朱敏慧

基于小波理論與混沌矩陣的圖像加密技術(shù)

朱敏慧

(西安工程大學(xué)理學(xué)院,陜西西安710048)

提出了一種基于小波變換以及混沌序列的快速圖像加密算法.利用小波變換(DWT)的基本原理,對(duì)秘密圖像以及由混沌序列生成的廣義混沌圖像進(jìn)行小波變換,然后把小波變換后系數(shù)進(jìn)行融合,最后利用小波逆變換進(jìn)行圖像重構(gòu)得到結(jié)果圖像.數(shù)值試驗(yàn)表明該算法簡(jiǎn)單易行,抗攻擊能力較強(qiáng).

小波變換;信息加密;置亂;混沌序列

隨著多媒體和互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的飛速發(fā)展,通過(guò)網(wǎng)絡(luò)對(duì)媒體信息產(chǎn)品進(jìn)行下載、復(fù)制、轉(zhuǎn)售和編輯,甚至惡意對(duì)信息進(jìn)行篡改與破壞,使數(shù)字媒體作品的安全問(wèn)題日益突出,而使用密碼對(duì)圖像進(jìn)行加密是最有效的辦法.其中數(shù)字水印[1-3]和圖像加密[4-6]是目前研究最為廣泛的領(lǐng)域.

混沌是一種非線性動(dòng)力學(xué)規(guī)律控制的行為,表現(xiàn)為對(duì)初始值和系統(tǒng)參數(shù)的敏感性、白噪聲的統(tǒng)計(jì)特性和混沌序列的遍歷特性,其吸引子的維數(shù)是分維,有十分復(fù)雜的分形結(jié)構(gòu),具有不可預(yù)測(cè)性.由于混沌序列有如此優(yōu)良的特性,從20世紀(jì)80年代末,混沌開(kāi)始被應(yīng)用于保密通信領(lǐng)域,其中尤其受密碼學(xué)界重視的是混沌序列密碼方法.用混沌加密方法能極大地簡(jiǎn)化傳統(tǒng)序列密碼的設(shè)計(jì)過(guò)程.在利用計(jì)算機(jī)生成混沌序列時(shí),由于計(jì)算機(jī)有限精度效應(yīng),生成的混沌序列最終將退化為周期序列,從而影響到信息加密的安全.為了提高利用混沌序列進(jìn)行加密的算法的安全性,常見(jiàn)的解決方案是進(jìn)行多重混沌加密,但這樣增加了運(yùn)算量,會(huì)影響到加密的效率.

小波分析是近20年發(fā)展起來(lái)的新興學(xué)科,是當(dāng)前數(shù)學(xué)領(lǐng)域中迅猛發(fā)展的一個(gè)新方向,具有豐富的數(shù)學(xué)理論意義和廣泛的工程應(yīng)用價(jià)值.從數(shù)值分析的角度看,它是Fourier分析的一個(gè)突破性進(jìn)展,給許多相關(guān)學(xué)科的研究帶來(lái)了新思想,也為圖像處理領(lǐng)域提供了一種更有效的分析工具[7,8].小波變換之所以在圖像處理領(lǐng)域具有巨大優(yōu)勢(shì),是因?yàn)樾〔ㄗ儞Q是一個(gè)強(qiáng)有力的多分辨率分析工具,人眼視覺(jué)的生理和心理實(shí)驗(yàn)表明:圖像的小波多分辨分解與人眼視覺(jué)的多通道分解規(guī)律一致,另外,小波變換的低嫡性、去相關(guān)性和選基靈活性等特點(diǎn),也為其成功應(yīng)用于該領(lǐng)域提供了天然優(yōu)勢(shì).由于小波理論本身的研究日趨完善,小波多尺度分析方法的應(yīng)用愈來(lái)愈廣泛,尤其是在信號(hào)和圖像處理中良好的時(shí)頻特性,使得小波域中的信息加密技術(shù)成為近年來(lái)的研究熱點(diǎn).

本文給出了一種基于小波變換和混沌序列的數(shù)字圖像加密算法,數(shù)字實(shí)驗(yàn)表明:該方法思想簡(jiǎn)單易于實(shí)現(xiàn),加密效果較好,抗攻擊性較強(qiáng),安全性較好.

1 基本原理

1.1 離散小波變換(DWT)

所謂小波,即存在于一個(gè)小區(qū)域的波.其數(shù)學(xué)定義是:設(shè)ψ(t)為一平方可積函數(shù),即ψ(t)∈L2(R),若其Fourier變換ψ(ω)滿(mǎn)足:則稱(chēng)為一個(gè)基本小波或小波母函數(shù),并稱(chēng)上式是小波函數(shù)的可容許條件.

將小波母函數(shù)ψ(t)進(jìn)行伸縮和平移,設(shè)其伸縮因子(又稱(chēng)尺度因子)為a.平移因子為τ,令其平移伸縮后的函數(shù)為ψa,τ(t),則有

稱(chēng)ψa,τ(t)為依賴(lài)于參數(shù)a,τ的小波基函數(shù).由于尺度因子a、平移因子τ是連續(xù)變化的值,因此ψa,τ(t)為連續(xù)小波基函數(shù).它們是由同一母函數(shù)ψ(t)經(jīng)伸縮和平移后得到的一組函數(shù)系列.

將L2(R)空間的任意函數(shù)f(t)在小波基下展開(kāi),稱(chēng)其為函數(shù)f(t)的連續(xù)小波變換CWT,變換式為:

任何變換都必須存在逆變換(亦稱(chēng)反變換)才有實(shí)際意義.對(duì)連續(xù)小波變換而言,可以證明,若采用的小波滿(mǎn)足可容許性條件,則其逆變換I CWT存在,也即根據(jù)信號(hào)的小波變換系數(shù)就可精確地恢復(fù)原信號(hào),并滿(mǎn)足下述連續(xù)小波變換的逆變換公式:

由連續(xù)小波變換的概念知道,在連續(xù)變化的尺度a及時(shí)間τ值下,小波基ψa,τ(t)具有很大的相關(guān)性,因此信號(hào)f(t)的連續(xù)小波變換系數(shù)的信息量是冗余的.實(shí)際運(yùn)用中,很多情況下,需要考慮的是壓縮數(shù)據(jù)及節(jié)約計(jì)算量,如在圖像壓縮、數(shù)值計(jì)算等領(lǐng)域,希望在不丟失原信號(hào)信息的情況下,盡量減小小波數(shù)的冗余度.因此有必要討論連續(xù)小波ψ(a,τ)和連續(xù)小波變換Wf(a,τ)的離散化,也就是針對(duì)連續(xù)的尺度參數(shù)a和連續(xù)平移參數(shù)τ進(jìn)行離散化.在連續(xù)小波中,考慮函數(shù):

在離散化時(shí),通常對(duì)尺度按冪級(jí)數(shù)進(jìn)行離散化,即取a=am0,(m為整數(shù),a0≠0,一般取a0=2),并且相應(yīng)的位移間隔取2mTs得到的離散小波函數(shù):

于是,任意函數(shù)f(t)的離散小波變換DWT為:

DWT與CWT不同,在尺度-位移相平面上,它對(duì)應(yīng)一些離散的點(diǎn),因此稱(chēng)之為離散小波變換.

如圖1形象地表示了圖像的兩層小波分解.可以看出,圖像在每一個(gè)分解層上都被分解成四個(gè)頻帶,分別為L(zhǎng)L,LH,HL,HH;接著下一層分解只僅僅對(duì)低頻分量LL進(jìn)行分解.因此利用小波變換,圖像被分解成逼近圖像和細(xì)節(jié)圖像之和,可認(rèn)為它是一個(gè)將圖像在相互垂直的空間頻率上進(jìn)行變換的過(guò)程.離散小波變換在提取圖像低頻信息的同時(shí),又獲得了3個(gè)方向的高頻邊緣細(xì)節(jié)信息.

圖1 圖像的兩層小波分解Fig.1 2-levelwavelet decomposition of image

1.2 混沌系統(tǒng)[9]

以典型的Logistic混沌映射作為生成混沌序列的混沌系統(tǒng),Logistic映射表示為:

通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),當(dāng)3.569946…≤μ≤4,Logistic映射的輸入和輸出都分布在區(qū)間(0,1)上,且工作處于混沌狀態(tài),即此時(shí)由初始條件x0在Logistic映射的作用下所產(chǎn)生的序列{xk,k=0,1,2,…}具有非周期的、不收斂并對(duì)初始值非常敏感的性質(zhì).

Logistic映射經(jīng)過(guò)一定次數(shù)的迭代后,在線段(0,1)上分布了大量的混沌點(diǎn),其概率密度ρ(t)的解析表達(dá)式為

式(9)為Chebyshev分布.

1.3 基于n次Bézier曲線構(gòu)造廣義混沌序列

n次Bézier曲線為

其中Bni(t)為n次Bernstein基函數(shù),p0,p1,…,pn為控制點(diǎn).

假定已給n+1個(gè)混沌序列{a1i,a2i,…,ani,…}(i=1,2,…,n+1),其中上標(biāo)i表示第i個(gè)混沌序列,則利用n次Bézier曲線構(gòu)造的廣義混沌序列為:

其中t為參數(shù).相應(yīng)的廣義混沌序列的混沌動(dòng)力學(xué)方程為:

其中F(＊)表示生成混沌映射.

根據(jù)式(8)、(11)可以在已知的混沌序列的基礎(chǔ)上,生成混沌矩陣C I.具體方法如下:給定初值μi和, i=1,2,…n+1,由公式(11)經(jīng)過(guò)N-1次混沌迭代運(yùn)算得到混沌實(shí)值序列α1,α2,…,αN,通過(guò)排序變換將這N個(gè)值由小到大排序,生成β1,β2,…,βN,并確定αi在β1,β2,…,βN中的位置編號(hào),形成地址集合G1={g1, g2,…,gN},反復(fù)操作M次,便生成混沌矩陣C I:

1.4 加密算法

Step1:輸入n,密鑰αi、μi(i=1,2,…,n)和t,其中n為混沌序列的個(gè)數(shù),αi、μi(i=1,2,…,n)為每一個(gè)混沌序列的初始值,t為參數(shù);

Step2:輸入密鑰α0,其中α0為融合參數(shù);

Step3:利用式(8)、(11)可以在已知的混沌序列的基礎(chǔ)上,生成混沌圖像C I;

Step4:對(duì)秘密圖像SI和混沌圖像CI進(jìn)行小波變換,分別得到SI的小波變換系數(shù)SLLC,SLHC,SHLC, SHHC和CI的小波變換系數(shù)CLLC,CLHC,CHLC,CHHC;

Step5:對(duì)Step4中所得的SI的小波變換系數(shù)和CI的小波變換系數(shù)利用融合系數(shù)α0進(jìn)行融合;

Step6:利用小波逆變換對(duì)Step5所得的融合結(jié)果進(jìn)行重構(gòu)得到結(jié)果圖像EI.

1.5 恢復(fù)算法

Step1:輸入n,密鑰α0、αi、μi(i=1,2,…,n)和t;

Step2:利用式(8)、(11)可以在已知的混沌序列的基礎(chǔ)上,生成混沌圖像C I;

Step3:對(duì)結(jié)果圖像EI和混沌圖像CI進(jìn)行小波變換,分別得到EI的小波變換系數(shù)ELLC,ELHC, EHLC,EHHC和C I的小波變換系數(shù)CLLC,CLHC,CHLC,CHHC;

Step4:對(duì)Step3中所得的EI的小波變換系數(shù)和C I的小波變換系數(shù)利用密鑰α0進(jìn)行融合逆運(yùn)算;

Step5:利用小波逆變換對(duì)Step4所得的結(jié)果進(jìn)行重構(gòu)得到恢復(fù)圖像R I.

2 試驗(yàn)結(jié)果與分析

2.1 數(shù)字圖像加密和恢復(fù)實(shí)例

圖2基于本文算法給出數(shù)字圖像加密和恢復(fù)的實(shí)例:其中Lena圖(256×256)為秘密圖像;利用三個(gè)混沌序列及二次有理Bezˊier曲線生成混沌矩陣,密鑰分別為:n=2,α0=0.1,α1=0.1,μ1=4,α2=0.2,μ2= 3.9,α3=0.3,μ3=3.8,t=0.4;對(duì)秘密圖像Lena圖和生成的混沌圖像C I應(yīng)用Daubecchies小波變換(db1).

圖2 數(shù)字圖像加密和恢復(fù)實(shí)例Fig 2 Encryption of digital i mage and example of restoration

其中,Fi,j、Fi,′j分別表示原始圖像和恢復(fù)圖像(i,j)位置處的像素值,且1≤i≤M,1≤j≤N.RMSE越小,說(shuō)明兩幅圖像越相像.

2.2 客觀評(píng)價(jià)準(zhǔn)則

傳統(tǒng)的客觀評(píng)價(jià)方法用恢復(fù)圖像偏離原始圖像的誤差來(lái)衡量恢復(fù)圖像的質(zhì)量,最常用的有均方根誤差(RMSE:RootMean Squared Error)和峰值信噪比(PSNR:Peak Signal to Noise Ratio)[10].

RMSE的表達(dá)式為

PSNR的表達(dá)式為

單位是dB,峰值信噪比PSNR越大,說(shuō)明圖像的保真度越好,兩幅圖像越相似. PSNR本質(zhì)上與RMSE相同,其關(guān)系表達(dá)式為

利用本文算法恢復(fù)圖像與原始秘密圖像的峰值信噪比PSNR為78.36,由此可知兩幅圖像的保真度較好,兩幅圖像非常像;RMSE為均方根誤差0.795 4,從而可以得出算法的恢復(fù)效果較好.

2.3 密鑰空間分析

從基于2次Bézier曲線構(gòu)造廣義混沌序列的過(guò)程可以看出應(yīng)用于數(shù)字圖像加密的密鑰有9個(gè),大大提高了加密的安全性;更進(jìn)一步如果利用K個(gè)混沌序列生成廣義混沌序列并應(yīng)用于數(shù)字圖像加密時(shí)密鑰會(huì)達(dá)到2K+1+1個(gè)之多;另外,可以利用不同的混沌序列生成混沌矩陣.

從效率方面分析,生成混沌矩陣的算法時(shí)間復(fù)雜度均為O(M×N),這說(shuō)明采用廣義的混沌序列加密時(shí),不會(huì)提高算法的時(shí)間復(fù)雜度.

2.4 噪聲攻擊

圖像在傳輸過(guò)程中,常常受到某種干擾而含有各種噪聲.圖3a和圖3b為分別對(duì)含秘密圖像添加了密度為0.5%和1%的高斯噪聲后進(jìn)行圖像恢復(fù)的結(jié)果;圖4a和圖4b為對(duì)含水印圖像添加了0.5%和1%椒鹽噪聲后進(jìn)行圖像的結(jié)果從結(jié)果,可以看出,本文算法高斯噪聲和乘性噪聲具有較好的穩(wěn)健性.

圖3 對(duì)結(jié)果圖像添加高斯噪聲后的恢復(fù)圖像Fig 3 I mage of restoration which increasing Gauss noise of result image

圖4 對(duì)結(jié)果圖像添加椒鹽噪聲后的恢復(fù)圖像Fig 4 I mage of restoration which increasing salt noise of result i mage

2.5 密鑰敏感性分析

3 結(jié)論

本文給出了一種基于小波變換和混沌圖像的數(shù)字圖像加密算法,該算法思想簡(jiǎn)單,易于編程,具有較好的安全性,且恢復(fù)圖像質(zhì)量較高.另外可以利用不同的混沌系統(tǒng)生成混沌圖像、且融合參數(shù)α0可以利用混沌序列,以增加密鑰空間.

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Technology of I mage Encrypting Based on Wavelet and Chaotic

ZHU Min-hui
(School of Science,Xi’an Polytechnic University,Xi’an710048,China)

A quckly image encrypting algorithm based on wavelet transfor mation and chaos sequence is introduced. Firstly,the secret image is scrambled.Secondly,the secret image and the chaotic image generated by extended chaotic sequence are decomposed into low-frequency and high-frequency images,then the wavelet coefficients are calculated,the fused wavelet coefficients are composed,and the fusion image is got by inverse wavelet transfor mation. Finally,the performance of the fusion algorithm is evaluated and analysed.The experimental results show that the proposed method is simple and viable.

wavelet transformation;information enryption;scrambling;chaotic sequence

TN911.73

A

0253-2395(2010)04-0533-05

2010-04-18;

2010-05-21

國(guó)家自然科學(xué)基金(10671155);西安工程大學(xué)校管科研資助項(xiàng)目

朱敏慧(1977-),女,陜西富平人,講師.E-mail:xiao-zhu123@sohu.com