外心
- 一個加強歐拉不等式的幾何意義及應用*
N分別為三角形的外心和內(nèi)心,R和r分別為三角形外接圓和內(nèi)切圓的半徑,∠AMC=m,∠BMC=n,∠DNE=p,∠DNF=q,則圖2圖3命題4 如圖4,在鈍角△ABC中,AD,BE,CF為三條內(nèi)角平分線,點M和點N分別為三角形的外心和內(nèi)心,R和r分別為三角形外接圓和內(nèi)切圓的半徑,∠AMC=m,∠BMC=n,∠DNE=p,∠DNF=q,則圖4運用命題2的方法很容易得到當三角形為直角三角形或鈍角三角形的情況,不同的是直角三角形的外心在斜邊上,因此S△ABC=S△
中學數(shù)學研究(江西) 2023年11期2023-11-10
- 活用多邊形外心確定多面體外接球的球心
外接圓圓心,簡稱外心.2.知識深化由性質(zhì)1可知,O1就是多邊形的外心.由性質(zhì)2可知,OO1⊥平面O1,反過來,過O1且垂直于平面O1的直線一定經(jīng)過球心O.那么,我們選取兩個截面,分別過兩個截面的圓心O1,O2,作各自平面的垂線,則這兩條垂線的交點就是球心O,如圖1.圖1凝練:選取多面體的兩個平面,找兩個面多邊形的外心,分別過兩面多邊形的外心作各自面的垂線,兩垂線的交點是球心.特殊情況:推論一:如圖2,如果兩面多邊形的外心重合,那么這個外心就是球心.圖2推論
教學考試(高考數(shù)學) 2023年3期2023-08-09
- 兩道幾何命題的新證、類比與推廣
,O為ΔAEF的外心．證明:CO⊥BG．圖1命題2 如圖2,在銳角三角形ΔABC中,以AB為直徑的圓Γ1與AC相交于點E,以AC為直徑的圓Γ2與AB相交于點F,BE與CF交于點H,且AH交EF于點G,若O為ΔAEF的外心,延長BO交AC于點L,延長CG分別交BO、BE于點M、N．證明:LN//OH．圖2本文基于三角函數(shù)的視角重新證明上述兩個幾何結(jié)論,并對此作進一步類比探究,得到新的推廣結(jié)論．2 命題新證事實上,我們根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特征容易看出命題2是由命題1引
中學數(shù)學研究(江西) 2023年8期2023-07-19
- 關于三角形內(nèi)特殊點的幾何不等式
法，分別取該點為外心，垂心，內(nèi)心，重心，費馬點和勃羅卡點，得到一系列優(yōu)美簡潔的表達式，并研究它們之間的不等關系，推導出一個新的幾何不等式.首先，介紹一個定理，它是我們一切思路的源頭.文[1]第98頁例6中證明了如下定理：定理1P為△ABC內(nèi)一點,點P關于邊AB,BC,CA的對稱點分別為P1,P2,P3,則(2)∠P1P2P3=∠BPC-∠A,∠P1P3P2=∠CPA-∠B,∠P2P1P3=∠APB-∠C.2.外接圓半徑的表達式在這個定理的基礎上，我們分別取
中學數(shù)學研究(江西) 2023年1期2023-01-12
- 愛爾特希點集
的三個頂點及它的外心（注：“外心”是指三角形三邊垂直平分線的交點）；任一菱形（注：“菱形”是四邊相等的四邊形）的四個頂點；正五邊形的任意四個頂點。我們來簡單解釋一下。第一種結(jié)構(gòu)如圖1，在△ABC中，AB=AC，D為△ABC的外心。因為D為△ABC的外心，所以BD=AD=CD。取A、B、C、D四點中的任意三點可構(gòu)成4個三角形，分別為△ABC、△ABD、△ACD、△BDC，均為等腰三角形。第二種結(jié)構(gòu)如圖2，易于理解，不再贅述。第三種結(jié)構(gòu)如圖3，A、B、C、D、
初中生世界 2022年38期2022-11-02
- 探尋多種證法 培養(yǎng)創(chuàng)新素養(yǎng)
——一道競賽題的多種證法與變式探究
圖1，△ABC的外心為O，垂心為H．已知BH為∠ABO的角平分線，過O作AB的平行線，與AC交于點K．求證：AH=AK．(2022年第18屆沙雷金幾何奧林匹克通訊賽八年級組第1題)本題以三角形為基本圖形，主要考查三角形垂心的性質(zhì)、外心的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，綜合性較強，對初中學生而言具有一定的難度．本文從兩個不同的角度出發(fā)，給出問題的多種證法．根據(jù)圖形特征，給出問題的3個變式，供讀者參考．為簡化證明過程，先介紹垂心和外心的兩個關聯(lián)性質(zhì)．
中學教研(數(shù)學) 2022年7期2022-07-14
- 愛爾特希點集
的三個頂點及它的外心（注：“外心”是指三角形三邊垂直平分線的交點）;任一菱形（注：“菱形”是四邊相等的四邊形）的四個頂點;正五邊形的任意四個頂點。我們來簡單解釋一下。第一種結(jié)構(gòu)如圖1，在△ABC中，AB=AC，D為△ABC的外心。因為D為△ABC的外心，所以BD=AD=CD。取A、B、C、D四點中的任意三點可構(gòu)成4個三角形，分別為△ABC、△ABD、△ACD、△BDC，均為等腰三角形。第二種結(jié)構(gòu)如圖2，易于理解，不再贅述。第三種結(jié)構(gòu)如圖3，A、B、C、D、
初中生世界·八年級 2022年10期2022-05-30
- 數(shù)形結(jié)合，攻破易混點
側(cè)。四、忽略了對外心位置的討論例4如果點O為△ABC的外心，∠BOC=70°，那么∠BAC等于________?！窘馕觥慨?span id="syggg00" class="hl">外心O和點A在BC同側(cè)時，如圖 6、圖 7。因為所以∠BAC=35°。圖6圖7當外心O和點A在BC異側(cè)時，如圖8。在BC所對的優(yōu)弧上取點D，連接BD和CD。圖8因為∠BDC=∠BOC，∠BOC=70°，所以∠BDC=35°，所以∠BAC=180°-35°=145°。綜上所述，∠BAC=35°或145°?！军c評】很多同學在解決本題時忽視外
初中生世界 2022年19期2022-04-19
- 值得加味的三角形的“四心”
心，垂心，內(nèi)心，外心，它是三角形的重要性質(zhì)。下面舉例說明其應用。一、三角形的重心評注：三角形的外心是三邊的中垂線的交點，也是三角形外接網(wǎng)的圓心。外心到三個頂點的距離相等。四、三角形的垂心評注：三角形的外心、垂心和重心在一條直線上，而且外心到重心的距離是垂心到重心的距離之半。此直線稱為三角形的歐拉線，該定理稱為歐拉線定理。
中學生數(shù)理化·高一版 2022年2期2022-04-05
- 圓錐曲線與三角形“四心”
形的重心、內(nèi)心、外心、重心相結(jié)合的問題，更加深刻地認識了圓錐曲線，以此提升了學生分析問題和解決問題的能力.【關鍵詞】圓錐曲線;重心;內(nèi)心;外心;垂心《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指同：“通過高中數(shù)學課程的學習，學生能提高學習數(shù)學的興趣，增強學好數(shù)學的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣，發(fā)展自主學習的能力.”[1]從近幾年圓錐曲線的命題風格看，既注重知識和能力的考查，又突出圓錐曲線的本質(zhì)特征，而圓錐曲線中面積、弦長、最值等幾乎成為研究的常
中學數(shù)學雜志(高中版) 2022年1期2022-03-07
- 值得回味的三角形的“四心”
心，垂心，內(nèi)心，外心，它是三角形的重要性質(zhì)。下面舉例說明其應用。一、三角形的重心二、三角形的內(nèi)心例2已知△ABC，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，I為△ABC所在平面上的一點，且點I滿足:a·＝0，則點I為三角形的（ ）。A.外心 B.垂心C.重心 D.內(nèi)心圖1評注：三角形的內(nèi)心，也是三角形的內(nèi)切圓的圓心。內(nèi)心到三邊的距離相等。三、三角形的外心評注：三角形的外心是三邊的中垂線的交點，也是三角形外接圓的圓心。外心到三個頂點的距離相等。四、三角形的垂心五、
中學生數(shù)理化·高一版 2022年2期2022-02-28
- 關注三角形“四心”與解幾的交匯題
心﹑垂心﹑內(nèi)心﹑外心等問題在解析幾何中也經(jīng)常出現(xiàn)，這類問題體現(xiàn)了平面幾何與解析幾何的相互交融，由于涉及的知識面廣，極富思考性和挑戰(zhàn)性，是各類選拔性考試的選題對象.下面精選一些典型例題并予以分類解析，旨在探索解析幾何中四心問題的解題方法，希望能給讀者朋友有所幫助.1.重心 即三角形三條中線的交點，重心到頂點距離等于它到對邊中點距離的兩倍.在解析幾何中常用重心坐標公式解題.例1 在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2上異于坐標原點O的兩不同動點A,B滿足AO
中學數(shù)學研究(江西) 2021年9期2021-10-22
- 常見幾何體外接球半徑算法
射影是△ABC的外心三棱錐P-ABC三條側(cè)棱相等三棱錐P-ABC的底面△ABC在圓錐的底上，頂點P也是圓錐的頂點解題步驟：第一步：確定球心O的位置，取△ABC的外心O1，則P，O，O1三點共線第二步：先算出小圓O1的半徑AO1=r，再算出棱錐的高PO1=h（也是圓錐的高）第三步：勾股定理：解出R類型三：切瓜模型（二個平面互相垂直）方法：1.題設：如圖9-1，平面PAC⊥平面ABC，且AB⊥BC（即AC為小圓直徑）第一步：易知球心O必是△PAC的外心，即△P
天府數(shù)學 2021年2期2021-10-20
- 一個與法尼亞諾問題相媲美的性質(zhì)
定點是該三角形的外心時面積最小.已知如圖5,T為銳角ΔABC內(nèi)一點,TM⊥AB于點M,TN⊥BC于點N,TP⊥AC于點P,且TM=m,TN=n,TP=p.求證當T為ΔABC的外心時,ΔABC的面積最小.證明(方法一) 我們約定ST表示ΔMNP的面積,O為ΔABC的外心,t表示T到O的距離.延長AT交⊙O于點Q,延長BT交⊙O于點W.∵TM⊥AB,TP⊥AC,∴B、M、T、P四點共圓,∴∠TPM= ∠WBC.同理∠TPN=∠CAQ.∵∠WAC與∠WBC是WC
中學數(shù)學研究(廣東) 2021年18期2021-10-13
- 例析平面向量在三角形四心中的應用
三角形的垂心A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心A．外心 B．重心 C．內(nèi)心 D．垂心二、三角形的外心三、三角形的內(nèi)心A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心由菱形的基本性質(zhì)知AP平分∠BAC，那么在△ABC中，AP平分∠BAC，故選B.A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心四、三角形的重心A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心圖1五、追蹤演練A.內(nèi)心 B.重心 C.垂心 D.△ABC的任意一點A．在AB邊的高所在的直線上B．在∠C平分線所在的直線上C．在
數(shù)理化解題研究 2021年25期2021-09-27
- 三角形“五心”的坐標公式
還需知道三角形的外心、內(nèi)心、垂心、旁心(它們和重心統(tǒng)稱為三角形的“五心”)的坐標公式.比如，可以證明質(zhì)線三角形(該三角形的質(zhì)量均勻地分布在其三邊上)的重心是其各中位線組成的三角形的內(nèi)心.所以，本文給出三角形“五心”的坐標公式.證法1可得邊AB的中垂線方程是(x-x1)2+(y-y1)2=(x-x2)2+(y-y2)2①同理可得邊AC的中垂線方程是②用行列式法解①②組成的二元一次方程組，得到的解就是△ABC外心Ω的坐標(因為任意三角形的外心存在且唯一，所以此
數(shù)理化解題研究 2021年22期2021-08-19
- 常見幾何體外接球半徑算法
射影是△ABC的外心三棱錐P-ABC三條側(cè)棱相等三棱錐P-ABC的底面△ABC在圓錐的底上，頂點P也是圓錐的頂點解題步驟：第一步：確定球心O的位置，取△ABC的外心O1，則P，O，O1三點共線第二步：先算出小圓O1的半徑AO1=r，再算出棱錐的高PO1=h（也是圓錐的高）第三步：勾股定理：解出R類型三：切瓜模型（二個平面互相垂直）方法：1.題設：如圖9-1，平面PAC⊥平面ABC，且AB⊥BC（即AC為小圓直徑）第一步：易知球心O必是△PAC的外心，即△P
天府數(shù)學 2021年18期2021-03-11
- 尋心
型、通過三角形的外心尋找球心等等技巧。關鍵詞：正方體模型：長方體模型;外心;球心2017年版的《普通高中數(shù)學課程標準》對立體幾何的學習提出了以下要求：了解一些簡單幾何體（球、棱柱、棱錐、棱臺）的表面積與體積的計算方法，運用直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算等認識和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間概念;借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線和平面的位置關系?？臻g幾何體的考查特別是外接球的問題一直以來都是高考的熱點和難點
卷宗 2020年19期2020-10-26
- 妙用坐標系確定球心位置
為Rt?ABC的外心,且OO′⊥平面ABC.設O(2,2,z),由|OP|=|OA|,可得 (2-0)2+(2-3)2+(z-1)2=22+22+z2,解得z=-1.評注易知三棱錐外接球的球心在經(jīng)過面三角形的外心,且垂直于此三角形所在平面的直線上.利用建系及外接球的幾何性質(zhì),準確假設并求出球心坐標.建立空間直角坐標系E—xyz，如圖2,則A(1,0,1),C(0,2,0).因為BC2+BD2=16=CD2，所以?BCD是直角三角形,點E為?BCD的外心.設
高中數(shù)學教與學 2020年15期2020-09-04
- 利用30°角構(gòu)造三角形外心解題
30°的三角形的外心,利用三角形外心的性質(zhì)解決問題。1.求角問題例1如圖1 所示,已知點P在△ABC內(nèi),滿足∠ABP=20°,∠PBC=10°,∠ACP=20°和∠PCB=30°,則∠CAP為多少度?解：如 圖1 所 示,取△BCP的外心為點O,連接OB,OC,OP,則∠BOP=2∠BCP=60°,從而△BOP為正三角形。由題意得∠CBO=∠ACB=50°,所以OB∥AC。又易得∠BAC=∠OCA=100°,于是梯形BOCA為等腰梯形。因此BA=OC=OB
中學生數(shù)理化(高中版.高考理化) 2020年5期2020-05-22
- 平面向量中三角形外心的教學反思
點D,則評注利用外心是三角形三條邊中垂線的交點這一重要性質(zhì)，進行基底分解，中間也利用了三角形中線向量定理這一?？键c.思路三如下圖所示，取AB的中點D,取AC的中點E,則有：評注利用外心是三角形三條邊中垂線的交點這一重要性質(zhì)，進行基底分解.歸納小結(jié)本小問得分率很低，考查學生的轉(zhuǎn)化能力，注意本題有兩解.方法歸納有關三角形外心的知識點：(1)三角形外心是三角形三條邊中垂線的交點—揭示了外心的形成過程；(2)三角形外心是三角形外接圓的圓心；(3)銳角三角形的外心在
數(shù)理化解題研究 2020年4期2020-03-02
- 如何確定外接球球心的位置
：外接球;球心;外心;長方體直觀想象是數(shù)學核心素養(yǎng)之一，強調(diào)借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形來理解和解決數(shù)學問題.在高中數(shù)學學習過程中，直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)與考查常通過三視圖、空間平行與垂直、空間角與距離等問題展開.隨著全國高考命題的統(tǒng)一，有關空間幾何體的外接球問題日益受到重視，成為考查直觀想象素養(yǎng)的又一熱門題型.求解外接球問題的關鍵在于確定球心的位置，而確定球心位置的依據(jù)不外乎球心的兩個特性：一是球心到球面上各點的距離都等
理科考試研究·高中 2019年10期2019-11-11
- 三角形內(nèi)一點觀“四心”
詞】重心;內(nèi)心;外心;垂心;向量三角形中的“四心”即內(nèi)心、外心、重心、垂心，是三角形重要的特征點，是高考命題中的熱點問題，本文以向量為載體，探索三角形內(nèi)任意一點及四心與三角形的邊、頂點、內(nèi)角的關系，從而可以高效準確地解決相關的一類題型.一、三角形“四心”的定義及性質(zhì)1.三角形三邊中線交于一點，這一點叫三角形的重心.性質(zhì)：重心將中線長度分成2 ∶ 1.2.三角形三內(nèi)角平分線交于一點，這一點為三角形內(nèi)切圓的圓心，稱內(nèi)心.性質(zhì)：內(nèi)心到三角形三邊距離相等.3.三角
數(shù)學學習與研究 2019年14期2019-09-17
- 一類三角形內(nèi)心和外心向量問題的探究
熱點，涉及內(nèi)心和外心的問題又是大家相對陌生的，遇到往往束手無策，實際上只要從概念出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出相關命題，這類問題是很容易解決的，而這也是新課程標準下數(shù)學核心素養(yǎng)的要求.【關鍵詞】內(nèi)心;外心;邏輯推理在各類考試中經(jīng)常考查三角形的四心（內(nèi)心、外心、重心、垂心）的向量表示，在這四心中，重心和垂心大家都比較熟悉，應用起來也比較熟練，但對涉及內(nèi)心和外心的向量問題，就顯得束手無策，不知從何入手，本文基于數(shù)學核心素養(yǎng)中的邏輯推理素養(yǎng)對其中一類涉及內(nèi)心、外心的向量
數(shù)學學習與研究 2019年7期2019-04-29
- 與三角形“外心”牽手的向量問題研究
將向量與三角形的外心相結(jié)合，此類問題義該如何破解呢？下面就從與三角形“外心”有關的單個向量數(shù)量積問題和雙參平面向量問題出發(fā)，一起來感受一下求解的一般方法！一、與單個向量有關的數(shù)量積問題本題主要考查三角形中與“外心”有關的單個數(shù)量積計算問題，意在考查同學們的運算求解及化歸與轉(zhuǎn)化思想運用的能力.初次碰到此題很多同學不會求解，解題過程中，機械地將條件不停地加以嘗試和利用，方向不明，耗時較多.思路一 利用數(shù)量積定義，如圖1.思路二 取AC中點，利用垂直轉(zhuǎn)化與化歸;
新高考·高一數(shù)學 2019年1期2019-04-15
- 三角形重心、垂心、內(nèi)心、外心的向量性質(zhì)及簡單應用
, 故所以(四)外心——三角形三條邊上的中垂線的交點叫做三角形的外心,即三角形外接圓圓心.2.若O 是△ABC 的外心, 則S△BOC: S△AOC:S△AOB= sin ∠BOC : sin ∠AOC : sin ∠AOB = sin 2A :sin 2B :sin 2C.證明設△ABC 外接圓半徑為R, 則S△BOC=, S△AOC=sin ∠AOC, S△AOB=又∠BOC = 2A,∠AOC = 2B,∠AOB =2C, 所 以S△BOC: S△A
中學數(shù)學研究(廣東) 2019年6期2019-04-13
- 立體幾何中關于棱錐外接球易錯問題的分析
多見于三角形)的外心M,并求出底面外接圓的半徑。(三角形外接圓的半徑多用正弦定理求出)(2)過底面的外心M作底面的垂線MN,MN與直棱柱中間截面的交點即為外接球的球心O。(3)借助底面的任意頂點如A,構(gòu)成直角三角形AOM,由勾股定理求出AO即為外接球的半徑。5.正棱錐的外接球。(1)找出底面正多邊形的中心M,并求出底面外接圓的半徑。(2)連接底面中心與頂點P,并求出正棱錐的高PM。(3)由正棱錐的性質(zhì)得出外接球的球心在高PM上,借助底面的任意頂點如A,構(gòu)成
中學生數(shù)理化(高中版.高考數(shù)學) 2018年11期2018-12-22
- 平面向量奔馳定理與三角形四心的應用
題A.重點 B.外心 C.內(nèi)心 D.垂心2.知△ABC 中，G是重心，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，解：由奔馳定理可知：5 6a = 4 0b =3 5c， 不妨設a=5k ,b =7k,c =8k，由余弦定理可得：B=6 0o●與“垂心”有關的向量問題3.已知O是平面上一定點，A，BC是平面上不共線的三個點，動點P 滿足：則動點P 的軌跡一定通過△ABC的（ ）A.重點 B.外心 C.內(nèi)心 D.垂心●與“內(nèi)心”有關的向量問題4.已知O 是平面上
新教育時代電子雜志(學生版) 2018年18期2018-12-18
- 向量中有關三角形四心的一些性質(zhì)
詞：向量；重心；外心；內(nèi)心；垂心中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）11-077-2向量是數(shù)形結(jié)合的載體，有方向，大小，雙重性，不能比較大小。在高中數(shù)學平面向量的學習中，一方面通過數(shù)形結(jié)合來研究向量的概念和運算；另一方面，我們又以向量為工具，運用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學問題和物理的相關問題。我們再認識下三角形的四心：“重心”是三角形三條中線的交點，所以“重心”就在中線上?！?span id="syggg00" class="hl">外心”是三角形三條邊的垂直平分線的交點，
中學課程輔導·教師教育（上、下） 2018年11期2018-09-05
- 三角形四“心”的向量風采
心、垂心、內(nèi)心、外心，在三角形中有著極其重要的地位，在各地高考題及模擬考試中，出現(xiàn)許多有關三角形四“心”的向量形式的優(yōu)美考題，使我們對向量形式的多樣性和向量運算的靈活性有了更深刻的認識。特在此分類解析，旨在探索題型規(guī)律，以提升同學們的數(shù)學思維能力?！娟P鍵詞】三角形；向量；重心；垂心；內(nèi)心；外心一、“重心”的向量風采例1.已知M是△ABC所在平面上的一點，若■+■+■=■，則M是△ABC的（ ）。A.重心 B.垂心 C.內(nèi)心 D.外心解析：由題意，得■+■=
文理導航 2018年11期2018-08-27
- ?如何我解決幾何體的外接球問題
何體底面多邊形的外心解：如圖1,易得S C的中點O是△S A C的外心,O也為幾何體外接球的球心,所以R圖1類型二：外接球球心在底面的射影即為底面多邊形的外心此類題一般先過底面多邊形的外心作底面的垂線,在垂線上設球心O,構(gòu)造直角三角形,再利用勾股定理求出R。解：如圖2所示,H為底面A BC D的外心,SH⊥底面A BC D。設球心為O,在Rt△OBH中,由勾股定理得解得圖2圖3解：由三視圖知幾何體為四棱錐(如圖4)?？稍O球心O在過外心H的垂線l上,O C=
中學生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學) 2018年1期2018-02-26
- 用向量知識處理三角形中的三心問題
B.垂心 C.外心 D.重心解析： AHC ，取BC的中點D，連結(jié)AD由向量共線的定義知：A，P，D共線 .則點P過?ABC 的重心 .例2.證明：充分性∵P，M，Q 三點共線，垂心：三角形中三條高的交點，與向量運算中數(shù)量積為零這一運算聯(lián)系密切.例3.O為?ABC的外心，平面內(nèi)一點P，滿足 ，則點P是?ABC垂心.解析：由 得以OB，OC 為鄰邊作平行四邊形OBDC ，則有O為?ABC 的外心 ，∴OB = 0C∴ 四邊形OBDC為菱形∴ OD ⊥ BC
課程教育研究·新教師教學 2015年1期2017-09-26
- 一道預賽題的再探究
，同時對三角形的外心、重心、垂心等類似問題作進一步探究，希望對讀者有所幫助.ΔABC中,AB=c,BC=a,AC=b,我們不妨提出如下更一般性的問題：事實上，對于問題2，我們有如下結(jié)論：圖1大家知道，三角形的四心(重心、內(nèi)心、外心、垂心)常常作為各級各類考試的熱點問題，類似于問題2，我們不禁提出如下問題：對于上述問題，類似于結(jié)論2，我們也可得到如下結(jié)果：證明：若O為ΔABC的重心，不難求得x∶y∶z=1∶1∶1.若b2+c2≠a2,則由(*)式方程組解得綜
中學數(shù)學研究(江西) 2017年6期2017-06-28
- 理解三角形“四心”要“一意”,巧解習題勿“三心”又“二意”
即:重心、垂心、外心、內(nèi)心)有了初步的認識和理解.進入高中后,特別是學習向量知識以后,以向量為載體對三角形“四心”有關問題進行了深入的研究,大量的且不同形式的習題出現(xiàn),沖擊著廣大師生的大腦.筆者從事高中數(shù)學教學多年,發(fā)現(xiàn)這塊知識學生很難把握,很多老師在平時的教學中雖然也有重點強調(diào)和講解,但感覺還是不夠系統(tǒng),沒有從本質(zhì)上揭示它們之間所蘊含的內(nèi)在聯(lián)系,其實通過探究不難發(fā)現(xiàn)三角形的“四心”的向量表示有著統(tǒng)一的形式,本文就從三角形的“四心”向量統(tǒng)一表示形式及其相關
中學數(shù)學研究(廣東) 2017年2期2017-03-28
- 善用衍生結(jié)論,巧解關于三角形外心的向量問題
,巧解關于三角形外心的向量問題江蘇省南通市通州區(qū)二甲中學(226321)陸忠華在近年的數(shù)學模擬考試、期末考試中,出現(xiàn)了一類關于三角形外心的向量問題,考生普遍反應題目難,解題方向不明確,存在較大的解題障礙.筆者研究后發(fā)現(xiàn),該類問題如果能善用一個解題的衍生結(jié)論,那么解題的方向會豁然開朗,“難題”將不再是“難題”.下面我們先來探究一個問題:已知如圖1,△ABC的三邊分別為a,b,c,點O是△ABC的外心,試用邊長a,b,c表示下式:圖1圖2圖3利用此衍生結(jié)論,可
中學數(shù)學研究(廣東) 2016年1期2016-12-23
- “外 心” 真 會 玩
00)何振華?“外心”真會玩江蘇省海門中學(226100)何振華在各類模擬考試中，經(jīng)常出現(xiàn)與外心有關的考題，很多學生遇到這類考題往往不能找到問題的切入點，感到無從下手，本文意欲與大伙一起突破思維障礙，玩轉(zhuǎn)“外心”.下面以2015泰州?？嫉奶羁疹}14題為例，談談如何發(fā)現(xiàn)外心問題的切入點.在ΔABC中，D為邊AC上一點，AB=AD=4,AC=6,若ΔABC的外心恰在線段BD上，則BC=.分析：在ΔABC中，已知AB=AD=4,AC=6，只需求出∠BAC，即可用
中學數(shù)學研究(江西) 2016年9期2016-11-09
- 例說外心問題的多角度切入
6100)?例說外心問題的多角度切入何振華(江蘇省海門中學，226100)在高三的各類模擬考試中,外心問題一直受到命題者的青睞,出現(xiàn)許多與外心有關的考題,而學生往往感到無從入手.本文以2015年我省泰州市的一道?？继羁疹}為例,談如何找到外心問題的切入點,意欲與大伙一起突破“外心”困惑．試題在?ABC中,D為邊AC上一點,AB=AD=4,AC=6,若?ABC的外心恰在線段BD上,則BC=______.分析在?ABC中,已知AB=AD=4,AC=6,只需求出∠
高中數(shù)學教與學 2016年15期2016-08-31
- 心路歷程之外心
摘要】 三角形的外心能從它的特征——到三角形三個頂點的距離相等出發(fā)幫助我們認識三角形，本文從三角形的外心的存在性、性質(zhì)、作圖、應用四個方面介紹了三角形的外心.【關鍵詞】 外心；外接圓；垂直平分線三角形的五心“外心”“內(nèi)心”“重心”“垂心”“旁心”給出了三角形的一些重要性質(zhì)，對于我們認識三角形提供了幫助.下面筆者就對外心加以整理：邊中垂線交一點，用它可作外接圓，此點定義為“外心”，其到頂點長相等，要問最小覆蓋圓，先看形狀定圓心一般的，把三角形三條邊的垂直平分
數(shù)學學習與研究 2016年20期2016-05-30
- 情真意切話“四心”
的有重心、垂心、外心和內(nèi)心。為方便大家閱讀和理解下面的精彩文字，我們先“科普”一下相關知識。三角形的重心是三角形三邊中線的交點。重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1，重心和三角形三個頂點組成的三個三角形面積相等。三角形的垂心是三角形三條高或其延長線的交點。銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)，直角三角形的垂心在直角頂點上，鈍角三角形的垂心在三角形外。三角形的外心是三邊垂直平分線的交點，即是三角形外接圓的圓心。銳角三角形的外心在三角形內(nèi)，直角三角形的外心
新高考·高一數(shù)學 2016年1期2016-03-05
- 一道聯(lián)賽預賽題引發(fā)的思考
，同時對三角形的外心、重心、垂心等類似問題作進一步探究，希望對讀者有所幫助.ΔABC中，AB=c,BC=a,AC=b,我們不妨提出如下更一般性的問題：事實上，對于問題2，我們有如下結(jié)論：圖1大家知道，三角形的四心(重心、內(nèi)心、外心、垂心)常常作為各級各類考試的熱點問題，類似于問題2，我們不禁提出如下問題：對于上述問題，類似于結(jié)論2，我們也可得到如下結(jié)果：故此時x∶y∶z=a2(b2+c2-a2)∶b2(c2+a2-b2)∶c2(a2+b2-c2).綜上所述
中學數(shù)學研究(江西) 2016年1期2016-02-25
- 一題“三變”心心相印
三角形中有內(nèi)心、外心、重心、垂心這“四心”。下面以一道典型例題為載體，通過一題“三變”，對三角形的“四心”問題進行舉例解析。題目 已知O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的i個點，動點P滿足，則點P的軌跡一定通過△ABC的（）。A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心解：先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)平面向量共線的有關性質(zhì)進行求解。如圖1所示，表示與同向的單位向量，設為示與同向的單位向量，設為。由向量的平行四邊形法則，知因為，所以，則共線。由于平分角，可知點P的
中學生數(shù)理化·高一版 2015年5期2015-05-30
- 向量走進三角形的“心”
形的重心、垂心、外心，內(nèi)心等問題，成為一道亮麗的風景線.向量走近三角形，走進三角形的“心”中，注重向量的知識性，工具性的教學，考查，為提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力發(fā)揮著顯著的作用.一、向量走進三角形的“心”定理1：已知△ABC所在平面內(nèi)一點G，則點G是△ABC的重心？圳 + + =0.證明：（1）當G是△ABC的重心，如圖1，AD是BC邊上的中線，則 + =2 ?，又因為 =-2 ，所以， + + =0.（2）若 + + =0，①設G′為△A
教學月刊·中學版（教學參考） 2015年1期2015-01-23
- 關于三角形“四心”距離的討論
心、垂心、內(nèi)心和外心.通過查閱近幾年中學數(shù)學類雜志刊發(fā)的有關三角形“四心”的論文資料發(fā)現(xiàn)，已有的關于三角形“四心”的研究主要包括“四心”的判定方法、“四心”的向量形式等方面.本文擬在已有研究的基礎上，探討三角形“四心”的距離問題.不失一般性，假設△ABC的外接圓的半徑為R，內(nèi)切圓的半徑為r.記△ABC的周長的一半為s，△ABC的面積為Q，用點I，O，G，H分別表示△ABC的內(nèi)心、外心、重心、垂心.以上述條件為基礎，我們來分別求OI，OG，HI，GI，即“四
中學數(shù)學雜志 2012年4期2012-08-27