馬賽

【摘要】三角形是平面幾何的基礎(chǔ)，圖形簡單、內(nèi)容豐富，包含著很多重要的性質(zhì)和重要的定理，三角形的相關(guān)問題在高考中也是必考內(nèi)容.平面向量作為平面幾何的解題工具之一，與三角形的結(jié)合就顯得尤為自然，因此，對(duì)三角形的相關(guān)性質(zhì)的向量形式進(jìn)行探討，就顯得很有必要.

【關(guān)鍵詞】重心;內(nèi)心;外心;垂心;向量

三角形中的“四心”即內(nèi)心、外心、重心、垂心，是三角形重要的特征點(diǎn)，是高考命題中的熱點(diǎn)問題，本文以向量為載體，探索三角形內(nèi)任意一點(diǎn)及四心與三角形的邊、頂點(diǎn)、內(nèi)角的關(guān)系，從而可以高效準(zhǔn)確地解決相關(guān)的一類題型.

一、三角形“四心”的定義及性質(zhì)

1.三角形三邊中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的重心.

性質(zhì)：重心將中線長度分成2 ∶ 1.

2.三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)為三角形內(nèi)切圓的圓心，稱內(nèi)心.

性質(zhì)：內(nèi)心到三角形三邊距離相等.

3.三角形三邊的中垂線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)為三角形外接圓的圓心，稱外心.

性質(zhì)：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.

4.三角形三邊上的高交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的垂心.

性質(zhì)：高線與對(duì)應(yīng)邊垂直.

二、定理證明

說明：以上二例如果運(yùn)用平面幾何知識(shí)，通過代數(shù)化簡運(yùn)算等處理方法都相當(dāng)麻煩，通過本文的定理及推論來處理顯得思路清晰明了、運(yùn)算簡潔，從而可以優(yōu)化解題過程，并且提高了解題的效率和準(zhǔn)確率.

本文通過一個(gè)定理四個(gè)推論的證明及其應(yīng)用可以感受到向量作為一個(gè)重要的工具和載體，在解決平面幾何問題中的重要作用，其實(shí)向量是近代數(shù)學(xué)重要的和基本的數(shù)學(xué)概念之一，具有豐富的背景，它是代數(shù)和幾何之間重要的橋梁.三角形是平面內(nèi)最簡單而又最豐富的平面多邊形，三角形的“四心”是三角形重要的特征點(diǎn)，以向量為載體研究三角形，自然通暢，相得益彰.而且通過本文，我們也可以感受到數(shù)學(xué)不同內(nèi)容之間都有著千絲萬縷的聯(lián)系，使我們進(jìn)一步地感受到數(shù)學(xué)之美.

【參考文獻(xiàn)】

[1]蔡則富.三角形內(nèi)任一點(diǎn)的坐標(biāo)公式及其應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)習(xí)研究），2011（3）：2.