陳松良

p2q階群的完全分類

陳松良

(貴州師范學院數學與計算機科學學院,貴州貴陽550018)

設p,q為奇素數,且p>q.文章對p2q階群進行了完全分類并獲得了其全部構造:當q/|p2-1時,恰有2個彼此不同構的類型;當q|p-1時,恰有個彼此不同構的類型;當q|p+1時,恰有3個彼此不同構的類型.

有限群;同構分類;群的表示

設p,q是奇素數,p>q.文獻[1](例4.5.1)研究了pq2階群,得到了其全部構造.本文將研究p2q階群,并決定p2q階群的全部構造.

設G是p2q階群,P是G的一個Sylowp-子群,Q是G的一個Sylowq-子群.由于p>q,所以由Syolw定理(文[2]之定理7.1)得P?G,從而G=PQ.顯然,P或為p2階循環(huán)群,或為p2階初等交換群,因此可以作如下討論.

1 P是循環(huán)群

這時,可設G=〈a,b〉,而ap2=1=bq,b-1ab=ar,且rq≡1(modp2).顯然,P=〈a〉的自同構群Aut(P)是p(p-1)階循環(huán)群,所以b誘導的P的自同構的階為d=(q,p(p-1)).于是當q|/p-1時,必有d=1,即b誘導的P的自同構只能是恒等自同構,從而G是交換群,因此G必是p2q階循環(huán)群,即

G=〈a|ap2q=1〉.(1)

當q|p-1時,則d=1或q,如果d=1,那么G的構造如(1).如果d=q,那么G不是交換群.這時,由文[3]之定理3.7,可設α是模p與p2的一個公共原根,則由[a,bq]=1可知r是ri=α,i=1,2,…,q-1,之一.取r=r1=α,則得G之一構造如下:

假若取r=ri,1

然而,(2)與(3)是同構的.事實上,如果在(2)中令b1=bi,那么G=〈a,b〉=〈a,b1|ap2=1=bq1,b-1

1ab1= ari〉.因此當q|p-1時,G除為循環(huán)群外,還恰有一個非交換群,且其構造同構于(2).

2 P是初等交換群

這時,可設P=〈a,b|ap=bp=1=[a,b]〉,Q=〈c〉,于是P的自同構群Aut(P)的階是(p2-1)(p2-p).當q|/p2-1時,則Q誘導的P的自同構只能是恒等自同構,從而G是交換群,其構造如下:

當q|p2-1時,Q除了誘導P的恒等自同構外,還可能誘導P的一個q階自同構,因此這時G除了是交換群之外,也可以是非交換群.我們可分為下面兩種情況進行討論.

2.1 群G是超可解群

這時,群G必有一個p階正規(guī)子群,不妨設〈b〉?G.從而〈b〉Q是pq階群,于是當q|p-1時,由[2]之命題7.3得

其中α為模p的一個原根.

因為c互素作用在P上,所以據文[4]之定理8.4.6,不妨設〈a〉也是G的正規(guī)子群.于是可設c-1ac= as,從而sq≡1(modp),故必有s≡rimodp,i=0,1,2,…,q-1.

由于已假定G是非交換群,所以CP(c)≠P,當CP(c)是p階群時,不妨設CP(c)=〈a〉,于是s≡1(mod p).因此得G的構造是:

如果CP(c)=1,則r與s模p都不同余于1,不妨設r≡(modp)(否則可用c的適當方冪代替c),于是必有s≡rimodp,i=1,2,…,q-1令

易見(6)與(7)中的每一個都是不同構的.在[7]中若Gi?Gj,i,j∈{2,3,…,q-1},i≠j,則存在k∈{1,2,…, q-1}及正整數m,n,s,t使得

并且在Gi中當由此得

當k≠1時,由(12)得t≡0(modp),再由(8)得s?0(modp),由此及(11)又得

由(13)及(9)得m≡0(modp),再由(8)得n?0(modp),從而由(10)得k≡j(modq).由此及(13)得

當k=1時,類似上面的討論,可得i=j.反之,若(14)成立,則Gi?Gj.因此

2.2 群G不是超可解群

這時,P必是G的極小正規(guī)子群,從而Q是G的極大子群,且NG(Q)=Q.于是由[5]之定理V.7.6,知G是補為Q而核為P的Frobenius群,所以q|p2-1.

因為Q=〈c〉,所以c可以看成p元域Fp上的2階矩陣.顯然c在P上的作用是不可約的,所以c沒有1維不變子空間,于是c的特征多項式f(λ)是p元域Fp上的2次不可約多項式.又因為λq-1是c的零化多項式,所以f(λ)是λq-1的因式.眾所周知,λp2-λ是Fp上的所有一次不可約多項式和二次不可約多項式的積,于是f(λ)也是λp2-1-1的因式,但在Fp上λp-1-1=(λ-1)(λ-2)…(λ-(p-1)),所以f(λ)不是λp-1-1的因式,因而(q,p-1)=1,從而必有q|p+1.反之,若q|p+1,則(λq-1,λp-1-1)=λ-1,從而(λq-1)/(λ-1)是(q-1)/2個互不相同的2次不可約多項式的積.用|c|表示矩陣c的行列式,則由于cq=1,

總而言之,當q|p-1時,如果G是非交換的有初等交換Sylowp-子群的p2q階超可解群,那么它恰有可以知|c|q≡1(modp).又|c|p-1≡1(modp),且q與p-1互素,可知|c|≡1(modp),從而可設c的特征多項式為f(λ)=λ2-β λ+1.因此,可得G的構造為:

顯然,對任何不被q整除的正整數k,ck都是Q的生成元(共q-1個),而且ck的特征多項式(記為fk(λ))都是2次不可約多項式,且當i≠j時fi(λ)=fj(λ)的充要條件是ci與cj相似,亦即pi≡j(modq).因對任何固定的i,恰有一個j≠i,使得pi≡j(modq),從而推知fi(λ),1≤i≤q-1,中恰有(q-1)/2個互不相同的,所以當f(λ)是整除λq-1的任一個不可約多項式時,按上述方法得到的G的構造必與(15)同構.

3 結論

(i)當q/|p2-1時,G恰有2個彼此不同構的類型,其構造分別是:(1),(4);

(iii)當q|p+1時,G恰有3個彼此不同構的類型,其構造分別是:(1),(4),(15).

當q=3時,定理1顯然有下面的推論.

推論1(文[1]之例4.5.2) 設p為奇素數,且p>3,而G是3p2階群.則當3|/p-1時,G恰有3個彼此不同構的類型;而當3|p-1時,G恰有6個彼此不同構的類型.

綜上所述,我們得到下面的定理:

定理1 設p,q為奇素數,且p>q,而G是p2q階群.則:

[1] 張遠達.有限群構造[M].北京:科學出版社,1982.

[2] AKOERUB J L,BELL R B.Groups and Representation[M].Beijing:World Publishing Corporation,1997.

[3] NATHANSON M B.ElementaryMethods in Number Theory[M].Beijing:World Publishing Corporation,2003.

[4] KURZ WEI L H,STELLMACHER B.The Theory of Finite Groups[M].New York:Springer-Verlag,2004.

[5] HUPPERTB.Endliche Gruppen I[M].Berlin:Springer-Verlag,1967.

On the Classification of Fin ite Groups of Orderp2q

CHEN Song-liang
(School of M athem atics and Computer Science,Guizhou Nor m al College,Guiyang550018,China)

Letp,qbe odd primes such thatp>q,andGbe a finite group of orderp2q.It is discussed that the isomorphic classification ofG,and their presentations are completely described.The results showed that:Ifq|/p2-1,G had 2 nonisomorphic presentations;Ifq|p-1,Ghadnonisomorphic presentations;Ifq|p+1,Ghad 3 nonisomorphic presentations.

finite group;isomorphic classification;presentation of group

O152.1

A

0253-2395(2010)04-0493-03

2010-01-19;

2010-05-23

貴州師范學院自然科學研究資助項目

陳松良(1964-),男,湖南雙峰人,博士,副教授,從事代數學及其應用研究.E-mail:chsl2006@yahoo.com.cn