi)條理分明，思路清晰，由淺入深具有鮮明層次性的問(wèn)題，隨著臺(tái)階的上升涉及的知識(shí)點(diǎn)逐漸增多，不斷探索的問(wèn)題將得到逐步地解決， 在這樣一個(gè)不斷探索的過(guò)程中讓學(xué)生順著清晰的思路進(jìn)行自行探討，從而解決問(wèn)題，有助于培養(yǎng)思維的連續(xù)性。

例如我們?cè)谥v解傳染病模型時(shí)，剛開(kāi)始我們不區(qū)分病人和健康的人群可以得到一個(gè)較為簡(jiǎn)單的模型：

這時(shí)我們就可以引導(dǎo)學(xué)生思考建模失敗的原因：我們?cè)诘谝粋€(gè)模型里沒(méi)有考慮到病人有效接觸的人群中既有健康者又有病人，因而我們可以對(duì)模型（1）進(jìn)行改進(jìn)，從而得到模型：

模型2對(duì)模型1進(jìn)行了顯著的改善，利用模型2，我們可以得到傳染病高潮期到來(lái)的時(shí)刻為：可以為醫(yī)療部門(mén)提供信息服務(wù)。但是模型

2.4 培養(yǎng)思維的聯(lián)想性

引導(dǎo)學(xué)生自主聯(lián)想，揭示和建立新舊知識(shí)的聯(lián)系是培養(yǎng)思維聯(lián)想性的有效途徑。學(xué)生聯(lián)想回憶的過(guò)程可以實(shí)現(xiàn)挖掘激發(fā)思維潛力。數(shù)學(xué)研究本身就是一個(gè)不斷從實(shí)踐→認(rèn)識(shí)→實(shí)踐的過(guò)程，這樣的過(guò)程推進(jìn)了數(shù)學(xué)的進(jìn)步。而思維的聯(lián)想性在這一過(guò)程當(dāng)中起著舉足輕重的作用。所以教師可以在教學(xué)過(guò)程中多設(shè)計(jì)一些反復(fù)式問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想與回憶，建立好新舊知識(shí)間的聯(lián)系，深化對(duì)知識(shí)的理解;經(jīng)常回憶與反思必將使學(xué)生的思維能力得到大大地提升。因此，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，應(yīng)緊密結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)，適時(shí)設(shè)計(jì)好反復(fù)式問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生思維的聯(lián)想性。例如我們?cè)诮榻B完人口阻滯增長(zhǎng)模型后，可以引導(dǎo)學(xué)生思考草原上羊群數(shù)量的增長(zhǎng)，漁場(chǎng)中魚(yú)群數(shù)量的增長(zhǎng)是以什么樣的方式增長(zhǎng)的呢？是不是也滿(mǎn)足Logistic模型呢？又如，在講到穩(wěn)定性模型的第一節(jié)內(nèi)容“捕漁業(yè)持續(xù)收獲”問(wèn)題時(shí)，要考察在沒(méi)有捕撈的前提下魚(yú)群數(shù)量會(huì)發(fā)生什么變化，這時(shí)，我們就可以引導(dǎo)學(xué)生，將前面學(xué)習(xí)過(guò)的Logistic模型與之對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想，讓學(xué)生主動(dòng)去回顧，大膽去實(shí)踐，親身體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程。再通過(guò)實(shí)踐所得到的結(jié)論，帶回到所學(xué)的知識(shí)內(nèi)，反復(fù)進(jìn)行復(fù)習(xí)比較，獲取更多的信息，實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)思維連續(xù)性的目的。

2.5 提高直覺(jué)思維能力

“凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢?！鳖A(yù)見(jiàn)意識(shí)對(duì)探索成功率的提高是大有裨益的。解題過(guò)程中我們對(duì)于解題策略、思路、方向和手段都應(yīng)該作出正確的判斷和抉擇。否則將誤入歧途。因此在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，先不急于分析解題思路，而恰當(dāng)?shù)牧粲锌臻g，讓學(xué)生仔細(xì)審題，聯(lián)系相關(guān)知識(shí)，對(duì)比權(quán)衡，如未知數(shù)、自變量、參數(shù)的確定，輔助元素的設(shè)置，坐標(biāo)系、點(diǎn)的坐標(biāo)的選取，分類(lèi)討論的時(shí)機(jī)掌握，及討論標(biāo)準(zhǔn)層次的確定等，他們對(duì)于建模的 成敗、難易、繁簡(jiǎn)會(huì)產(chǎn)生怎樣的影響，在此基礎(chǔ)上作出正確估計(jì)和判斷。

例如：在講解“正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)”模型時(shí)，在建模之前就可以引導(dǎo)學(xué)生思考，影響戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)局的因素有哪些？其中哪些是主要因素，哪些是次要因素？如何將一個(gè)看似與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化呢？用這些問(wèn)題來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行思考；而在講解完正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型后，轉(zhuǎn)而講解游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型時(shí)，就可以讓學(xué)生通過(guò)直覺(jué)思維思考一下，游擊戰(zhàn)爭(zhēng)與正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)的區(qū)別在哪？影響雙方士兵人數(shù)變化的因素還有正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)一樣嗎？這樣引導(dǎo)學(xué)生一步步的深入思考下去，通過(guò)學(xué)生思考，憑直覺(jué)可以預(yù)見(jiàn)到解決本題的關(guān)鍵，學(xué)生很快就會(huì)得到游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型：

2.6 培養(yǎng)思維的廣闊性

探究表現(xiàn)為“為什么是這樣”“還會(huì)怎樣”的心理活動(dòng)過(guò)程。對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)，表現(xiàn)為不滿(mǎn)足于知其然，執(zhí)意追求知其所以然。而創(chuàng)造性思維是最高層次的思維活動(dòng)，是在自由想象的基礎(chǔ)上對(duì)頭腦中已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行新的組合的結(jié)果。引導(dǎo)、誘發(fā)、鼓勵(lì)學(xué)生在強(qiáng)烈的創(chuàng)新意識(shí)驅(qū)動(dòng)下不斷實(shí)現(xiàn)自我突破。敢于“標(biāo)新立異”，敢于“離經(jīng)判道”。例如在講解層次分析模型時(shí)要用到求矩陣的特征值和特征向量，而利用我們所掌握的知識(shí)，求解高階矩陣的特征值和特征向量是相當(dāng)復(fù)雜的，又由于層次分析模型中，對(duì)特征向量的要求并一定要非常準(zhǔn)確，在這種情況下，我們就可以帶領(lǐng)學(xué)生脫離我們以前所學(xué)方法的局限，來(lái)尋求求解矩陣特征值和特征向量的近似的方法：和法、冪法和根法。

教學(xué)中放手讓學(xué)生朝各個(gè)方向發(fā)散，按照他們自己的想法去探求。你會(huì)發(fā)現(xiàn)由于他們的思考角度不同，出現(xiàn)了許許多多的不同答案，有些結(jié)果出乎老師所料。通過(guò)學(xué)生交流，再引導(dǎo)、反思，使學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行變式探究，思維向不同的方向發(fā)散。不僅鞏固了所學(xué)知識(shí)；而且激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，達(dá)到開(kāi)發(fā)潛能、發(fā)展智力、提高能力的目的，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力

3 .總結(jié)

隨著素質(zhì)教育改革的深入，如何活躍課堂的氣氛，培養(yǎng)學(xué)生的思維，提高學(xué)生的素質(zhì)已經(jīng)成為我們教育工作者的一個(gè)重要任務(wù)。數(shù)學(xué)不僅僅是再向?qū)W生傳授知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)他們獨(dú)立的思維能力。教學(xué)觀(guān)念陳舊，教學(xué)手法單一，這些都已經(jīng)成為制約學(xué)生思維能力提高的重要因素。為了改變這個(gè)現(xiàn)狀，拓展學(xué)生的思維，使之健康成長(zhǎng)，我們不得不研究對(duì)策，研究怎么樣的教學(xué)才可以充分提高學(xué)生的積極性，引起他們的興趣，在輕松活躍的氣氛下完成教學(xué)的任務(wù)。

我認(rèn)為在數(shù)學(xué)建模這門(mén)課程的具體的做法就是通過(guò)上面所述的一系列的不同的設(shè)計(jì)問(wèn)題的方式，精心設(shè)計(jì)每節(jié)課，使之形象生動(dòng)，有意創(chuàng)造動(dòng)人的情景，設(shè)置誘人的懸念，激發(fā)學(xué)生思維的火花和求知的欲望。讓他們?cè)趯?shí)際生活中了解到數(shù)學(xué)的作用，在探索知識(shí)的過(guò)程中解決實(shí)際的問(wèn)題，迸發(fā)出無(wú)窮的靈感，培養(yǎng)各種思維能力。

[1] 李醫(yī)民，王學(xué)弟，丁丹平，等. 數(shù)學(xué)素質(zhì)教育改革的系統(tǒng)工程[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2003，（4）.

[2] 姜啟源，謝金星. 數(shù)學(xué)模型[M]. 北京：高等教育出版社，2003.

[3] 洪雙義. 一種新型數(shù)學(xué)教育方式的探索[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003，（2）.

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A

1008-7427（2010）01-0133-02

2009-11-05

作者王明剛系南京師范大學(xué)泰州學(xué)院數(shù)學(xué)系講師。