高文安

相對論性電子在磁鏡中的運動規(guī)律與特征

高文安

(山西建筑職業(yè)技術學院,山西太原030006)

基于非相對論性電子在磁鏡中的運動,通過估計電子的電磁輻射所帶來的輻阻尼力的影響,對相對論性電子在磁鏡中的運動進行修正,從而得到在磁鏡中相對論性電子的運動規(guī)律,并討論了磁鏡中相對論性電子的運動特征.

磁鏡;電磁輻射;電磁阻尼

0 引言

磁鏡是一種具有旋轉(zhuǎn)對稱特征的梯度磁場,沿著對稱軸,磁感應強度具有“強-弱-強”的分布.磁鏡通過帶電粒子在緩變磁場中的磁矩守恒效應來約束等離子體,在受控熱核聚變中有重要的應用.帶電粒子一旦進入磁鏡,(一定條件下)就在磁鏡的兩個強極之間往返運動,通常稱之為磁鏡約束.在受控熱核反應的實驗研究中,磁鏡捕獲已成為約束等離子體的重要方法[1,2]磁鏡場在約束利用低能非中性等離子體產(chǎn)生的反氫原子[3-5]以及利用等離子體增強化學氣相沉積薄膜[6]的技術方面有廣泛應用.地磁場就是一個自然的磁鏡,宇宙射線一旦射入,就會在磁鏡的兩極來回反射,形成一個輻射帶,稱為范阿倫輻射帶.該輻射帶的基本形態(tài)分為兩部分:內(nèi)輻射帶和外輻射帶.內(nèi)輻射帶大約1～2個地球半徑之間,電子在內(nèi)輻射帶的能量可以達30兆電子伏特,在這種情況下,帶電粒子在磁鏡中的運動必須考慮其相對論效應.

要得出帶電粒子在磁鏡場中的嚴格運動方程的解會遇到數(shù)學上的困難,因此,對磁場的參數(shù)加以限制是必要的,在討論磁鏡的標準做法中,往往假設磁感應強度在帶電粒子的一個回轉(zhuǎn)過程中的變化可以忽略,即磁感應強度的梯度足夠小,事實證明實際情況也是如此.在經(jīng)典情形(低速)下,電子的動能守恒,因而電子的磁矩μ是寢漸不變量.但在相對論的情形下并非如此,所謂寢漸不變量,是指那些在磁場隨時間或空間緩慢變化過程中近似為常數(shù)的那些物理量.經(jīng)典粒子在磁鏡中運動的特征有:(1)電子做螺旋線運動,(2)磁矩μ是寢漸不變量,(3)磁場的徑向分量Br是小量,(4)磁鏡比:R=BM/B0,入射角tanθ=v⊥/v∥(垂直于軸線的速率與平行與軸線的速率之比).如圖1,當sinθ≥R時,粒子將反射.于是R(或θ=arcsinR)決定了速度空間中的逃逸錐(如圖2),當粒子的合速度位于錐內(nèi)時,粒子將穿過磁鏡.

圖1 入射角Fig.1 Incident angle

圖2 逃逸錐Fig.2 Escape wimble

1 電子運動的經(jīng)典近似方程

量子效應、相對論效應使得要得到相對論電子的嚴格的運動方程的解具有嚴重的數(shù)學困難.為此可以先求出經(jīng)典電子運動方程的近似解[7],然后再考慮相對論效應,對電子的運動加以修正,從而了解相對論效應對電子運動的影響.

圖3 電子入射初速度及磁場Fig.3 Incident velocity of electron and the magnetic field

設電子(如圖3)在z=0處射入.在柱坐標系中,電子的初速度為v?0=v⊥0φ+v∥0^k;入射角為θ;由于Br為小量,所以磁場沿z軸方向的梯度為為了簡化,設K為常數(shù);z處的磁感應強度為B(z)≈(z)(即磁感應強度的徑向分量為小量).t時刻的磁感應強度記為B(t),電子的磁矩為常量μ,電子的靜質(zhì)量為m0,t=0時,電子距z軸的距離為r(0).由于能量守恒和磁矩不變

所以Br(T)≈-Kr(t)/2.再利用軸向運動方程、磁矩不變方程和能量守恒可以得到粒子的運動方程

2 相對論效應對粒子運動的影響

在相對論情形,電子的質(zhì)量增大且與速度有關,動力學方程需要修正.同時由于電子在磁場中做加速運動輻射的電磁場不可忽略,電子因輻射而受到額外的輻射阻尼力.由于電子的量子行為和相對論效應,電子的運動方程比較復雜,但我們可以通過電子的經(jīng)典運動方程(4)-(7)來近似地得到電子的電磁輻射能量分布,進而來估計電子受到的輻射阻尼,從而修正電子的運動.

然后對各種速度的電子進行試探地計算,進而來決定輻射阻尼的影響大小,決定其能否忽略.下面用以上得到的“運動方程”來對電子的輻射來進行估計.電磁輻射的功率為

取β=0.8,t=1×10-9s,(此時v∥減為零所需的時間約為,并使用文獻[8]中的磁鏡參數(shù)得η=71.36.由此可見,加速度的方向主要在電子做螺旋運動的回轉(zhuǎn)平面(垂直于z軸)內(nèi),所以加速度的方向與速度方向可以看成垂直,于是輻電磁輻射的功率簡化為

由幾何關系可以大致知道,θ減小時,φ增大,角分布中的分母上的5次項比分子更快地趨于零,所以,可以推斷:最大值出現(xiàn)在速度方向.另外,在極端相對論的情形,對于固定的角度θ,當β→1時,(1-βcosβ)為一有限量,而(1-β2)則趨于零,所以輻射能量角分布中的分子上的項(1-β2)cos2θ可以忽略,于是輻射能量的角分布就僅與θ角有關,因而輻射能量的角分布具有關于速度方向的旋轉(zhuǎn)對稱性,此時輻射阻尼的方向顯然應該與速度方向相反(否則會破壞對稱性).基于以上考慮,可以認為,阻尼力的方向與速度的反向是適合的.于是其中負號表示力的方向與速度方向相反.取β=0.8代入,估算Freac的量級,Freac≈4×10-26N,而洛倫茲力f =evB≈7×10-13N.由此可見,輻射所造成的輻射阻尼與洛倫茲力相比是微不足道的,它并不會對粒子的運動產(chǎn)生很大影響,而且在相對論的情形,電子的速度很快,在磁鏡中來回反射的周期很短,因而輻射阻尼對電子的動量的改變也是微不足道的,所以,能量守恒在相對論的情形下仍然近似成立,故方程(8)-(11)即為相對論情形下的近似的運動方程.

由此可見,電磁輻射對電子在磁鏡場中運動的影響可以忽略,因而,在相對論的情形,唯一與經(jīng)典情況不同的是質(zhì)量的改變.此外,電子運動的回轉(zhuǎn)半徑和β的關系非常重要,因為過大的回轉(zhuǎn)半徑將使電子從磁鏡的邊側(cè)逃逸.從(11)式可以得到

3 結論

根據(jù)經(jīng)典情況下電子在磁鏡中運動的近似方程,研究了相對論效應對磁鏡中運動電子的影響.對電子的電磁輻射所帶來的輻射阻尼力的影響進行了估計,得出了可以將其忽略的結論,于是在忽略輻射的前提下得出相對論情形的運動方程.但是在相對論的情形,由于質(zhì)量變化所帶來的一個影響——回轉(zhuǎn)半徑的增大,是不可忽略的,因此,要束縛超高能粒子必需使用大型磁鏡.

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M ovementLaw and Characteristic of a Relativistic Electron in a MagneticM irror

GAO Wen-an
(Shanxi A rchitectural Technical College,Taiyuan030006,China)

Based on the motion of a nonrelativistic electron in a magnetic mirror,we modify the motion of the relativistic electron in amagneticmirror by esti mating the effectof the radicalization damp on the electronmovment,which gives rise to the motion rule of the relativistic electron in a magnetic mirror,and discusses the motion characteristics of the electron in magnetic mirror.

magnetic mirror;electromagnetic radiation;electromagnetic damping

O412

A

0253-2395(2010)04-0556-04

2010-04-03;

2010-05-06

高文安(1955-),男,山西五臺人,副教授,主要從事工業(yè)設備安裝工程技術專業(yè)教學研究和教學管理工作.E-mail:gaowenan@126.com