廣東省韶關(guān)市廣東北江中學(xué)(512026) 李旭良

性質(zhì)1在銳角三角形的所有內(nèi)接三角形中,周長最短的三角形是其垂足三角形(銳角三角形三條高的垂足形成的三角形).(此為著名的法尼亞諾問題.)

已知如圖1,在銳角ΔABC中,H是垂心,ΔDEF是其垂足三角形.

圖1

求證ΔDEF的周長是ΔABC所有內(nèi)接三角形中最短的.

證明如圖2,在BC邊上任取一點D,作D關(guān)于AC、AB的軸對稱點D1、D2,連接D1D2,分別交AB、AC于點F、E,于是DF=FD2,DE=ED1,從而ΔDEF的周長等于線段D1D2的長.要使ΔDEF的周長最短,就要使ΔAD2D1的邊D2D1最短.由于AD2=AD=AD1,因此ΔAD2D1是等腰三角形.由軸對稱性知∠D2AB=∠BAD,∠D1AC= ∠CAD,∠D2AD1= ∠D2AB+ ∠BAD+∠DAC+∠CAD1= 2(∠BAD+∠DAC) = 2∠BAC,所以等腰ΔAD2D1的頂角是固定值,腰長AD2越短,底邊D2D1就越短.由此可知,AD最短時,底邊D2D1就最短.因此,AD應(yīng)取邊BC上的高,即點D是過A作邊BC的垂線的垂足.

圖2

如圖3,由軸對稱性知∠AD2F= ∠ADF,∠AD1E=∠ADE,而∠AD2D1= ∠AD1D2,因此,∠ADF= ∠ADE.因為AD⊥BC,所以∠FDB= ∠CDE.由軸對稱性知∠EDC= ∠ED1C,所以∠FDB= ∠ED1C,從而F、D、C、D1四點共圓,∠DFC、∠EFC分別是相等的弦CD與CD1所對的圓周角,所以∠DFC= ∠EFC.由軸對稱性知∠DFB= ∠BFD2,因為∠D2FB= ∠AFE,所以∠DFB= ∠AFE,因為∠AFE+ ∠CFE+ ∠CFD+∠BFD=180°,所以∠AFC= ∠AFE+∠CFE=90°,所以CF⊥AB,即點F是過點C作邊AB的垂線的垂足.同理,點E是過點B作邊AC的垂線的垂足.因此,ΔDEF的周長是ΔABC所有內(nèi)接三角形中最短的.

圖3

現(xiàn)在,我們來求其周長.

若ΔABC為銳角三角形,則L0=4RsinAsinBsinC==acosA+bcosB+ccosC.

約定ΔABC的角A、B、C所對之邊分別為a、b、c;垂心為H;面積為S;周長為L;外接圓半徑為R.其垂足ΔDEF的周長為L0.

證明如圖4,∵H為ΔABC的垂心,∴在RtΔACF中,cosA=.∵HE⊥AC,HF⊥AB,∴E、F、B、C四點共圓,∴∠AFE= ∠ACB,∠AEF= ∠ABC,∴ΔAEF∽ΔABC,,∴AE=ccosA,EF=acosA.同理ED=ccosC,FD=bcosB,因而L0=acosA+bcosB+ccosC.在ΔAEF中,運用正弦定理,,∴EF=·sinAcosA.由= 2R,得EF= 2RsinAcosA=Rsin 2A,同理,ED=Rsin 2C,FD=Rsin 2B.因而L0=R(sin 2A+sin 2B+sin 2C).

圖4

從而L0= 4RsinAsinBsinC==acosA+bcosB+ccosC.

性質(zhì)2若銳角三角形內(nèi)一個定點到三邊的距離分別為定值,則當這個定點是該三角形的外心時面積最小.

已知如圖5,T為銳角ΔABC內(nèi)一點,TM⊥AB于點M,TN⊥BC于點N,TP⊥AC于點P,且TM=m,TN=n,TP=p.

求證當T為ΔABC的外心時,ΔABC的面積最小.

證明(方法一) 我們約定ST表示ΔMNP的面積,O為ΔABC的外心,t表示T到O的距離.延長AT交⊙O于點Q,延長BT交⊙O于點W.∵TM⊥AB,TP⊥AC,∴B、M、T、P四點共圓,∴∠TPM= ∠WBC.同理∠TPN=∠CAQ.∵∠WAC與∠WBC是WC所對的圓周角,∴∠WAC= ∠WBC,∴∠MPN= ∠TPM+∠TPN,∠WAT= ∠WAC+∠CAQ,∴∠MPN= ∠WAT.由三角形的面積公式有

又∵BT、AT分別是四邊形BMTP、ANTP外接圓的直徑,∴由正弦定理,=sin ∠NAP.即

又∠AWB與∠ACB是同所對的圓周角,∴∠AWB=∠ACB.在 ΔATW中,由正弦定理有,

把②③式代入①式得,

又由圓冪定理有BT·WT=R2?t2(顯然R>t).在ΔABC中,由正弦定理sin ∠NAP=,sin ∠MBP=S=∠ACB,于是,ST=·sin ∠ACB=(R2?t2)S.∴ST≤當且僅當t= 0時取等號,S有最小值.

圖5

也就是說,銳角三角形內(nèi)一個定點到三邊的距離分別為定值時,這個三角形無法確定,但當這個定點是該三角形的外心時面積最小.∴當T為ΔABC的外心時,ΔABC的面積最小.

(方法二)如圖6,ΔABC為銳角三角形,⊙O是它的外接圓,半徑為R,設(shè)∠AOB=α,∠AOC=β(0

圖6

直線AB的方程為即(sinα)x+ (1?cosα)y ?Rsinα= 0.直線AC的方程為即(sinβ)x ?(1?cosβ)y ?Rsinβ= 0.直線BC的方程為,即= 0.而且|AB|=,|AC|=由三角形面積公式有

由點到直線的距離公式有

∵TP⊥AB,TN⊥AC,

∴T、N、A、P四點共圓,∠NTP=π?∠BAC=

同理,∠NTM=π ?∠ACB=π ?∠MTP=π ?∠ABC=π ?

④與⑤比較可知ST=當且僅當t= 0 時取等號,S有最小值.所以,當T為ΔABC的外心時,ΔABC的面積最小.

現(xiàn)在來求此時ΔABC的面積.如圖7,因為O為ΔABC的外心,所以設(shè)OA=OB=OC=R,∠CON= ∠BON=α,∠COP=∠AOP=β,∠AOM= ∠BOM=γ.因為∠CON+∠BON+∠COP+∠AOP+∠AOM+∠BOM=360°,所以α+β+γ=180°.

圖7

在RtΔCON中,cosα=

在RtΔAOP中,cosβ=

在RtΔBOM中,cosγ=

所以所以所以Rn+pm=R2n2+ 2mnpR+p2m2=R4?m2R2?p2R2+p2m2,因此R3?(m2+n2+P2)R?2mnp=0.因為?2mnp <0,所以關(guān)于R的一元三次方程只有一個正實根,運用卡爾丹公式解得:

結(jié)合三角形面積公式和正弦定理,我們有:

至此,我們得到一計算公式: 三角形的外心到三邊的距離分別為m、n、p,則其面積為:S=其中

雖然這個公式有點復(fù)雜,不具備簡潔性,但是有了計算公式,說明提出的問題得到有效的解決.有了計算公式就好辦,尤其是借助當下先進的計算工具是可以很快求出所要的結(jié)果.

性質(zhì)3若銳角三角形三個頂點到定點的距離分別為定值,則當這個定點是該三角形的垂心時面積最大.

已知如圖8,H為ΔABC內(nèi)一點,HA、HB、HC為定值.

圖8

求證當H為ΔABC的垂足ΔDEF的內(nèi)心時,ΔABC的面積最大.

證明分別以AB、BC、CA為對稱軸作出點H的對稱點,依次為M、Q、N,連接AM、MB、BQ、CN、NA.由軸對稱性有ΔAHC∽= ΔANC,ΔAHB∽= ΔAMB,ΔBHC∽= ΔBQC,所以,AM=AN=AH,BM=BQ=BH,CQ=CN=CH.因為HA、HB、HC為定值,因此六邊形AMBQCN的各邊長確定.而且SAMBQCN=SΔAMB+SΔAHB+SΔBHC+SΔBQC+SΔCHA+SΔCNA=2SΔABC.

所以,當六邊形AMBQCN的面積最大時,ΔABC的面積也最大.根據(jù)“邊長和邊的排列順序相同的多邊形中,圓內(nèi)接多邊形面積最大.”當六邊形AMBQCN內(nèi)接于圓時面積最大.由AM=AN,有∠ABM=∠ACN,而∠ABM=∠ABH,∠ACN= ∠ACH,從而∠ABH= ∠ACH.同理,∠CBH= ∠HAC,∠HAB= ∠BCH.在ΔABC中,∠ABH+∠ACH+∠CBH+∠DAC+∠HAB+∠BCH=180°,所 以,∠ABH+ ∠CBH+ ∠HAB= 90°,所 以,AH⊥BC.同理,CH⊥AB,BH⊥AC.所以,H為ΔABC的垂心.

引理三角形任一頂點到垂心的距離,等于外心到對邊的距離的2 倍.

已知如圖9,在ΔABC中,H為 垂心,O為外心,OM⊥AB于點M,ON⊥BC于點N,OP⊥AC于點P.

圖9

求證OM=

證明分別取HA、HC的中點K、Q,連接KQ、MN.∴KQ=∵H為ΔABC的垂心,∴HA⊥BC,HC⊥AB.∵O為ΔABC的外心,OM⊥AB,ON⊥BC,∴MN=OM//HC,ON//HA.∴∠OMN= ∠HQK,∠ONM= ∠HKQ.∴ΔMON∽= ΔQHK.∴OM=HQ,ON=HK.∴OM=同理,

由引理可知,銳角三角形三個頂點到定點的距離分別為定值,當這個定點為該三角形的垂心時,那么該三角形的外心到三邊的距離分別為定值.因此,性質(zhì)3 與性質(zhì)2 是等價的.

設(shè)三角形的垂心到三個頂點的距離分別為m、n、p,則由引理知外心到三邊的距離分別為于是由性質(zhì)2 的計算公式得到該三角形的面積計算公式為: