● (《數(shù)學競賽之窗》編輯部 江蘇蘇州 215011)

高中數(shù)學聯(lián)賽中的向量賽題解讀

●王衛(wèi)華(《數(shù)學競賽之窗》編輯部 江蘇蘇州 215011)

向量問題自進入高中數(shù)學以來，因其自身具有的代數(shù)性和幾何性的雙重特征，以及和三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何等知識的高度綜合性，受到各級、各類考試命題者的青睞，迅速成為高考的必考問題.在高中數(shù)學聯(lián)賽中，向量問題也很快成為考查的一個重點.本文擬就兩者的對比，對全國高中數(shù)學聯(lián)賽中的向量問題作一些解讀，以期能夠對廣大讀者有所裨益.

1 高考與高中聯(lián)賽向量考查的重點比較

在高考考查中，向量問題常和三角函數(shù)、解析幾何相綜合，著重考查向量的基本性質和基本運算，更多的是作為問題轉化的一個部分，而不是問題解決的重點.

在高中聯(lián)賽中，向量問題往往具有純粹性，著重考查選手對向量的本質特征——“數(shù)形二重性”的理解掌握，需要選手對題目中蘊含的幾何本質有深入的了解，有很強的思維能力，以及敏銳的觀察力.

2 高中聯(lián)賽向量問題涉及的基本結論

在高中聯(lián)賽的向量問題中，必須熟練掌握的基本結論有：

(4)若I為△ABC的內心，則

(6)設O為△ABC的外心，則

(7)設AB的中點為M，P為△ABC所在平面上一點，則

(8)設O，H分別為△ABC的外心和垂心，則

3 向量問題解題思路導析

高中聯(lián)賽中的向量問題靈活多樣，對選手的思維能力要求很高.以下通過對若干賽題的解題分析，給出思路探求的一些基本模式.

( )

(2004年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)

則

從而點O為△AB1C1的重心，于是

故

圖1

圖2

評析注意到:

S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶2∶3.

事實上，有一般的結論：

設O為△ABC內一點，記△BOC,△AOC和△AOB的面積分別為SA，SB，SC，則

易知，上述基本性質(1)和(4)均為本結論的特殊情形.

( )

A．銳角三角形 B．鈍角三角形

C．直角三角形 D．答案不確定

(2006年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)

分析本題有2種不同的思路:一種是考慮向量的幾何意義，利用數(shù)形結合解題；另一種是通過平方將關于向量長度的不等式轉化為關于向量的不等式解題.

即

因此

從而

由此可得

圖3

圖4

(2007年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)

分析本題的焦點在于如何處理2個關聯(lián)的三角形.首先根據(jù)題設畫一幅草圖，由圖4易知，可通過在三角形中應用余弦定理來求三角形對應邊的數(shù)量積.

從而

又在△AEF中，由中線長公式知

4AB2+EF2=2(AE2+AF2)，

從而

于是

(2009年全國高中數(shù)學聯(lián)賽湖北賽區(qū)預賽試題)

解因為O是△ABC的外心，所以

又

所以

即

于是

60x·cos∠BAC+100y=50.

由△ABC是銳角三角形，易知x≠0，因此

聯(lián)賽中的向量問題除了直接考查以外，不可忽視向量作為一個工具的功能.這里不再舉例說明.