● (新星學(xué)校 浙江蒼南 325800)

含高斯符號問題的解法探究

●易永彪(新星學(xué)校 浙江蒼南 325800)

在解決實(shí)際問題以及計(jì)算機(jī)的運(yùn)算中，常常需要對一些數(shù)據(jù)進(jìn)行取整運(yùn)算，即把一些不是整數(shù)的實(shí)數(shù)去掉它的正純小數(shù)部分，用不超過它的最大整數(shù)取而代之：設(shè)x是實(shí)數(shù)，不大于x的最大整數(shù)叫做x的整數(shù)部分，記作[x].

1 確定范圍

要求某個(gè)數(shù)式的整數(shù)部分，可以先確定這個(gè)數(shù)式的取值范圍，而且這樣的范圍越精確越好.

例1[x],[y],[z]分別表示不超過x,y,z的最大整數(shù)，若[x]=5，[y]=-3，[z]=-2，則[x-y+z]可以取值的個(gè)數(shù)是

( )

A．1 B．2 C．3 D．4

分析由x,y,z的范圍，可確定x-y+z的取值范圍.

由[x]=5，[y]=-3，[z]=-3，可得

5≤x<6,-3≤y<-2,-2≤z<-1，

因此

2<-y≤3，

于是

5

故[x-y+z]的值可以為5或6或7，選C.

分析可以先設(shè)法確定S的取值范圍.

而

又

2 不等分析

就是把取整問題轉(zhuǎn)化為解某不等式的問題,可利用0≤{x}<1，[x]≤x<[x]+1.

例3用[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則方程6x-3[x]+7=0的解是________或________.

(2010年第21屆希望杯初二數(shù)學(xué)競賽第一試試題)

分析由6x-3[x]+7=0，可得

因?yàn)閇x]≤x<[x]+1,所以

于是可化為不等式組

解得

因此

解得

分析利用性質(zhì)x-1<[x]≤x,得

2x-1<[2x]≤2x，3x-1<[3x]≤3x，

因此

5x-2<[2x]+[3x]≤5x，

于是可化為不等式

解得

因而

3 整體考慮

這就是充分利用x=[x]+{x}的關(guān)系解題.

例5已知x,y,z滿足

求x,y,z的值.

分析因?yàn)閤=[x]+{x}，由式(1)+式(2)+式(3)得

2(x+y+z)=0.6，

所以

x+y+z=0.3.

(4)

式(4)-式(1),得

{y}+[z]=1.2，

于是

[z]=1，{y}=0.2.

式(4)-式(2),得

{x}+[y]=0.1，

于是

[y]=0，{x}=0.1.

式(4)-式(3),得

{z}+[x]=-1，

于是

[x]=-1，{z}=0.

從而

x=[x]+{x}=-0.9，

y=[y]+{y}=0.2，

z=[z]+{z}=1.

評注本題各式中同時(shí)出現(xiàn)了[x],{x},[y],{y},[z],{z}，作整體考慮后發(fā)現(xiàn)，可以結(jié)合性質(zhì)x=[x]+{x}，采用迭加的方法，得到x+y+z=0.3.由此再各個(gè)突破得解.

解含高斯符號的數(shù)學(xué)競賽題，關(guān)鍵是要把握好它的意義與核心性質(zhì)：x=[x]+{x}.