朱顥東，鐘 勇

(1.中國科學(xué)院 成都計算機(jī)應(yīng)用研究所，成都610041，zhuhaodong80@163.com;2.中國科學(xué)院 研究生院，北京100039)

多屬性和準(zhǔn)則定序分類是現(xiàn)實生活中一類重要的決策問題［1-2］，對于該問題的現(xiàn)有解決方法在獲取決策者的偏好信息方面都存在困難.關(guān)系模型和函數(shù)模型是解決該方法的主要模型，但是這兩個模型需要事先給出較多的偏好信息，例如準(zhǔn)則權(quán)重、滿意度等［3-4］，這為那些不熟悉這兩個模型的用戶增加了難度.粗糙集理論的出現(xiàn)為這類問題提供了較為可行的解決辦法［5］.但是粗糙集理論是利用不可區(qū)分關(guān)系來解決問題的，但它在解決多屬性和準(zhǔn)則定序分類問題時能力較弱.Greco 等［6-9］學(xué)者使用優(yōu)勢關(guān)系來代替不可區(qū)分關(guān)系以增強(qiáng)粗糙集解決多屬性和準(zhǔn)則定序分類問題的能力，但也存在一定的局限性.本文在這些文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，對經(jīng)典粗糙集理論進(jìn)行了擴(kuò)展，并給出了一個基于擴(kuò)展粗糙集的決策分析方法.該方法使用“不可區(qū)分-相似-優(yōu)勢”關(guān)系來代替經(jīng)典粗糙集理論中的不可區(qū)分關(guān)系來獲取知識的粗糙近似.

1 一種新的不一致問題

經(jīng)典粗糙集方法是通過不可區(qū)分關(guān)系來實現(xiàn)知識的獲取，每個非空的屬性子集P 都對應(yīng)著U上的一個不可區(qū)分關(guān)系，記作IP:IP={(x，y)∈U×U:q(x)=q(y)，?q ∈P}，如果(x，y)∈IP，則稱x 和y 是p 不可區(qū)分的，這樣定義的不可區(qū)分關(guān)系是一種等價關(guān)系，即滿足自反性、對稱性、傳遞性.關(guān)系IP的所有等價類的集合記作U/IP(形成U 上的一個劃分).關(guān)系IP中的等價類稱為P 初等集.對于由信息粒度引起的不一致問題，經(jīng)典粗糙集理論是可以解決的，但是有準(zhǔn)則屬性出現(xiàn)時，需要在數(shù)據(jù)分析時考慮優(yōu)勢關(guān)系.

以公司進(jìn)行破產(chǎn)風(fēng)險評估作為例子.其中，用一個準(zhǔn)則(投資回報)和一個屬性(所在城市)來描述該公司.

表1 破產(chǎn)風(fēng)險評估表

表1 表明:因為A 的投資回報高于B 的投資回報，而A 的風(fēng)險低于B 的風(fēng)險，并且它們所在城市相同，因此A 的評估結(jié)果比B 的評估結(jié)果好，這是合理的.D 的評估結(jié)果也比B 的評估結(jié)果好，雖然B 的投資回報較高，但是B 和D 位于不同的城市，其投資條件可能不同，此結(jié)果并不違背優(yōu)勢原理.C 的評估結(jié)果好于B 的評估結(jié)果，雖然B 的投資回報較高，但是C 和B 處在相同的城市，評估結(jié)果違背了優(yōu)勢原理，使得B 和C 是一對不一致樣本.

2 對經(jīng)典粗糙集的擴(kuò)展

2.1 對優(yōu)勢關(guān)系的擴(kuò)展

已知S= ( U ，C ∪D，V，f)，其中，C～為定量屬性子集為定性屬性子集，C＞為準(zhǔn)則子集，則且此外，對任意的P ?C，記

1)對?q ∈C～，Rq為U 上一個相似關(guān)系，xRqy 為在定量屬性 q 上 x 相似于為給 定的閾值 ).若?x，y ∈U，?q ∈P～?C～，有xRqy，則在P～上x 相似于y.

2)對?q ∈C＞，Sq為U 上一個優(yōu)勢關(guān)系，xSqy 在準(zhǔn)則屬性q 上x 至少同y 一樣好(f(x，q)≥f(y，q)).若，有xSqy，則在P＞上x 優(yōu)于y.

3)對?q ∈C≡，Iq為U 上一個不可區(qū)分關(guān)系，xIqy 為在定性屬性q 上x 同y 不可區(qū)分(f(x，q)=f(y，q)).若?x，y ∈U，?q ∈，有xIqy，則在上x 和y 不可區(qū)分.

另外，如果決策屬性集D 把論域U 劃分為若干個決策類，令cl={clt|t ∈T，T=1，2，…，n}，為決策類集合，那么?x ∈U 且僅屬于一個clt∈cl，而且?r，s ∈T，若r ＞s，則clr中的對象(嚴(yán)格地或弱地)優(yōu)于cls的對象.定義［x ∈clr，y ∈cls，r ＞s］?［xSy］，其中，xSy 為x 不劣于y.由于決策類的這種偏好序關(guān)系，令={x|(x ∈clt)∨(?y ∈clt∧xSy)}稱為決策類clt的向上并集，稱為決策類clt的向下并集，即.顯然，

2.2 新的粗糙近似

經(jīng)典粗糙集是用一種知識近似另一種知識，其中被近似的知識是決策屬性集D 劃分U 所形成的決策類，用于近似的知識是條件屬性集C 劃分U 所形成的基本集.但對定序分類而言，不但決策類具有偏好序，而且條件屬性集含有準(zhǔn)則，此時被近似的知識是決策類的向上并集和向下并集，用于近似的知識不再是僅由不可區(qū)分關(guān)系定義的對象集，而是由相似、優(yōu)勢和不可區(qū)分關(guān)系共通定義的對象集，這也是擴(kuò)展方法與經(jīng)典方法的主要區(qū)別.

對于?P ?C，定義DP和為U 上的兩個自反二元關(guān)系，稱為“不可區(qū)分-相似-優(yōu)勢”關(guān)系，對?x，y ∈U:①xDPy iff ?q ∈P＞，xSqy;?q ∈，xIqy ∧?q ∈P～，yRqx.②iff?q ∈P＞，xSqy;?q ∈，xIqy ∧?q ∈P～，xRqy.

給定P ?C，x ∈U，擴(kuò)展方法中，用于近似的“知識?！睘?

1)在P＞上，y 優(yōu)于x;在上，y 和x 不可區(qū)分;在P～上，x 相似于y 的對象y 的集合(x)={y ∈U:yDPx}.

2)在P＞上，y 優(yōu)于x;在P≡上，y 和x 不可區(qū)分;在P～上，y 相似于x 的對象y 的集合:(x)={y ∈U}.

3)在P＞上，y 劣于x;在P≡上，y 和x 不可區(qū)分;在P～上，x 相似于y 的對象y 的集合(x)={y ∈U:}.

4)在P＞上，y 劣于x;在P≡上，y 和x 不可區(qū)分;在P～上，y 相似于x 的對象y 的集合(x)={y ∈U:xDPy}.

所以，?P ?C，必定屬于cl≥t 的全部對象形成了的P-下近似，記作)={x ∈U:;可能屬于的全部對象形成了的P-上近似，記作t=1，2，…，n.類似地，可以定義的P-下近似和P-上近似.因此，決策類的邊界為:?P ?C，定義和的關(guān)于P 的近似精度為

此近似精度描述的是利用P 對對象分類時可能決策中正確決策的百分比.

定義 劃分cl 關(guān)于P 的近似分類質(zhì)量為

式中:P 能確切地劃入cl 類的對象的百分比.

條件屬性集C 的最小子集P ?C 稱為決策表的一個約簡，當(dāng)且僅當(dāng)γP(cl)=γC(cl).一個決策表可能有多個約簡.

2.3 提取決策規(guī)則

由決策類的向上和向下并集的粗糙近似，可以獲得3 類決策規(guī)則:

1)D≥-決策規(guī)則，由形成:若f(x，q1)≥rq1，…，f(x，qu)≥rqu且f(x，qu+1)=rqu+1，…，f(x，qv)=rqv且f(x，qv+1)相似于rqv+1，…，f(x，qz)相似于rqz，則x ∈;其中，P={q1，…，qz}?C，P＞={q1，…，qu}，={qu+1，…，qv}，P～={qv+1，…，qz}，{rq1，…，rqz}∈Vq1×Vq2×…×Vqz，t ∈T;

2)D≤-決策規(guī)則，由形成:若f(x，q1)≤rq1，…，f(x，qu)≤rqu且f(x，qu+1)=rqu+1，…，f(x，qv)=rqv且f(x，qv+1)相似于rqv+1，…，f(x，qz)相似于rqz，則x ∈;其中，P={q1，…，qz}?C，P＞={q1，…，qu}，P≡={qu+1，…，qv}，P～={qv+1，…，qz}，{rq1，…，rqz}∈Vq1×Vq2×…×Vqz，t ∈T;

3)D≥≤-決策規(guī)則，由形成:若f(x，q1)≥rq1，…，f(x，qu)≥rqu且f(x，qu+1)≤rqu+1，…，f(x，qv)≤rqv…，f(x，qv)=rqv且f(x，qv+1)=rqv+1，…，f(x，qw)=rqw且f(x，qw+1)相似于rqw+1，…，f(x，qz)相似于rqz，則x∈cls∪cls+1∪…∪clt;其中，P={q1，…，qz}?C，P＞={q1，…，qu}∪{qu+1，…，qv}，={qv+1，…，qw}，P～={qw+1，…，qz}，{rq1，…，rqz}∈Vq1×Vq2×…×Vqz，s，t ∈T，s ＜t，{q1，…，qu}和{qu+1，…，qv}能夠相交.

3 實例驗證

表2 是一個決策表，其中有8 家商場作為決策對象，其中，A1為交通條件、A2為位置、A3為面積，m2、A4為商場內(nèi)環(huán)境、A5為同類商品平均價格、A6為服務(wù)態(tài)度、A7為客流量，d 為決策屬性.表2 中d 把論域劃分為贏利、盈虧平衡、虧損3 類.

表2 一個具有多屬性和準(zhǔn)則的決策表

3.1 經(jīng)典粗糙集方法的結(jié)果

顯 然，C = {A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7}，D =syggg00.其中，cl1為虧損的商場類，cl2為盈虧平衡的商場類，cl3為贏利的商場類.cl1={1，4，8}，cl2={3，6}，cl3={2，5，7}.cl1，cl2，cl3的C-下近似、C-上近似、C-邊界分別為，BnC(cl1)={7，8={3，6}(cl2)={3，6}，BnC(cl2)=φ={2，5})={2，5，7，8}，BnC(cl3)={7，8}.

因此，cl1，cl2，cl3的近似精度分別為0.5，1，0.5.分類質(zhì)量為0.75.存在約簡{A2，A3}或{A3，A6}.

以約簡集{A3，A6}為例，可以得到的最小決策規(guī)則集為(其中:(x，A3)，(x，A6)為支持對應(yīng)規(guī)則的對象，(1，…，8)為所對應(yīng)的商場):

1)若f(x，A3)=510，則x ∈cl1(1).

2)若f(x，A3)=450，則x ∈cl2(3).

3)若f(x，A3)=475，則x ∈cl3(5).

4)若f(x，A3)=425，則x ∈cl2(6).

5)若f(x，A3)=400，f(x，A6)=“中”，則x ∈cl3(2).

6)若f(x，A3)=400，f(x，A6)=“良”，則x ∈cl1(4).

7)若f(x，A3)=350，則x ∈cl1或x ∈cl3(7，8).

3.2 使用“不可區(qū)分－相似－優(yōu)勢”關(guān)系的近似結(jié)果

同樣是C ={A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7}，D =syggg00，但觀察到A1或A7是一個準(zhǔn)則屬性.對A1來講，“方便”優(yōu)“一般”.而對A2、A3來講，它們再相關(guān)域上不存在優(yōu)勢關(guān)系.對屬性A2而言，使用經(jīng)典的不可區(qū)分關(guān)系，即?x，y ∈U，xIqy，則有f(x，A2)=f(y，A2).對屬性A3來說，定義一個相似關(guān)系， 使 得 ?x，y ∈ U，xRqy， 則 有.因為考慮了3 個決7}，它們的C-下近似、C-上近似、C-邊界分別為= {1，4，6，7，8}，策類，所以需要近似{1，4，8}= cl1∪ cl2= {1，3，4，6，8}，=cl2∪cl3={2，3，5，6，7}=cl3={2，5，={1，3，4，6}，={7，8}，= {2，3，4，5，6，7，8}，)= {2，5}，= {7，8}.的近似精度分別為0.2、0.67、0.43、0.5，而分類質(zhì)量為0.5.存在約簡{A2，A3}或{A3，A6}.

以{A3，A6}和準(zhǔn)則屬性A1為例，則可獲得最小決策規(guī)則集(其中，(x，A3)，(x，A6)為支持對應(yīng)規(guī)則的對象，(1，…，8)為所對應(yīng)的商場):

1)若f(x，A3)為“中”，f(x，A3)相似于510，則

2)若f(x，A1)至少為“方便”，f(x，A6)為“中”，則

3)若f(x，A6)為“中”，f(x，A3)相似于450，則x ∈cl2(3).

4)若f(x，A6)為“良”，f(x，A3)相似于400，則x ∈cl1∪cl2(4，6).

5)若f(x，A1)至少為“方便”，f(x，A3)相似于475，則

6)若f(x，A3)相似于350，則x ∈cl1∪cl2∪cl3(7，8).

3.3 結(jié)果對比

僅使用不可區(qū)分關(guān)系時，近似分類質(zhì)量為0.75，這是因為商場7、8 是不可區(qū)分的卻屬于不同的決策類.使用不可區(qū)分-相似-優(yōu)勢關(guān)系時，近似分類質(zhì)量為0.5，這是因為商場4、6 存在不一致:在準(zhǔn)則屬性A1上，商場4 優(yōu)于商場6;在屬性A2上，商場4 和商場6 是不可區(qū)分的;在屬性A3上，商場6 相似于商場4，因此有4DC6(同時也因商場4 相似于商場6，也有).可是，對商場4 的綜合評估為虧損，對商場6 的綜合評估為盈虧平衡，商場4 劣于商場6，這明顯不符合優(yōu)勢原理.僅使用不可區(qū)分關(guān)系對這種不一致無能為力，而利用“不可區(qū)分-相似-優(yōu)勢”關(guān)系卻可以揭示這種不一致.

4 結(jié) 論

1)經(jīng)典粗糙集中的不可區(qū)分關(guān)系對解決多屬性和準(zhǔn)則定序分類問題能力較弱.

2)本文把經(jīng)典粗糙集中的不可區(qū)分關(guān)系擴(kuò)展為“不可區(qū)分-相似-優(yōu)勢”關(guān)系，實例表明該關(guān)系不但能夠解決此問題而且還能處理決策表中可能存在的不一致現(xiàn)象，同經(jīng)典粗糙集中的不可區(qū)分關(guān)系相比具有較好的有效性與優(yōu)越性.

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